材料力学-第十章 压杆稳定-两端铰支压杆的临界力.pdf

10-1压杆稳定性的概念强度构件校核或设计I刚度工程中有些构件具有足够 的强度、刚度，却不一定能安 全可靠地工作。强度合格构件的要求Y刚度、稳定性.,.1 ,-，3、；J ，一 -/7定性的蜕屿是指构件在庞缩载荷的作用苏嘉演：,：hs；c*t.1 .,卜 雄,，*cf.1 1 ,.,一 ,瀚繁翻旅欧蠡渡套滋，意爨滋:魏嬷一遨魏森ft滋感爨ti -一.之.,.,.1.河北一座在建报告厅由于支撑系统失稳造成整体坍塌O容器在受压以后发生的失稳形态结构失稳倒塌的瞬间一、稳定平衡与不稳定平衡：1.不稳定平衡2.稳定平衡3.稳定平衡和不稳定平衡二、压杆失稳与临界压力：4.压杆的临界压力3.压杆失稳:稳定平衡临界状态 对应的过-1压力临界压力:不稳定平衡 度10-2细长压杆临界力的欧拉公式一、两端较支压杆的临界力：假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图,从挠曲线入手，求临界力。y弯矩：M(x,y)=Py 挠曲线近似微分方程:y=M P=yEI EIPyff+-y=yff+k2y=QEI其中:左2=2EI微分方程的解:确定积分常数:y=Asinx+Bco sxy（o）=y（乙）=o即:一AsinkL+BcoskL=0/.sin也=01=0 coskL临界力尸仃是微弯下的最小压力，故，只能取叫1;且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。7T2EI irP=兀2 EI 两端较支压杆临界力的欧拉公式”-13二、此公式的应用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内；3.两端为球钱支座。三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式P=;压杆临界力欧拉公式的一般形式（一长度系数（或约束系数）。表10-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端较支一端固定 另端钱支两端固定一端固定 另端自由两端固定但可沿 横向相对移动失稳时挠曲线形状.Per 由 TV11i z ii LL1C挠曲 线拐点Perc。一挠 曲线拐点i、(NLPer 也 C挠曲线拐点临界力Pb 欧拉公式pJLcr I2n 兀?EIn 7T2EIp x_p Hei(2/)2p=也cr I2(0.7/)2”(0.51)2长度系/=1A0.7Ao.5.7=2/=1例1钢质细长杆，两端较支，长/=L5m,横截面是矩形截面，h=50mm,b=30mm,材料是A3钢，弹性模量E=200GPa；求临界力。解：（1）判断“所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同 的情况下，压杆最易在绕y轴发生弯曲；计算临界压力n2Ehb32ti2 x 200 x109 x 0.05 x 0.032=98.7 kN12x15例2求下列细长压杆的临界力。绕z轴，左端固定,=0.7,bh312，(0%)2压杆的临界力Pc=min(Pcry 9 Pcrz)例2求下列细长压杆的临界力。如果广，贝小h=0.7/?表10-2各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端较支一端固定 另端钱支两端固定一端固定 另端自由失稳时挠曲线形状线拐点 曲线拐点临界力分 欧拉公式长度系/=1p _/EI(0.7/)2A0.7n 712EI p-”(0.5/)2 7=0.5pcr(2Z)2/=210-3压杆临界应力一、基本概念1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。2.细长压杆的临界应力：匕一兀?EI 兀?e 2月 4 4/,.r/八2 42A(juL/iy 2即：=i=J-惯性半径。3.柔度：屋L 一杆的柔度（或长细比）*I例3细长木柱长1=7 m,横截面是矩形，h=200 mm,b=120 mm；当它在x z平面（最小刚度平面）内弯曲时，两端视为固定；当它在x y 平面（最大刚度平面）内弯曲时，两端视为较支;E=10GPa；求临界力和临界应力。Z木材的弹性模量J=14.43/b6f解：（1）求在XZ平面内弯曲时的柔度;_ _ 0.5 x/4=bV12y求在xy平面内弯曲时的柔度；(3)判断杆件易在哪个平面内弯曲:A4所以易在x y平面内弯曲；(4)求临界力和临界应力：cr=-二 6J3MPa cr“外 心满足的杆称为大柔度杆（或细长杆），其临界力用欧拉公式求解。力的杆为中小柔度杆，其临界力不能用欧拉公式求。二、中小柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式 b 4 时：acr=a-bX acr=a-bAas旦3%b s儿的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。cr衣友的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。力cr时：短杆的临界应力与柔度九无关,而中、长杆的临界应力则随柔 度九的增加而减小。例4两端钱支的压杆，长/=1.5m,横截面直径d=50mm,材料是 Q235钢，弹性模量E=200GPa,暝=190MPa；求压杆的临界力；如果：(1)/1=0.75/；(2)/2=0.5/,压杆的临界力变为多大？(a=304 MPa,b=1.12MPa,j=235 MPa)解：(1)计算压杆的柔度:判别压杆的性质并计算临界力压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算 临界力；Tl2EP A=；-A=26泌N cr cr 2(a)当 6=0.75/时，九=0,75 x 120=90ct-(y 304 235：“)】2=-=-=62 X Xns b 1.12 P压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力Pr=Gcr，A=(a-bX)A=399kN(b)当 QOS/时，X=0.5x 120=604=62 x 4压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；A 1 9 二区 A=235 x 1()6 x _ 万 x 0.052=461 AkN cr s 410-4压杆的稳定条件与合理设计一、稳定条件：压杆的实际工作压力不能超过许用压力;p n二、压杆稳定计算的类型：稳定性校核、压杆截面的设计和压杆的许可载荷设计;例5图示结构中，AB为圆截面杆，直径d=80mm,A端固定，B 端钱支；BC是正方形截面杆，边长a=70mm,C端也为钱支；AB 和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆的材料是A3钢，其九二104,/=3m,稳定安全系数=2.5；求结构的许可载荷。R比较和确定计算的压杆:一AB%BC心=148解：（1）计算AB和BC杆的柔度:%_ 4，1 _ 15%d 44 x 0.7 x 4.5 leu 5 7.50.08_ 2,2 _ 2,2 _V12所以AB杆的稳定性比BC杆差，选AB杆计算;(3)稳定性计算：48为，AB是细长压杆;n=ZP7T2E 血?p STn/7r3Ed2 3x200 x109x0.082P 2=0.FrB=-=2MF=33.9KNGB sin 45(b)计算压杆的柔度。_ fT_ 反(r4 一 4)4 _，p2+2A 64 九(D?一2)4(0.045)2+(0.036)2=-=0.0144m4_jul _ lx(V2xl)一7一 0.01443判别压杆的性质。由已知求得查表得=304MPa,b=1.12MPao 求得=98.1304 235 i-二621.12压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力。4 几 4(d)计算临界应力。Fcr=(ycr-A=(a-bX)A=(304 1.12 义 98.1)x IO 义Q0452；0.0362)=194.1x106 x 5.726 x W4=lllkN(e)稳定性校核。Fcr lllxlO3 Lz A _Fgb-33.9 xio:=3.27)与(册=2.5)满足稳定要求小结1.压杆临界力欧拉公式的一般形式D 7T2EI 一长度系数（或约束系数）。-四种约束情况。2.细长压杆的临界应力：cr=惯性半径。2一一杆的柔度（或长细比）*I小结3.不同柔度杆的分界：7l2E24P-是细长压杆4 丸4中柔度杆匕=4A=22A2 4小柔度杆 以=A=4,A例7图示立柱，L=6m,由两根10号槽钢组成，下端 K 回定，上端为球较支座，试问=?时，立柱的临界压力最大，值为多少?解：对于单个10号槽钢，形心在g点。A1=12.74cm29z0=1.52cm,/d=198.3cm4,/1=25.6cm4 两根槽钢图示组合之后，/=2/71=2x l98.3=396.6cm4 4=2/y+A(Zo+a/2)2=2x 25.6+l 2.74x(1.52W2)2即：1893=256+1274(152+/2)2时合理Q=4.32cm求临界力:0.7x 6396.6x 10-8 2x 12.74x 10-4=106.52x200 x109200 x 106=99.3A大柔度杆，由欧拉公式求临界力。Pcr=72E/t2x200 x396.6x10(/)2 (00.7x6)2=443.8kN定一较支两端固定定一自由.界神人必杆横疝_www.GCTR_