Ito方程组的对称分析与守恒律_张明霞.pdf

97张明霞等Ito 方程组的对称分析与守恒律第 2 期第 42 卷 第 2 期2023 年 4 月内蒙古工业大学学报（自然科学版）Journal of Inner Mongolia University of Technology（Natural Science Edition）Vol.42 No.2Apr.2023文章编号：1001-5167（2023）02-0097-06Ito 方程组的对称分析与守恒律张明霞1，赵巧红1，额尔敦布和1,2（1.内蒙古工业大学 理学院，呼和浩特 010051；2.呼和浩特民族学院 数学与大数据学院，呼和浩特 010051)Symmetry analysis and conservation law of Ito equationsZHANG Mingxia1，ZHAO Qiaohong1，EERDUN Buhe1,2 收稿日期：2022-03-16基金项目：国家自然科学基金项目（11661034）；内蒙古自治区“草原英才”创新人才工程支持项目第一作者：张明霞（1996），女，2019 级硕士研究生，主要从事偏微分方程的对称、守恒律及其应用的研究。E-mail:通信作者：额尔敦布和（1976），男，博士，教授，主要从事偏微分方程对称和守恒律的新应用研究。E-mail:(1.School of Science,Inner Mongolian University of Technology,Hohhot 010051,China;2.Faculty of Mathematics and Big Data,Hohhot University for Nationalities,Hohhot 010051,China)Abstract：Based on the Lie group analysis method,a one-dimensional subalgebraic optimal system and a similar reduced system of Ito equations are obtained,and three conservation laws for the equations are successfully constructed with the help of Ibragimovs new conservation theorem.The results show the intrinsic connection between the symmetry and conservation laws of the system of Ito equations,and overcome the limitation of Nethers theorem,which is important for studying the relevant properties of the system of Ito equations.Key words：Ito equations;Lie symmetry;similarity reduction;new conservation theorem;conservation laws摘 要：基于 Lie 群分析方法，得到了 Ito 方程组的一维子代数最优系统和相似约化系统，并借助 Ibragimov 的新守恒定理成功构造出该方程组的 3 个守恒律。结果表明：这些揭示了 Ito 方程组对称与守恒律之间的内在联系，而且克服了 Nether 定理的局限性，对研究 Ito 方程组的相关属性方面具有重要意义。关键词：Ito 方程组；Lie 对称；相似约化；新守恒定理；守恒律中图分类号：O 175.2 文献标志码：A 随着科学与技术的迅速发展，在信息科学、物理、工程和经济等多个领域涌现诸多非线性问题，大部分非线性现象以非线性偏微分方程(PDEs)形式呈现。因此，各类非线性 PDEs 相关属性的研究,对拓展 PDEs 物理信息方面具有重要理论意义。经过多年努力，学者们已经推出 Hirota 双线性方法1-2，Bcklund 变换法3-4、达布变换法5-6、Lie 对称方法7-8等诸多求解 PDEs 的有效方法。Lie 对称理论由挪威数学家 Sophus Lie 率先提出，如今 Lie 对称方法被频繁应用于求解 PDEs 精确解、约化和守恒律中，被看作求解 PDEs 的最有力工具之一。PDEs 的对称与守恒律有着紧密的联系，守恒律在可积性、约化、解的性质和数值解的发展方面具有重要意义。目前，在 PDEs 守恒律构造方面产生了许多方法，如 Nether 定理9、乘子法10、对称-共轭对称对方法11、变分导数法12和新守恒定理13-15 等。本文利用 Lie 对称方法16-20将一类重要 PDEs-Ito 方程组降维约化成常微分方程组，求出该方程组的相似约化解，同时利用新守恒定理构造了 Ito方程组21的守恒律。1预备知识假设给定偏微分方程系统为 其 中：x=(x1,x2,xn)是 自 变 量,u=(u1,u2,um)是因变量，且 ua表示对 xi的 s 阶偏导数。关于的全(1)(2)()(,)0,1,2,sPuPx u uuur=(1)DOI:10.13785/ki.nmggydxxbzrkxb.2023.02.01098内蒙古工业大学学报（自然科学版）2023 年导数为其中：为便于研究，介绍几个定义。定义1若一个单参数 Lie 点变换群 使 PDEs 系统(1)不变，那么单参数 Lie 点变换群(3)叫 做(1)的 点 对 称，且 函 数称为点对称(3)的无穷小函数。定义2 对于 PDEs 系统(1)有如下的 Lie 点对称形式(也称无穷小生成元)(4)它对应的无穷小生成元(4)的特征形式为：(5)对应的无穷小生成元(4)的阶延拓为：其中：定 义3 对 于 给 定 PDEs 系 统(1)的 所 有 解u(x)，它的一个局部守恒律可以由公式 (7)给出，是流向量(守恒量)。2Ito 方程组的 Lie 对称分析考虑 Ito 方程组 是一种耦合 KdV 方程。当 v=0 时，方程(8)则变成标准的 KdV 方程。Ito 方程组(8)关于空间自变量 x，时间自变量t 和因变量 u,v 的 Lie 变换群:其中 是群参数。群(9)的无穷小生成元可以表示为以下形式：其中：为无穷小函数。无穷小生成元(10)的三阶延拓为 其中：0iiDu=。(10)(11)(2)(3)(6)1 221211 2 331 231 212121121(1)(2)(1)(3)(2)()(1),()()()()1,2,1,2,1,2,1,2kkkjiiijji iiiii jji i iii iii i jkkji iiiki iiiki iijlDDuDDuDDuDDuin jn in l-=-=-=-=-=,k,。(8)(9)*2*2(,)(,)()(,)(,)()xf x uxx uOug x uux uO=+=+6222txxxxxtxxuuuuvvvuvvu=+=+(,;)(,;)(,;)(,;)xx x t u vtt x t u vuu x t u vvv x t u v=?,99张明霞等Ito 方程组的对称分析与守恒律第 2 期 将(11)与(12)作用于 Ito 方程组(8)，即并结合(13)、(14)与(11)，把未知函数的各次幂系数均取为 0，可以得到关于的确定方程组，经计算得到 Ito 方程组(8)的 3 个点 Lie对称：3最优系统与相似约化关于一维子代数的最优化系统，其伴随变换由给出，其中Xi,Xj是换位子，且Xi,Xj=XiXj-XjXi。Ito 方程组（8）Lie 点对称的换位子和关于Lie 代数(8)的对称群伴随表示见表 1、表 2。表 1和表 2 是用来构造(8)的一维子代数的优化系统。考虑对称(15)的一个非零向量形式：(17)对向量 X 试做适当的伴随映射，进而简化的相关系数。为此，假设 i0,i=1,2,3。1)令 3 0,3=1，依据表 1 和表 2，用Ad(exp(,X1)对(17)作用 再取，可以得到 再令 Ad(exp(,X2)作用于 u,然后，令=-22，可以得到 u=X3 (21)2)令 2=0,3,10，将 Ad(exp(X3)作 用 于(18)，导出exp表 2伴随算子表Table 2Adjoint representation tableexp2233u X X=+exp，表 1换位子表Table 1The commutators table32321212d3212 (12)(13)(14)(18)(19)(20)(22)(15)(16)exp，d100内蒙古工业大学学报（自然科学版）2023 年令，有 3)令 1=0,20，可以得到新的向量形式 从上述 3 种情况，得到了 Lie 代数 L3的最优系统，可以由如下子代数定义 基于 Lie 代数的最优系统里的每个子代数，对Ito 方程(8)进行如下相似约化操作。1)对子代数1.1L的相似约化：根据 Lie 对称理论，得到子代数的特征方程为 经过对特征方程(26)进行积分，可得到相似变量 (27)其中：是关于原方程 x,t 的新自变量。将(27)代入(8)中，得到关于相似变量,u v?和子代数所对应的相似自变量 的相似约化方程组，即 其中：u(x,t),v(x,t)对应的相似形式为 2)对子代数的相似约化：同样，子代数对应的特征方程为 对特征方程(30)进行积分，可以得到相似变量 将(31)代入(8)中，得到关于相似变量,u v?和子代数对应的相似约化方程组，其与(28)形式相同，对应相似形式为 3)对子代数的相似约化：同样，子代数对应的特征方程为 对特征方程(33)进行积分后，可以得到相似变量和相似形式为 其相似约化方程组与(29)形式相同。从上述 3 种子代数看，虽然对应相似变量和相似形式略不同，但导出的相似约化方程组相同。结果揭示；尽管得到的子代数(25)中 3 种子代数形式上不同，但实际上相互之间有包含关系，此类结果在 Lie 代数研究领域内较少见。4Ito 方程组的守恒律著名学者 Ibragimov 通过引入 PDEs 系统(1)的 Lagrangian 函数的策略，用 Euler 算子导出(1)的 PDEs 系统，之后在 Nether 定理相似的机理下构造(1)及其共轭 PDEs 系统的守恒律，此机制为Ibragimov 新守恒定理。相关的定义和新守恒定理：定义4给定 PDEs 系统(1)的 Lagrangian 函数 L=vP (36)其中 v 为势函数组。将 Euler 算子 作用于 Lagrangian 函数(36)，得到系统(1)的如下共轭方程组：定理113-14(新守恒定理)给定PDEs系统(1)的每个 Lie 点对称都可以产生方程组(1)及其共轭133X X=+233X X=+dddddddddddd (38)(37)(23)(32)(33)(34)(35)(24)(25)(26)(28)(29)(30)(31)1.131.21331.3233LXLX XLX X=+=+101张明霞等Ito 方程组的对称分析与守恒律第 2 期方程组(38)对应的一组守恒律，其相应守恒向量由式 给出 i=1,n,=1,m,且特征形式 。定理 213若在(39)中的 Ti满足 Di(Ti)=0,则向量 T=(T1,T2,Tn)是 PDEs 系统(1)和(38)的一组守恒向量。利用 Ibragimov 新守恒定理对 Ito 方程组(8)的守恒律进行研究。首先从(36)得到方程组(8)的 Lagrangian 函数 其中：h=h(x,t,u,v),g=g(x,t,u,v)是新引进的势函数。由 Euler 算子(37)作用于(40)的两边,得到方程组(8)的共轭方程组 解上述方程组(41),得到其解为利用 Ibragimov 新守恒定理（定理 1）,构造Ito 方程组的守恒律:1)当 时：有0,1,0,0 xtuv=,则 (43)借助式(39)得到方程组(8)的如下守恒律向量 (44)(a)当(g1,h1)=(u,v),得到它的平凡守恒量 (b)当(g2,h2)=(0,1),得到它的平凡守恒律 (c)当(g3,h3)=(1,0),得到它的平凡守恒律 (47)从以上 3 种情况看出，在其他情况下均找不出方程组(8)的非平凡守恒量。2)当时：有,得到借助式(39)得到方程组(8)的如下守恒律向量 经计算，当()()()112233,(,),(0,1),(1,0)g hu vghg h=时，同样得不到方程组(8)的非平凡守恒量。3)当时：有 ，得到 同理，借助式(39)得到方程组(8)的守恒律向量w=-jj u6222txxxxxtxxLg uuuuvvh vuvvu=-(40)(41)(42)(45)22 2,2txxtTDuv TDuv=-=(46)(39)()()1122,(,),(1,0)g hu vgh=()33,(0,1)g h=22222233txxxxtxxTDuuvTD uuv=-=+uuxtxtxvvxtxtx u uu v vv=-=-=-=-(50)(49)(48)uuxtxttvvxtxtt u uu v vv=-=-=-=-102内蒙古工业大学学报（自然科学版）2023 年(a)当(g1,h1)=(u,v)，得到它的非平凡守恒律 (b)当(g2,h2)=(0,1)，得到它的非平凡守恒律 (c)当(g3,h3)=(1,0)，得到它的守恒律 总之，Ito 方程组(8)只有 3 个非平凡守恒律，这对挖掘其非局部系统的构造、可积性等属性方面具有较好的现实意义。5结论本文基于 mathematica 符号计算系统及对称理论框架和守恒律方法体系内，对一类耦合 Kdv 方程即 Ito 方程组进行相关研究。首先，运用 Lie 对称方法对 Ito 方程组进行对称分析和相似约化，找到了它的一维子代数最优系统及对应的相似约化方程组，从而对 Ito 方程组的 Lie 代数结构进行系统研究，对这类耦合方程的结构和约化提供有效思路。之后，基于点对称、Lagrangian 函数和Euler 算子，利用 Ibragimov 的新守恒定理构造了Ito 方程组的非凡守恒律，进而揭示了 Ito 方程组对称与守恒律之间的内在联系，克服了 Nether 定理的局限性，为 Ito 方程组的相关属性研究奠定了良好的理论基础。参考文献1 MA W X,FAN E G.Linear superposition principle applying to Hirota bilinear equationsJ.Computers&Mathematics With Applications,2011,61(4):950-959.2 WU J.N-soliton,M-breather and hybrid solutions of a time-dependent KadomtsevPetviashvili equationJ.Mathematics and Computers in Simulation,2022,194:89-96.3 ZHOU T Y,TIAN B,CHEN S S,et al.Bcklund transformations,Lax pair and solutions of a Sharma-Tasso-Olver-Burgers equation for the nonlinear dispersive wavesJ.Modern Physics Letters B,2021,35(35):2150421.4 MIURS M R.Bcklund transformationM.Berlin:Springer,1978.5 MATVEEV V B,SALLE M A.Darboux transformations and solitonsM.Berlin:Springer,1991.6 乌日乐,扎其劳.Modified Boussinesq 方程的一种 Darboux变换和守恒律J.数学的实践与认识,2021,51(9):166-170.7 OLVER P J.Applications of lie groups to differential equationsM.New York:Springer,1993.8 BLUMAN G W,CHEVIAKOV A F,ANCO S C.Applications of symmetry methods to partial differential equationsM.New York:Springer,2010.9 NOETHER E.Invariant variation problemsJ.Transport Theory and Statistical Physics,1971,1(3):186-207.10 MOTSEPA T,KHALIQUE C M,GANDARIAS M L.Symmetry analysis and conservation laws of the zoomeron equationJ.Symmetry,2017,9(2):27.11 BUHE E,BLUMAN G,KARA A H.Conservation laws for some systems of nonlinear PDEs via the symmetry/adjoint symmetry pair methodJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2016,436(1):94-103.12 高秀丽,额尔敦布和.用变分导数方法构造非线性Compacton ZK 方程的无穷多个守恒律 J.内蒙古大学学报(自然科学版),2017,48(5):499-506.13 IBRAGIMOV N H.A new conservation theoremJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,333(1):311-328.14 IBRAGIMOV N H.Integrating factors,adjoint equations and LagrangiansJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,318(2):742-757.15 胡玉兰,额尔敦布和,高秀丽.基于递推公式和新守恒定理构造两种非线性偏微分方程的守恒律 J.内蒙古大学学报(自然科学版),2018,49(5):449-455.16 谷琼雅,时振华,王丽真,等.一类时空分数阶非线性偏微分方程的对称分析、对称约化、精确解和守恒律 J.纯粹数学与应用数学,2022,38(2):200-213.17 胡彦鑫,郭增鑫,辛祥鹏.一类 Burgers-KdV 方程的李群分析、李代数、对称约化及精确解 J.聊城大学学报(自然科学版),2021,34(2):8-13.18 BUHE E,FAKHAR K,WANG G W,et al.Double reduction of the generalized Zakharov equations via conservation lawsJ.Romanian Reports in Physics,2015,67(2):329-339.19 SAHIN D,ANTAR N,OZER T.Lie group analysis of gravity currentsJ.Nonlinear Analysis:Real World Applications,2010,11(2):978-994.20 NADJAFIKHAH M,SHIRVANI-SH V.Lie symmetries and conservation laws of the HirotaRamani equationJ.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2012,17(11):4064-4073.21 王一帆,孙建强,陈宵玮.Ito 型耦合 KdV 方程的高阶保能量方法 J.工程数学学报,2017,34(6):646-654.(52)(53)(54)(51)