微积分(下)综合运用练习答案.doc

《微积分》期末考试综合题参考答案
一．设，证明：条件收敛
证明：（1）设则因此在 单调增加.故：即
又显然因此由莱布尼兹定理知收敛.
（2）再考察
因为
故发散.
综合（1）、（2）知：条件收敛.
二．设在的某一邻域内具有二阶连续导数，且.证明：级数绝对收敛.
证明：因为在处具有二阶连续导数，且，根据可导必连续，有： =0，.
麦克劳林展式：对，， （.
因此，，因此，
所以，且收敛，所以，绝对收敛.
三．已知满足为正整数）.且求级数
之和.
解：（1）解一阶线性微分方程，得其通解：
，代入初始条件得故.
（2）原级数即为
令.当时，由逐项求导公式，有：
，
故
所以，.
四．设求
解：（1）
（兜圈子），故，，
.
（2）令当时，由逐项求导公式，有：
，
故
故：
五．已知函数的全微分并且求在椭圆域上的最值.
解：（1）由得：
又故
所以，
（2）下面求在椭圆域上的最值.
（i）令，得驻点，
（ii）在椭圆上，由椭圆的参数方程：，

.
所以，，
综合(i),(ii)知，，.
六．在椭球面上求一点，使得沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向导数具有最大值.
解：（1）记，则沿椭球面上任意一点处的方向导数为
.
（2）问题转化为求函数在条件下的极值，下用拉格朗日乘数法解之.
令
由
解上述方程组，得：或因此有两个驻点及
（3）因为，所以，椭球面上点处沿着A(1,1,1)到B(2,0,1)的方向导数具有最大值.
七．证明：曲面上任意一点处的切平面与曲面所围成的立体体积为定值.
证明：（1）令，则曲面上任意一点处的切平面的法向量为：，
从而点M处的切平面方程为：
，化简得：
.
（2）联立，消去z，得立体向xoy面上的投影区域
因此，所求立体的体积为

注意：上述计算二重积分的过程中，其实用到了变量替换公式：令则
八.设在上连续，
试证明：
证明：
其中，视为常数），所以，
（交换积分次序后）
（最后一步是利用积分与变量记号无关）.
九．设在上连续且单增，记
试证明
证明：记
----（1）
由轮换对称性，易知：
----------------（2）
所以，（因单增，故无论均有即，
十．证明：
证明：一方面：
另一方面：
注意：后一不等式用到了：当
十一.设L是圆周取逆时针方向，又是正值连续函数，试证：
证明：由格林公式：记

----（1）
又由轮换对称性：---（2），代入（1）式，得：

十二.设曲线积分与路径无关，且方程所确定的曲线的图形过点.其中是可微函数，求所确定的曲线.
解：（1）由于曲线积分与路径无关，所以，

即：
（2）解此可分离变量型微分方程
得其通解：
又曲线的图形过点，所以，因此所求曲线为：
十三.设在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
与路径无关，并且对任意的t，恒有求函数.
解：（1）由于曲线积分与路径无关，所以
，故：----（1）
（思考一下，为什么此积分后带的不是任意常数C,而是？）
（2）又因为，代入（1）式：
---（2）
选择平行于坐标轴的折线路径积分分别以定积分表示出左、右两曲线积分，得：
，即
----（3）
（3）式两边同时对t求导，得：
，所以.
十四.设曲线与x轴交于点O(0,0),A(2,0).曲线在A点处的切线交y轴于B点积分，试计算
解：（1）由，，故曲线在A点处的切线方程为：
，其与y轴于B（0,4）.
（2）记，因为

补充直线段，记由所围成的平面区域为，则
.
所以，
十五.设函数具有连续导数，试计算
，其中为点与点的直线段下方的任意光滑曲线，且该曲线与直线段所围成的面积为
解：记，则

因为----（1）
易知
又
，
------（2）

------（3）
注意到：划线部分可互相抵消：

所以，
十六.设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对于任意都有.试证明：对D内的任意分段光滑的有向闭曲线L都有
证明：（一）因为--（1）
（1）式两边对t求导，得：
-----（2）
（2）式中，令t=1,得：
-----（3）
（二）由格林公式：
十七.设S为椭球面的上半部分，点为S在点P处的切平面，为原点到平面的距离.求
解：（一）设切点，则P处的切平面方程为：
，即
=2整理后，得：

由点到平面的距离公式：
（二）
由，即：.
因此

（三）

十八.设闭区域，
，求.
解：设，则由已知：
----（1），
从而
，
由上式解之，所以，

十九.设在上连续，且满足，求.
解：（一）由于
，
所以，-------（1）
（1）两边同时对t求导，得：
，即----（2）
此为一阶线性非齐才次微分方程.
（二）由公式，解方程（2），得：
-（3） 又显见，代入（3），得：C=1.
所以，
二十.设有半径为R的定球，另有一半径r为的变球与定球相割.若变球中心在定球球面上，试问：当r等于多少时，含在定球内的变球部分的表面积最大，并求出最大表面积.
解：（一）建立空间直角坐标系，使原点在定球球心上，两球的球心连线为z轴.则定球的方程为：，变球：.
由，.所以，

又联立，消去z，得投影区域为

（二）由公式，所求变球含在定球内的变球部分的表面积
（三）令
又所以，在取到最大值.
二十一.在底半径为R高为H的圆柱体上面拼加一个同半径的半球体，使整个
立体的重心位于球心处，试求R与H的关系.设立体密度.
解：建立空间直角坐标系，使球心在原点.则圆柱面方程为.半球面的方程为：.设重心. 由题设，应有.
由重心坐标公式：
----（1）（为整个立体）
而---（2）（分别为圆柱体及半球体）
又，
.
所以，
二十二.设具有连续导数，试计算
，其中表面的外侧.
解：（一）记

（二）补充平面，记与所围成的区域为.
.

二十三.设对于半空间任意的光滑有向曲面都有：
其中，在上具有一阶连续导数，且求.
解：（一）由高斯公式：
即： ，对对于半空间任意的光滑有向曲面都成立.故必须：
---（1）
为一阶线性非齐次微分方程.
（二）由公式，（1）的通解为：

---（2）
，故必有：
所以，
二十四.设函数在点点可导，且，求，其中
解：
所以，

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