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拱桥主要尺寸拟定和拱轴线形的选择

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第三章  拱桥主要尺寸拟定和拱轴线形选择
第一节  拱桥的总体布置
一、确定桥梁的设计标高和矢跨比
拱桥的四个主要标高:桥面标高、拱顶底面标高、起拱线标高、基底标高。
桥面标高：由两岸线路的纵断面控制，且要保证桥下净空能满足宣泄洪水和通航的要求.
拱顶底面标高：由桥面标高减去拱顶填料（包括桥面铺装）厚度和拱圈厚度.
起拱线标高：尽量采用低拱脚，但要满足通航净空、排洪、流冰等条件和《桥规》要求。
基础底面标高:根据冲刷、基底承载力、冰冻等条件确定。
矢跨比的确定：
矢跨比的大小与拱脚的水平推力成正比,与拱脚的垂直反力成反比.
常用的矢跨比： ①圬工拱桥 不小于1/8
②箱形拱不小于1/10
③钢筋混凝土桁架拱、刚架拱不小于1/12
二、不等跨的处理
1、采用不同的矢跨比
2、采用不同的拱脚标高
3、调整拱上建筑的恒载重量
第二节  拱轴线形的选择和拱上建筑的布置
 一、拱轴线形的选择
选择拱轴线的原则:尽可能降低由于荷载产生的弯距数值.
理想拱轴线：与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合。
工程上采用的“合理拱轴线”--恒载压力线.
                         圆弧线
常用的拱轴线形式     抛物线
                          悬链线
二、拱上建筑的布置
小跨径-—实腹式（圆弧线、悬链线)
    大中跨径——空腹式（悬链线）
    轻型拱或矢跨比较小的大跨径钢筋混凝土拱—-抛物线拱
第三节  拱圈截面变化规律和截面尺寸的拟定
   一、拱圈截面变化规律

  或  
  在拱脚处： ， ，
    则：
   二、截面尺寸的拟定
  （一）主拱圈的宽度确定

      拱圈的宽度取决于桥面净空的宽度。一般均大于，如拱圈的宽度小于，则应验算拱圈的横向稳定性。
(二）主拱圈高度的拟定
1、石拱桥
1)中小跨径：
        l0—-主拱圈净跨径(cm）；
        d—-主拱圈高度(cm）；
        M——系数，一般取4.5—6，取值随矢跨比的减小而增大;
        K—-荷载系数，对于公路—Ⅰ级为1.0，对于公路—Ⅱ级为1。2。
2、箱形拱、桁架拱和刚架拱桥
    在确定箱形拱、拱片中距不大于3。0m的桁架拱和刚架拱时,可参考下列经验公式估算拱顶截面主拱圈(肋)的高度：

式中：L。—-主拱圈净跨径（cm)；
     a、b——系数，根据主拱圈的构造形式不同分别按表3-3一l采用；
        K——荷载系数，按表3—3—l采用。
a、b、K系数值                         
箱形拱
a、b
多室箱a=60，b=100； 单室箱a=70，b=100
k
1
桁架拱
a、b
a=20，b=70
k
公路—Ⅰ级为1。0，公路—Ⅱ级为1。2
刚架拱
a、b
a=35，b=100
k
公路—Ⅰ级为1。0，公路—Ⅱ级为1。2

第三章  拱桥设计与计算
拱上建筑与主拱的联合作用：拱桥,实为多次超静定的空间结构，当活载作用于桥跨结构时,拱上建筑参与主拱圈共同承受活载的作用，这种现象,称为“拱上建筑与主拱的联合作用”或简称“联合作用”。拱式拱上建筑的联合作用较大，梁板式拱上建筑的联合作用较小。
第一节  悬链线拱的几何性质与弹性中心
一、实腹式悬链线拱
    实腹式悬链线拱是采用结构重力压力线(不计弹性压缩）作为拱轴线.
实腹式悬链线拱的拱轴方程是根据拱轴线与压力线完全吻合的条件推导出来的。

    取图3—3-1所示坐标系，设拱轴线即为结构重力压力线，故在结构重力作用下，拱顶截面的弯矩Md=O，由于对称性，剪力Qd=O，于是，拱顶截面仅有结构重力推力Hg。对拱脚截面取矩，则有：
                                          (3—3—1）
式中：——半拱结构重力对拱脚截面的弯矩;
         ——拱的结构重力水平推力(不考虑弹性压缩)；
         -—拱的计算矢高。
对任意截面取矩，可得：
                                  （3-3—2）
式中：Mx--任意截面以右的全部结构重力对该截面的弯矩值；
       y1一一以拱顶为坐标原点，拱轴上任意点的坐标。
    式（3—4-2）即为求算结构重力压力线的基本方程。将上式两边对x两次取导数得：
                                          （3—3-3)
式（3—3-3）为求算结构重力压力线的基本微分方程，。为了得到拱轴线（即结构重力压力线）的一般方程，必须知道结构重力的分布规律。由图3-3-1所示，任意点的结构重力强度可用下式表示：
                                              （3-3—4）
式中：gx——任意点的结构重力强度；
      gd——拱顶处结构重力强度；
      γ—-拱上材料单位体积重量。
在拱脚截面处：,则由式(3—3-4）得
                                            （3-3—5）
式中：gj—-拱顶处结构重力强度；
      m—-拱轴系数(或称拱轴线系数）。
                              （3—3—6）
由式（3—3-5)得：
                                                   （3—3-7）
    将式（3-3—7）代入式（3-3-4）得：
                          (3—3-8）
再将式上式代入基本微分方程（3-3—3）。为使最终结果简单,引入参数：
，则
可得：

令
                                          （3-3-9)
则：
                                       (3-3—10）
以上为二阶非齐次常系数线形微分方程。解此方程,则得拱轴线方程为：
                  （3-3—11）
上式一般称为悬链线方程。
    以拱脚截面,代入上式得：

    通常,m为已知值,则K值可由下式求得：
                               （3—3-12)
当m=1时，则，表示结构重力是均布荷载.不难理解，在均布荷载作用下的压力线为二次抛物线，其方程为：。
由悬链线方程（3-3-11）可以看出,当拱的矢跨比确定后,拱轴线各点的纵坐标将取决于拱轴系数m。各种m值的拱轴线坐标可直接由“拱桥”中查出，一般无须按式(3-3—11)计算。
    下面介绍实腹式悬链线拱拱轴系数的确定：
    因为

    由图3—3-1知，拱顶处结构重力强度为：
                                              (3-3—13）
在拱脚处,则其结构重力强度为：
                                      （3—3-14）
式中：hd——拱顶填料厚度,一般为O。30~0。50m；
  d——一拱圈厚度；
 γ—-拱圈材料单位重；    ．
 γ1——拱顶填料及路面的平均单位重;
 γ2——拱腹填料平均单位重；
 φJ—-拱脚处拱轴线的水平倾角。
                (3-3—15） 
从式（3—3-13）和式（3-3-14)可以看出,这两式中除了φJ为未知数外，其余均为已知数.由于φJ为未知，故不能直接算出m值,需用逐次近似法确定：即先根据跨径和矢高假定m值，由“拱桥"表(Ⅲ）-20查得拱脚处的cosφJ值，代人式(3-3—14)求得gj后,再连同gd一起代人式（3—3-6）算得m值.然后与假定的m值相比较，如算得的m值与假定的m值相符,则假定的m值即为真实值；如两者不符，则应以算得的m值作为假定值(为了计算的方便,m值应按表3—3-1所列数值假定)．重新进行计算，直至两者接近为止。
当拱的跨径和矢高确定之后,悬链线的形状取决于拱轴系数m,其线形特征可用点纵坐标的大小表示（图3-3-2）.
拱跨点的纵坐标与m有下述关系：   
当时,
代入式(3—3—11）得:

∵

                      ∴             (3—3—16) 

由上式可见,y1/4随m的增大而减小，随m的减小而增大。当m增大时，拱轴线抬高；反之，当m减小时，拱轴线降低(图3-3-2）.在一般的悬链线拱桥中，结构重力从拱顶向拱脚增加，gi>gd，因而m〉1。只有在均布荷载作用下gj=gd时,方能出现m=l的情况.由公式
（3-3—16)可得,在这种情况下y1/4=0．25f（图3—3—2）。
    在“拱桥"附录的计算用表中，除了可以根据拱轴系数m查得所需的表值之外,亦可
借助相应的查得同样的表值.与m的对应关系见表3-3—l，读者可以根据计算的方便，利用m值或者的数值查表，其结果是一致的。
二、空腹式悬链线拱
空腹式拱桥中,桥跨结构的结构重力可视为由两部分组成:即主拱圈与实腹段自重的分布力。与空腹部分通过腹孔墩传下的集中力(图3—3-3a）。由于集中力的存在，拱的结构重力压力线是一条在集中力下有转折的曲线，它不是悬链线，甚至也不是一条光滑的曲线.在设计空腹式拱桥时,由于悬链线拱的受力情况较好，又有完整的计算表格可供利用，亦多用悬链线作为拱轴线。为使悬链线拱轴与其结构重力压力线接近，一般采用“五点重合法”确定悬链线拱轴的m值，即要求拱轴线在全拱有五点(拱顶、两点和两拱脚）与其三铰拱结构重力压力线重合(图3-3—3b).
     由拱顶弯矩为零及结构重力的对称条件知，拱顶仅有通过截面重心的结构重力推力Hg，弯矩及剪力为零。
在图3-3-3a、b中，由得
                                          （3—3—17）
由,得

    将式（3—3—17)代入上式可得：
                                             （3-3—18）
式中：-—自拱顶至拱跨点的结构重力对截面的力矩.等截面悬链线拱主拱圈结构重力对及拱脚截面的弯矩M l／4、M i可由“拱桥”中查得。
求得之后,可由(3—3—16）反求m,即：
                                      （3-3—19)
m值确定:
1、先假定一个m值,定出拱轴线，作图布置拱上建筑；
2、计算和；
算出m值，如与假定的m值不符，则应以求得的m值作为假定值,重新计算，直至两者接近为止。
空腹式无铰拱桥，采用“五点重合法"确定的拱轴线，与相应三铰拱的结构重力压力线在拱顶、两点和两拱脚五点重合,而与无铰拱的结构重力压力线（简称结构重力压力线）实际上并不存在五点重合的关系。由式(3—3-23）可见，由于拱轴线与结构重力压力线有偏离，在拱顶、拱脚都产生了偏离弯矩。研究证明,拱顶的偏离弯矩△Md为负而拱脚的偏离弯矩△Mj为正，恰好与这两截面控制弯矩的符号相反.这一事实说明，在空腹式拱桥中，用“五点重合法”确定的悬链线拱轴,偏离弯矩对拱顶、拱脚都是有利的。因而,空腹式无铰拱的拱轴线，用悬链线比用结构重力压力线更加合理。
三、拱轴线的水平倾角φ
将式（3—3—11)对ξ取导数得:
                                               (3—3—24）
∵
   以式(3—3-24)代入上式得:
                                       (3-3-25）
式中:

由上式可见，拱轴水平倾角与拱轴系数m有关。拱轴线上各点的水平倾角tgφ,可直接由“拱桥"表（Ⅲ）-2查出。
四、悬链线无铰拱的弹性中心
    在计算无铰拱的内力（结构重力、活载、温度变化、混凝土收缩和拱脚变位等）时，为了简化计算工作，常利用拱的弹性中心。我们讨论的是对称拱，弹性中心在对称轴上。基本结构的取法有两种：图3—3—4a为以悬臂曲梁为基本结构，图3—3—4b为以简支曲梁为基本结构。在计算无铰拱的内力影响线时,为了简化计算手续，常用简支曲梁为基本结构.由结构力学知,弹性中心距拱顶之距离为(图3—3-4)：
                                  （3-3—26）        
式中：
                              （3-3-27）
其中：

以y1和ds代入式(3—3-26），并注意到等截面拱中I为常数，则：   （3—3-28）
系数α1可由“拱桥”查得。
第二节  结构重力作用下拱的作用效应计算 
一、不考虑弹性压缩影响的结构重力效应
1、实腹拱
由公式   
得结构重力水平推力为：

拱脚的竖向反力：

拱圈各截面的轴向力：   
   2、空腹式拱桥
结构重力水平推力为:
拱脚的竖向反力：
二、弹性压缩引起的作用效应
    弹性中心处赘余力：  
任意截面处：
弯距：
     轴向力： 
剪力：   
三、恒载作用下截面的总效应(内力）
弯距：   
      轴向力： 
      剪力：   
考虑了结构重力弹性压缩之后，即使是不计偏离弯矩的影响，拱中仍有结构重力弯矩.这就说明,不论是空腹式拱还是实腹式拱，考虑弹性压缩后的结构重力压力线，将不可能和拱轴线重合。按式（3—4-20）~式（3-4—22)计入偏离的影响之后，各截面的效应公式为:

第三节  活载作用下拱的效应计算 
    一、不考虑弹性压缩影响的活载效应
由于拱桥的活载压力线与拱轴线不重合，可采用效应影响线加载来计算拱的效应。拱圈是偏心受压结构，常以最大正(负）弯矩控制设计。
首先计算水平力H1、M和拱脚的竖向反力V。
对于车道荷载：

     水平力：
弯  矩：      
拱脚竖向反力：
式中：   —车道荷载横向分布系数;
    、—分别为车道荷载的均布   
荷载标准值和集中荷载；
        —最大正（负）弯矩影响线面积；
、-产生最大正（负)弯矩时对应的水平力和竖向反力影响线面积；
 、、—产生最大正(负）弯矩时所对应的水平力、弯矩和竖向反力影响线的峰值。
然后根据下式计算轴向力N和剪力Q。
轴向力：拱顶 N=H1          
拱脚                                                                     
                  其他截面     
剪力:拱顶 Q数值很小,一般不计算
拱脚                   
其他截面 Q数值很小，一般不计算
不考虑弹性压缩的内力影响线纵坐标和影响线面积可从《拱桥》手册中查到。
二、活载作用下弹性压缩引起的效应
    活载作用下弹性压缩与结构重力弹性压缩相似，它是考虑由活载产生的轴向力对变位的影响，亦在弹性中心产生赘余力。
弹性中心处赘余力:           
任意截面处活载作用下弹性压缩引起的效应：
弯 距：     
    轴向力：           
    剪  力:

三、活载作用下截面的总效应
弯距:
轴向力：
    剪力： 
《桥规》规定，当拱上建筑为拱式结构的拱桥，可考虑拱上建筑与主拱圈的联合作用。当采用公路一Ⅰ级、公路一Ⅱ级车道荷载计算拱的正弯矩时，自拱顶至拱跨l／4各截面应乘以0．7折减系数；拱脚截面乘以0．9折减系数;拱跨1／4至拱脚各截面,其折减系数按直线插入法确定。
第四节  圆弧无铰拱要点
一、圆弧无铰拱的几何性质
取拱顶O为座标原点,采用直角座标系，则拱轴线方程为：

式中：R—圆弧拱半径；
  x、y1-圆弧拱点坐标；
  —圆弧拱任意点至圆心O`的连线与垂线的交角。
1.       若f、l为已知,则：

式中：
由图知:

2.       若R、为已知,则:

二、圆弧无铰拱计算要点
（一)        拱圈的几何性质
拱的计算跨径:
拱的计算矢高：
(二)        恒载内力计算
1、圆弧拱的弹性中心

   式中:—系数，可根据《拱桥》附录中查得。
2、弹性中心的赘余力
弯矩         
推力  
   式中：
；

～—-路面、拱腔填料及拱圈材料单位体积重量；
B1～B3、C1～C33-—系数,可由《拱桥》附录中查得.
3、各截面内力
拱顶截面    

其他截面    

式中：

(三）活载内力计算
利用影响线加载计算