正多边形和圆一对一辅导讲义.docx

课 题
正多边形与圆
授课时间： 2016-03-04 19：00——21:00
备课时间：2016-03-03
教学目标
1、了解正多边形的概念，探究正多边形与圆的关系；
2、经历探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的性质；
重点、难点
1、正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念与计算
2、正多边形与圆的关系及正多边形的性质
考点及考试要求
1、正多边形的定义
2、正多边形与圆的关系
3、正多边形的性质
教 学 内 容
第一课时 正多边形与圆知识点梳理
课前检测

1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
知识梳理

正多边形的定义：
各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距
正多边形的性质：
⑴正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；
⑵正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；
⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．
正多边形的有关计算
⑴正边形的每个内角都等于；
⑵正边形的每一个外角与中心角相等，等于；
⑶设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为，
则
正多边形的画法
1.用量角器等分圆
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.
2.用尺规等分圆
　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

第二课时 正多边形与圆典型例题
典型例题一一

题型一、正多边形的概念
例1.填写下列表中的空格
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3

2

4

1

6

2

变1.（1）若正n边形的一个外角是一个内角的时，此时该正n边形有_________条对称轴.
（2）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A. B. C. D.
例2.已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．
解：设正三角形边长为a，则其周长为C1＝3a，面积S1＝a2，
又设正六边形边长为b，则周长为C2＝6b．面积S2=b2，
由C1=C2，知,a=2b,
∴S1∶S2=a2∶b2=b2∶b2=,
故它们的面积的比值为2∶3。

变2.若正三角形、正方形、正六边形和圆的周长都相等，那么____________的面积最大；若它们的面积都相等，那么_____________的周长最大．
题型二、正多边形的性质
例3.下面给出六个命题：
①各角相等的圆内接多边形是正多边形； ②各边相等的圆内接多边形是正多边形；
③正多边形是中心对称图形； ④各角均为的六边形是正六边形；
⑤边数相同的正边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形
其中，错误的命题是_____________．

变3.（1）正边形内接于半径为的圆，这个边形的面积为，则等于____________．
（2）正八边形每一个外角是多数等于_______．N边形每一个内角等于________．
例4.已知：如图在△RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以各边为直径在AB同侧作半圆，求阴影部分的面积．
解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝5。
则图中阴影部分的面积为S阴=π×()2+π×()2+×3×4-π×()2=+2π+6-=6
故图中阴影部分的面积为S阴=6个（平方单位）．

变4.如图，两相交圆的公共弦AB为，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。

题型三、正多边形的证明
例5.如图，△AFG中，AF = AG ，∠FAG = 108°，点C、D在FG上，且CF= CA，DG = DA，过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG于点B、E。
求证：五边形ABCDE是正五边形。

变5.如图，⊙O的内接正五边形AB CDE的对角线AD与BE相交于点M，（1）请你仔细观察图形，并直接写出图中的所有等腰三角形；（2）求证：BM2＝BE· ME；（3）设 BE、 ME的长是关于 x的一元二次方程x2-2x+k＝0的两个根，试求k的值，并求出正五边形ABCDE的边长．

第三课时 正多边形与圆课堂检测
课堂检测

1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )
A. B. C. D.
2.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm.
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
5.如图2.6-2，两相交圆的公共弦AB为2，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.

图2.6-2
6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.

7.如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？

图2.6-3

8.如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).

图2.6-4

9.用等分圆周的方法画出下列图案：

图2.6-5

10.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.

图2.6-6
(1)求图2.6-6(1)中∠MON的度数；
(2)图2.6-6(2)中∠MON的度数是_________，图2.6-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).

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