压轴题专题测验———放缩法.doc

教师
訚威
学生
严斯文
上课时间

学科
数学
年级
高三
教材版本

课题
压轴题专题练习———放缩法
重难点
数列与函数的放缩法的训练
教学
过程

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求的值; (2)求证:.
奇巧积累:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)

(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
(2)求证: (3)求证:
(4) 求证：
例3.求证:
例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足..
设，整数.证明:.
例5.已知,求证: .
例6.已知,,求证:.
例7.已知,,求证:
二、函数放缩
例8.求证：.
例9.求证:(1)
例10.求证:
例11.求证:和.
例12.求证:
例13.证明:
例14. 已知证明.
例15.(2008年福州市质检)已知函数若
例16.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证：函数上是增函数； (II)当；
(III)已知不等式时恒成立，
求证：
三、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为
和
例20.证明:
四、分类放缩
例21.求证:
例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,
设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:.
五、迭代放缩
例25. 已知,求证:当时,
例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<
六、借助数列递推关系
例27.求证:
例28. 求证:
例29. 若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有
八、线性规划型放缩
例31. 设函数.若对一切，，求的最大值。
九、均值不等式放缩
例32.设求证
例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：

签字

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