课时分层训练.doc

课时分层训练(十一)　函数与方程
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是
(　　) 【导学号：31222061】
A．0,2　 B．0，
C．0，－ D．2，－
C　[由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.
令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
C　[因为f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，故f(0)·f(1)＜0，故选C.]
3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是(　　)
A．0　　　　 B．1
C．2　　　　 D．3
B　[由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(2)＝10＞0，所以f(0)·f(2)＜0，即函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]
4．已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)
A．[0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D　[函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图象(图略)．
观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．]
5．(2016·湖北七校2月联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A.　　　　 B.
C．－　　　　 D．－
C　[令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C.]
二、填空题
6．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．
【导学号：31222062】
(－∞，1)　[设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]
7．(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
－2　1　[∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，
∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得
∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.]
8．(2015·湖南高考)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________．
(0,2)　[由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
[证明]　令g(x)＝f(x)－x.2分
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g＜0.7分
又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，
即f(x0)＝x0.12分
10．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
[解]　(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．
依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根.3分
因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根.5分
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，
只需7分
即解得<a<.10分
故实数a的取值范围为.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．[－1,0) D．(0,1]
D　[因为当x＞0时，f(x)＝2x－1，
由f(x)＝0得x＝.
所以要使f(x)在R上有两个零点，则必须2x－a＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．
又当x∈(－∞，0]时，2x∈(0,1]，且y＝2x在(－∞，0]上单调递增，
故所求a的取值范围是(0,1]．]
2．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________．
【导学号：31222063】
　[由题意知f[f(x)]＝－1，由f(x)＝－1得x＝－2或x＝，
则函数y＝f[f(x)]＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝的x的值．
解f(x)＝－2得x＝－3或x＝，
解f(x)＝得x＝－或x＝，
从而函数y＝f[f(x)]＋1的零点构成的集合为.]
3．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．
[解]　法一(换元法)：设t＝2x(t＞0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有实根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.3分
①若方程(*)有两个正实根t1，t2，
则解得－1＜a≤2－2；6分
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1＜0，解得a＜－1；9分
③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)＝0且－＞0，解得a＝－1.
综上，a的取值范围是(－∞，2－2].12分
法二(分离变量法)：由方程，解得a＝－，3分
设t＝2x(t＞0)，
则a＝－＝－
＝2－，其中t＋1＞1，9分
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.12分