圆与圆锥曲线的交汇性问题例析.doc

(完整word)圆与圆锥曲线的交汇性问题例析圆与圆锥曲线的交汇性问题例析 随着新课程标准的不断推进与深入,高考对解析几何的要求也随之发生了很大的变化，对圆的要求大大提高，对圆锥曲线的要求则相对降低.因此，近几年圆与圆锥曲线的交汇性问题渐渐成为高考的命题热点,此类问题不仅将圆的内容及性质纳于其中，也将对圆锥曲线的要求体现出来，是当前一种新的命题趋势。下面精选2014年高考中的部分试题并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法。 1。圆与椭圆的交汇性问题 图1例1（2014年陕西卷文20）如图1，已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）经过点（0,3），离心率为12,左、右焦点分别为F1（c，0）、F2（c,0）。 （1）求椭圆的方程； （2）若直线l：y=-12x+m与椭圆交于A，B两点,与以F1F2为直径的圆交于C，D两点,且满足|AB|CD|=534，求直线l的方程。 分析（1）构造关于a，b，c的方程组求解； （2）利用直线与圆的位置关系得|CD,将直线方程与椭圆方程联立得方程组,利用根与系数的关系得AB|，构造关于m的方程求m，进而得出直线l的方程。 解析（1)由题设知b=3， ca=12, b2=a2c2，解得a=2， b=3, c=1，椭圆的方程为x24+y23=1. (2）由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1， 圆心到直线l的距离d=2m|5， 由db0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知AB=32|F1F2。 （1）求椭圆的离心率； (2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切。 求直线l的斜率. 分析（1）直接利用AB=32F1F2及椭圆中a，b,c之间的关系得到a，c的关系,进而求得离心率； （2）利用F1P？F1B=0求出P点坐标满足的条件,再由P点坐标满足椭圆的方程，求出P点坐标,设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解。 解析（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）。 由AB=32F1F2|，可得a2+b2=3c2。 又b2=a2c2,则c2a2=12，所以，椭圆的离心率e=22。 （2)由（1）知，a2=2c2,b2=c2，故椭圆方程为x22c2+y2c2=1。 设P(x0，y0），由F1（c,0），B（0，c），有F1P=(x0+c，y0)，F1B=（c,c)。 由已知，有F1P?F1B=0， 即(x0+c）c+y0c=0。 又c0，故有 x0+y0+c=0 又因为点P在椭圆上，故 x202c2+y20c2=1 由和可得3x20+4cx0=0， 而点P不是椭圆的顶点，故x0=-43c， 代入得y0=c3，即点P的坐标为（-43c，c3）。 设圆的圆心为T（x1，y1)，则 x1=-43c+02=-23c，y1=c3+c2=23c， 进而圆的半径 r=（x1-0）2+(y1-c）2=53c。 设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx. 由l与圆相切，可得kx1y1k2+1=r，即k23c+23c|k2+1=53c， 整理得k28k+1=0，解得k=415. 所以，直线l的斜率为4+15或4-15. 命题立意知识：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。能力:通过用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力。试题难度:较大. 2.圆与双曲线的交汇性问题 例3(2014年江西卷文9)过双曲线C：x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A。若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点（O为坐标原点)，则双曲线C的方程为（ ）。 A.x24-y212=1B.x27-y29=1 C.x28-y28=1D.x212y24=1 解析先求出交点坐标,再结合已知条件求出双曲线的方程。 由x=a, y=bax，解得x=a， y=b,， A（a,b）. 由题意知右焦点到原点的距离为c=4，右焦点坐标为（4，0），由题意有(a-4)2+b2=4,即(a4）2+b2=16。 又a2+b2=c2=16， 由解得 a=2,b=23。 双曲线C的方程为x24-y212=1。 故选A。 命题立意知识:双曲线的标准方程和渐近线的确定。能力：结合双曲线方程的求解,考查运算求解能力和应用意识.试题难度：中等. 图2例4（2014年辽宁卷理20)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图2）.双曲线C1:x2a2-y2b2=1过点P且离心率为3. (1）求C1的方程； (2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程. 分析（1)先求切线方程，再利用条件列出方程组求解字母a、b的值; （2）利用题设关系设出椭圆方程，再利用直线与椭圆的位置关系求解。 解析（1）设切点坐标为（x0，y0)（x00，y00），则切线斜率为-x0y0,切线方程为yy0=x0y0(x-x0）,即x0x+y0y=4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12？4x0？4y0=8x0y0. 由x20+y20=42x0y0知当且仅当x0=y0=2时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为（2，2）。 由题意知2a22b2=1, a2+b2=3a2,解得a2=1, b2=2。 故C1的方程为x2y22=1。 （2）由（1)知C2的焦点坐标为（-3,0），（3，0），由此设C2的方程为x23+b21+y2b21=1，其中b10. 由P（2，2)在C2上,得23+b21+2b21=1. 解得b21=3，因此C2的方程为x26+y23=1。显然，l不是直线y=0. 设l的方程为x=my+3,点A（x1,y1)，B（x2，y2），由x=my+3， x26+y23=1，得（m2+2）y2+23my3=0。又y1，y2是方程的根，因此y1+y2=-23mm2+2， y1y2=3m2+2。 由x1=my1+3，x2=my2+3，得 x1+x2=m（y1+y2）+23=43m2+2， x1x2=m2y1y2+3m（y1+y2）+3=6-6m2m2+2. 因为AP=（2x1，2y1），BP=（2-x2，2y2）， 由题意知AP？BP=0， 所以x1x22（x1+x2）+y1y2-2（y1+y2）+4=0, 将代入并整理得2m2-26m+4611=0， 解得m=362-1或m=-62+1。 因此直线l的方程为x(362-1)y-3=0或x+（62-1）y3=0. 命题立意知识：考查圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系。能力：考查运算求解能力和应用知识的能力.试题难度:较大。 3.圆与抛物线的交汇性问题 例5（2014年全国大纲卷理21文22）已知抛物线C:y2=2px（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q,且QF|=54|PQ|。 （1）求C的方程； （2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程。 分析（1)由条件列式直接求出； （2)由直线方程与抛物线方程联立求AB的长，利用四点共圆寻找关系,列式求解。 解析(1）设Q（x0，4)，代入y2=2px得x0=8p。 所以|PQ=8p,QF=p2+x0=p2+8p. 由题设得p2+8p=548p，解得p=-2(舍去）或p=2. 所以C的方程为y2=4x。 (2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x=my+1（m0）。 代入y2=4x，得y24my4=0。 设A（x1,y1），B（x2,y2），则y1+y2=4m,y1?y2=-4。 故AB的中点为D（2m2+1，2m），AB=m2+1y1-y2=4(m2+1）. 又l的斜率为-m，所以l的方程为x=1my+2m2+3。 将上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0. 设M（x3，y3),N（x4,y4），则y3+y4=4m，y3?y4=-4（2m2+3). 故MN的中点为E(2m2+2m2+3，-2m),MN=1+1m2|y3-y4=4（m2+1）2m2+1m2。 由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE=|BE=12|MN，从而14AB|2+DE2=14|MN2,即4（m2+1）2+（2m+2m）2+（2m2+2）2=4（m2+1)2（2m2+1）m4， 化简得m2-1=0,解得m=1或m=1。 所求直线l的方程为xy-1=0或x+y1=0. 命题立意知识：抛物线的定义与方程、直线与抛物线的位置关系以及两直线的位置关系、圆的性质等。能力:考查转化与化归、函数与方程、数形结合的数学思想，考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力.试题难度：较大。 例6（2014年福建卷文21）已知曲线上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=3的距离小2。 （1）求曲线的方程； （2）曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线，切点为B。试探究:当点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论。 分析（1）由题意判断曲线是抛物线,用定义求曲线方程或用直接法求曲线方程； （2）先求出切线方程，联立相关方程得出A，M的坐标，用勾股定理表示AB的长度. 解析（1）解法一:设S（x,y）为曲线上任意一点，依题意,点S到F(0，1）的距离与它到直线y=1的距离相等，所以曲线是以点F(0，1）为焦点、直线y=1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x2=4y。 解法二:设S(x,y)为曲线上任意一点，则y-（-3）|（x0）2+(y-1）2=2，依题意，点S（x，y）只能在直线y=3的上方，所以y3，所以(x-0）2+（y1）2=y+1， 化简，得曲线的方程为x2=4y。 图3（2）当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变。 证明如下：如图3，由（1）知抛物线的方程为y=14x2，设P（x0，y0）（x00）,则y0=14x20，由y=12x，得切线l的斜率k=y|x=x0=12x0,所以切线l的方程为yy0=12x0（x-x0)，即y=12x0x14x20。 由y=12x0x-14x20， y=0，解得A（12x0，0）。 由y=12x0x-14x20, y=3，解得M（12x0+6x0，3)。 又N(0,3）,所以圆心C(14x0+3x0，3）， 半径r=12|MN|=|14x0+3x0, |AB|=AC2-r2 =12x0-（14x0+3x0）2+32-(14x0+3x0）2 =6 所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变。 命题立意知识:抛物线的定义与性质，导数的几何意义，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系等。能力：考查考生的运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想。试题难度：较大。 从以上分析中我们可以看出,圆与圆锥曲线的交汇性问题已成为高考命题的重点和热点题型.对此,我们只有平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法、技巧，才能实现真正意义上的突破和提高. （收稿日期：201502-12)