直线与双曲线位置关系.docx

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程
知识点1：直线与双曲线的位置关系
1.直线与双曲线的位置关系的判断
设直线y=kx+b，双曲线－＝1 (a>0，b>0)联立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2 －4AC。
若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点；
若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点；
若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；
直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.弦长问题
设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，
且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。
弦长公式：（k为直线斜率）
例题选讲：
例1：直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围；
解　(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是－2<k<－.
例2：已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。

例3：已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2 (其中O为原点)，求k的取值范围．
解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2<1. ①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，解得<k2<3， ②
由①②得<k2<1. 故k的取值范围为∪.
例4：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线方程；
（2）若点在双曲线上，求证：；
（3）对于（2）中的点，求的面积．
解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得
∴ 双曲线方程为；
（2）由（1）可知，，， ∴ ，
∴ ，， ∴ ，
又点在双曲线上， ∴ ，
∴ ， 即；
（3）
∴的面积为6．

知识点2：抛物线及其标准方程
1．抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
图形

范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
对称轴
x轴
顶点坐标
原点O(0,0)
焦点坐标

准线方程
x＝－
x＝
离心率
e＝1
题型1：抛物线的定义灵活应用
例1：(1)(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．1
C. D.
(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
[自主解答]　(1)如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝，所以中点C的横坐标为－＝.
(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)．
[答案]　(1)C　(2)B
练习1：(2012·安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2，
∴A(2,2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．
又解得或
由图知，点B的坐标为，
∴|BF|＝－(－1)＝.
答案：
题型2：抛物线的标准方程及几何性质
例2：(1)(2012·山东高考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py (p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y　　　　　　 B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
[自主解答]　(1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
(2)依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±2)，|OM|＝＝2.
[答案]　(1)D　(2)B
练习2：若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程
[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或
题型3：直线与抛物线的位置关系
1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.
(1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．
(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)S△AOB＝(θ为AB的倾斜角)．
(4)＋为定值.
(5)以AB为直径的圆与准线相切．
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(7)∠CFD＝90°.
例3：　(2012·福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．
[自主解答]　(1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.
设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，y＝|OB|cos 30°＝12.
因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.
故抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)证明：由(1)知y＝x2，y′＝x.
设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为
y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.
由得
所以Q为.
设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．
由于＝(x0，y0－y1)，＝，
由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，
即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)
由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，
所以解得y1＝1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．
练习3：(2012·泉州模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；
(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．
解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，
当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
所以，＝，解得k＝±.
故直线l的方程为：y＝±(x－1)，即x±y－1＝0.
(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：
设A(x0，y0)，则y＝4x0.
因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．
所以直线AB的方程为：y＝(x＋x0)，
整理得：x＝－x0①
把方程①代入y2＝4x得：y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，
Δ＝64x－16x0y＝64x－64x＝0，
所以直线AB与抛物线相切．

基础练习：
1．(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为(　　)
A．x2＝－4y　　　　　　 B．y2＝－4x
C．x2＝－4y D．y2＝－4x
解析：选A　由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝＝.∴抛物线焦点坐标为(0，－)，∴抛物线方程为x2＝－4y.
2．(2012·东北三校联考)若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为(　　)
A．2 B．18
C．2或18 D．4或16
解析：选C　设P(x0，y0)，则
∴36＝2p，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.
3．(2013·大同模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)
A．2 B．1
C. D.
解析：选A　注意到抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有＝4.又p＞0，因此有＋3＝4，解得p＝2.
4．(2012·郑州模拟)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是(　　)
A.或 B.或 C.或 D.
解析：选B　由焦点弦长公式|AB|＝得＝12，
所以sin θ＝，所以θ＝或.
5．(2012·唐山模拟)抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为(　　)
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选C　∵点A在抛物线上，∴4＝2p，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)
设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y＝4x1，①
y＝4x2，②
由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)
得kBC＝＝.
又∵＝0，∴y1＋y2＝－2，∴kBC＝－2.
又∵＝1，∴x1＋x2＝2，
∴BC中点为(1，－1)，
则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.
6．(2013·湖北模拟)已知直线y＝k(x－m)与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D.若动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，则m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D　设点D(a，b)，则由OD⊥AB于D，得则b＝－，a＝－bk；又动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，即a2＋b2－4a＝0，将a＝－bk代入上式，得b2k2＋b2＋4bk＝0，即bk2＋b＋4k＝0，－－＋4k＝0，又k≠0，则(1＋k2)(4－m)＝0，因此m＝4.
7．(2012·安徽模拟)已知椭圆C1：＋＝1(0＜b＜2)的离心率为，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点是椭圆的顶点．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
解：(1)∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝.由e＝＝＝得b2＝1，
∴椭圆C1的上顶点为(0,1)，即抛物线C2的焦点为(0,1)，
故抛物线C2的方程为x2＝4y.
(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)．由x2＝4y得y＝x2，
∴y′＝x.
∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.
当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1x2＝－4.
由得x2－4kx－4k＝0，∴Δ＝(4k)2－4×(－4k)＞0，解得k＜－1或k＞0.①
且x1x2＝－4k＝－4，即k＝1，满足①式，∴直线l的方程为x－y＋1＝0.

9 / 9