空间向量与空间距离十.doc

(完整word)空间向量与空间距离十
空间向量与空间距离
2014年新田一中选修2—1课后作业(二十三)
班级___________ 姓名___________学号___________
1．若O为坐标原点，＝（1，1，－2),＝（3，2，8），＝(0,1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为 (　　）．
A。 B．2 C. D.
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0）在a内,则
P（－2，1，4)到α的距离为 （　　）．
A．10 B．3 C。 D.
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a,则D1到直线AC的距离为 （　　)．
A.a B. C。 D.
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是 (　　)．
A. B。
C。 D.
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为 (　　）．
A。 B。 C。 D。

6．正方形ABCD与ABEF边长都为a，若二面角E ­ AB ­ C的大小为30°,则EF到平面ABCD的距离为________．

7．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
8．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝6,BC＝4，BB1＝3,则点B1到平面A1BC1的距离为______．
9．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1）求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．

10．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点,求平面AMN与平面EFBD间的距离．

1．若O为坐标原点，＝(1，1，－2）,＝（3，2，8)，＝（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为 （　　)．
A。 B．2 C。 D。
解析　由题意＝(＋）＝（2，，3），＝－＝（－2,－，－3），｜｜＝
＝.
答案　D
2．已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2,1），点A（－1，3，0)在a内,则P(－2，1，4)到α的距离为 (　　）．
A．10 B．3 C。 D.
解析　设点P到α的距离为h，
则h＝＝.
答案　D
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a,AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为 (　　）．
A.a B。 C。 D。
解析　连结BD，AC交于点O，
则D1O＝＝a为所求．
答案　D
4．二面角α。l。β的平面角为60°，A、B∈l,AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析　∵＝＋＋，AC⊥l，BD⊥l，A,B∈l。
∴·＝0，·＝0,
∴｜｜＝
＝＝.
答案　
5．正方形ABCD与ABEF边长都为a,若二面角E . AB . C的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为________．
解析　直线EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，
∴d＝.
答案　
6．已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0,4），求P（3，5,0)到l的距离．
解　∵＝(－2，－6，2）．
∴·n＝（－2，－6，2)·（－3，0，4)＝14,
|n｜＝＝5。
∴点P到直线l的距离为＝.
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7．如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是 （　　）．
A. B。
C. D.
解析　以D为坐标原点,以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐
标系，则有D1（0，0,1），D(0，0，0），A(1，0，0)，B（1，1，0），A1(1,0,1)，C1（0，1，
1)．因O为A1C1的中点，所以O(,，1)，＝（，－,0)，设平面ABC1D1的法向
量为n＝（x，y，z)，则有
即
取n＝（1，0，1)
∴O到平面ABC1D1的距离为：
d＝＝＝.
答案　B
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为 （　　)．
A. B。 C。 D。
解析　如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A（2，0，0）,
A1（2,0，4）,B1（2，2，4），D1（0，0,4），
∴＝(2，2，0）,＝(2，0，－4），＝（0，0，4)，
设n＝(x，y,z）是平面AB1D1的法向量，则n⊥,n⊥，
∴即
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝（2,－2，1)．
由在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
答案　C
9．直角△ABC的两条直角边BC＝3,AC＝4,PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
解析　以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴
建立如下图所示的空间直角坐标系．
则A(4，0,0）,B（0，3，0)，P（0，0,）,
所以＝（－4，3,0），
＝(－4，0，），
所以在AB上的投影长为
＝,
所以P到AB的距离为
d＝＝＝3。
答案　3
10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为______．
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，则A1(4，0,3），
B1(4，6，3），
B(4，6,0),C1（0，6，3），
＝（－4，6，0)，＝(0，6，－3),
＝（－4，0，3），＝(0，6，0)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z），
由解得n＝（1,，）．
∴d＝＝.
答案　
11．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB,BC的中点．
（1)求点D到平面PEF的距离；
（2)求直线AC到平面PEF的距离．
解　（1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，
y轴，z轴的空间直角坐标系,如图所示．
则P(0，0，1），A(1,0，0),
C(0，1,0），E(1，,0)，
F(，1,0），＝（－，，0），＝（1，，－1)，
设平面PEF的法向量n＝（x，y，z),
则n·＝0,且n·＝0，所以
令x＝2,则y＝2，，z＝3，所以n＝(2，2,3）,
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝（0，，0)，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，所以AC到平面PEF的距离为。
12．(创新拓展)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
解　如图所示，建立空间直角坐标系D.xyz，则A(4，0,0)，
M(2,0，4），D（0，0,0），B(4，4，0)，
E（0，2，4)，F（2,4,4），N（4,2，4），
从而＝（2,2，0），＝（2，2,0)，
＝(－2,0，4），＝(－2,0，4),
∴＝,＝，
∴EF∥MN，AM∥EF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
∴平面AMN∥平面EFBD。
设n＝（x，y，z)是平面AMN的法向量,
从而解得
取z＝1，得n＝(2，－2，1），由于＝（0，4，0），
所以在n上的投影为＝＝－。
∴两平行平面间的距离d＝＝。

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