空间解析几何课件.ppt

数量关系数量关系 第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 .四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七七章.表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,机动 目录 上页 下页 返回 结束.规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;机动 目录 上页 下页 返回 结束.二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动 目录 上页 下页 返回 结束.机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.向量的减法向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束.3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数,规定:可见 与 a 的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此机动 目录 上页 下页 返回 结束.定理定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)证证:“”.,取 且再证数 的唯一性.则ab设 ab取正号,反向时取负号,a,b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a,机动 目录 上页 下页 返回 结束.“”则例例1.设 M 为解解:ABCD 对角线的交点,已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab 机动 目录 上页 下页 返回 结束.三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o,坐标面 卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束.向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0);机动 目录 上页 下页 返回 结束.坐标轴:坐标面:机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,任意向量 r 可用向径 OM 表示.机动 目录 上页 下页 返回 结束.四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例2.求解以向量为未知元的线性方程组解解:2 3,得代入得机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例3.已知两点在AB直线上求一点 M,使解解:设 M 的坐标为如图所示及实数得即机动 目录 上页 下页 返回 结束.说明说明:由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点,于是得中点公式中点公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束.五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例4.求证以证证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例5.在 z 轴上求与两点等距解解:设该点为解得故所求点为及思考思考:(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.机动 目录 上页 下页 返回 结束.提示提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例例6.已知两点和解解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O,称 =AOB(0 )为向量 的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作机动 目录 上页 下页 返回 结束.方向余弦的性质:机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解解:计算向量机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例8.设点 A 位于第一卦限,解解:已知作业作业 P300 3,5,13,14,15,18,19角依次为求点 A 的坐标.则因点 A 在第一卦限,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 第二节 目录 上页 下页 返回 结束.备用题备用题解解:因1.设求向量在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为解：解：为边的平机动 目录 上页 下页 返回 结束.*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七七章.一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义定义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例引例.设一物体在常力 F 作用下,位移为 s,则力F 所做的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束.记作故2.性质性质为两个非零向量,则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束.3.运算律运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例1.证明三角形余弦定理证证:则如图.设机动 目录 上页 下页 返回 结束.4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例2.已知三点 AMB.解解:则求故机动 目录 上页 下页 返回 结束.为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束.二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力机动 目录 上页 下页 返回 结束.1.定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考思考:右图三角形面积S机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.性质性质为非零向量,则3.运算律运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束.4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则机动 目录 上页 下页 返回 结束.向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法(行列式计算见 P339P342)机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例4.已知三点角形 ABC 的面积 解解:如图所示,求三机动 目录 上页 下页 返回 结束.一点 M 的线速度例例5.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上 的表示式.解解:在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径机动 目录 上页 下页 返回 结束.*三、向量的混合积向量的混合积1.定义定义 已知三向量称数量混合积混合积.记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.混合积的坐标表示混合积的坐标表示设机动 目录 上页 下页 返回 结束.3.性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例7.证明四点共面.解解:因故 A,B,C,D 四点共面.机动 目录 上页 下页 返回 结束.内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动 目录 上页 下页 返回 结束.混合积:2.向量关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束.思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.答案答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动 目录 上页 下页 返回 结束.证证:由三角形面积公式所以因机动 目录 上页 下页 返回 结束.作业作业 P310 3,4,6,7,9(1);(2),10,12第三节 目录 上页 下页 返回 结束.备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束.在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有机动 目录 上页 下页 返回 结束.四、二次曲面四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第七七章.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解解:设轨迹上的动点为轨迹方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束.定义定义1.如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).机动 目录 上页 下页 返回 结束.故所求方程为例例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解解:设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例2.研究方程解解:配方得此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.机动 目录 上页 下页 返回 结束.定义定义2.一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴.例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束.建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束.思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例4.求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束.三、柱面三、柱面引例引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解解:在 xoy 面上，表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束.定义定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的平面平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线机动 目录 上页 下页 返回 结束.四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)机动 目录 上页 下页 返回 结束.1 1.椭球面椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束.与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)机动 目录 上页 下页 返回 结束.3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线:.虚轴平行于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线:双曲线:.(2)双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形图形.4.椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到,见书 P316)机动 目录 上页 下页 返回 结束.内容小结内容小结1.空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如,曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:机动 目录 上页 下页 返回 结束.斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.P318 题3,10机动 目录 上页 下页 返回 结束 题题10 答案答案:在 xoy 面上.第七七章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程.一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C.C机动 目录 上页 下页 返回 结束.又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.机动 目录 上页 下页 返回 结束.二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距螺距.机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例1.将下列曲线化为参数方程表示:解解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例2.求空间曲线:绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程.解解:点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程.例如例如,直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ,得旋转曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束.绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为 又如又如,xoz 面上的半圆周说明说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如机动 目录 上页 下页 返回 结束.三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束.例如例如,在xoy 面上的投影曲线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束.又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.机动 目录 上页 下页 返回 结束.内容小结内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线(如,圆柱螺线)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 P324 题 1，2，7（展示空间图形）.P324 题1 (2)(1)答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束.(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束.P324 题2(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束.思考思考:交线情况如何?交线情况如何?P324 题2(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束.P325 题 7机动 目录 上页 下页 返回 结束.备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 结束.第五节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七七章.一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例1.1.求过三点即解解:取该平面 的法向量为的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程机动 目录 上页 下页 返回 结束.此平面的三点式方程三点式方程也可写成 一般情况一般情况:过三点的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束.特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程.时,平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即机动 目录 上页 下页 返回 结束.二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束.特殊情形特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.例例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解:因平面通过 x 轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P327 例4,自己练习)机动 目录 上页 下页 返回 结束.三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动 目录 上页 下页 返回 结束.特别有下列结论：特别有下列结论：机动 目录 上页 下页 返回 结束.因此有例例4.一平面通过两点垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为 且机动 目录 上页 下页 返回 结束.外一点,求例例5.设解解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例6.解解:设球心为求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而机动 目录 上页 下页 返回 结束.内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束.思考与练习思考与练习P330 题4,5,8第六节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P330 2,6,7,9.备用题备用题求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.解解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得机动 目录 上页 下页 返回 结束.第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第七七章.一、空间直线方程一、空间直线方程因此其一般式方程1 1.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束.2.对称式方程对称式方程故有说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束.3.参数式方程参数式方程设得参数式方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.机动 目录 上页 下页 返回 结束.故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.机动 目录 上页 下页 返回 结束.二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束.特别有特别有:机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例2.求以下两直线的夹角解解:直线直线二直线夹角 的余弦为(参考P332 例2)从而的方向向量为的方向向量为机动 目录 上页 下页 返回 结束.当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直机动 目录 上页 下页 返回 结束.特别有特别有:解解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.垂 例例3.求过点(1,2,4)且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束.1.空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束.直线2.线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束.平面 :L L/夹角公式：3.面与线间的关系面与线间的关系直线 L:机动 目录 上页 下页 返回 结束.作业作业P335 3，4，5，7，9 P335 题2,10习题课 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习.解：解：相交,求此直线方程.的方向向量为过 A 点及 面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积.所以一直线过点 且垂直于直线 又和直线备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束.设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点.即故所求直线方程为 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束.代入上式,得由点法式得所求直线方程而机动 目录 上页 下页 返回 结束.习题课一一、内容小结内容小结 二、二、实例分析实例分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间解析几何 第七七章.一一、内容小结内容小结 空间平面空间平面一般式点法式截距式三点式1.1.空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程机动 目录 上页 下页 返回 结束.为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式为直线上一点;机动 目录 上页 下页 返回 结束.面与面的关系面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系线面之间的相互关系机动 目录 上页 下页 返回 结束.直线线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束.平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系面与线间的关系直线:机动 目录 上页 下页 返回 结束.3.相关的几个问题相关的几个问题(1)过直线的平面束 方程机动 目录 上页 下页 返回 结束.(2)点的距离为到平面 ：A x+B y+C z+D=0d机动 目录 上页 下页 返回 结束.到直线的距离为(3)点d机动 目录 上页 下页 返回 结束.二二、实例分析实例分析例例1.求与两平面 x 4 z=3 和 2 x y 5 z=1 的交线提示提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且 过点(3,2,5)的直线方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例2.求直线与平面的交点.提示提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例3.求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示提示:先求二直线交点 P.化已知直线方程为参数方程,代入 式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为过已知点且垂直于已知直线机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例4.求直线在平面上的投影直线方程.提示提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例5.设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.提示提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 所求为.例例6.求过直线L:且与平面夹成角的平面方程.提示提示:过直线 L 的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使从而得所求平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束.思路:先求交点例例7.求过点且与两直线都相交的直线 L.提示提示:的方程化为参数方程设 L 与它们的交点分别为 再写直线方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束.三点共线机动 目录 上页 下页 返回 结束.例例8.直线绕 z 轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.提示提示:在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习P338 题21 画出下列各曲面所围图形:.