高等数学-习题答案-方明亮-第七章.doc

高等数学方明亮版第七章

习题7-1

1.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解 （1）集合是开集，无界集；边界为或.
（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为
.
（3）集合是开集，区域，无界集；边界为.
（4）集合是闭集，有界集；边界为

2.已知函数，试求.
解 .
3.设，证明：
.
解
.
4.设 ，求.
解 由于，则.
5.求下列各函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解 （1）定义域为；
（2）定义域为；
（3）定义域为，即第一、三象限（不含坐标轴）；
（4）定义域为；
（5）定义域为；
（6）定义域为.
6.求下列各极限：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：（1）；
（2）；
（3）因为，且有界，故；
（4）；
（5）；
（6）当，时，有，
而
按夹逼定理得
7.证明下列极限不存在：
（1）；
（2）设.
证明 （1）当沿直线趋于时极限

与有关，上述极限不存在.
（2）当沿直线和曲线趋于有
，
，
故函数在点处二重极限不存在.
8.指出下列函数在何处间断：
（1）； （2）.
解（1）函数在处无定义，故该点为函数的间断点；
（2）函数在抛物线上无定义，故上的点均为函数的间断点.
9.用二重极限定义证明：
.
证
，其中，于是，，；当时，有成立，由二重极限定义知.
10.设，证明是上的连续函数.
证 设.，由于在处连续，故，当时，有
.
以上述作的邻域，则当时，显然
，
从而
，
即在点连续.由的任意性知，作为、的二元函数在上连续.

习题7－2
1.设在处的偏导数分别为，，问下列极限是什么？
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解 （1）；
（2）；
（3）；
（4）

2.求下列函数的一阶偏导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9） （10）.
解（1），；
（2），
；
（3），；
（4），
；
（5），
；
（6），；
（7），
；
（8），
；
（9），
，
；
（10），，
.
3.设，求，.
解法一 由于，所以，；
由于，所以，.
解法二 ，，
，.
4.设，求.
解法一 由于，.
解法二 ，.
5.设，求，.
解 ，.
6.设，证明.
解 由于，
，
所以
.
7.（1）在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？
（2）在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？
解 （1）按偏导数的几何意义，就是曲线在点处的切线对于轴正向所成倾角的斜率，而，即，于是倾角.
（2）按偏导数的几何意义，就是曲线在点处的切线对于轴正向所成倾角的斜率，而，即，于是倾角.
8.求下列函数的二阶偏函数：
（1）已知，求； （2）已知，求；
（3）已知，求和；
（4）求、、和.
解（1），；
（2），
；
（3）
，
，；
（4），，
，，
，.
9.设，求，，及.
解 因为，，，
，，
，，，
所以，，，.
10.验证：
（1）满足；
（2）满足.
证 （1）因为，，
所以；
（2）因为，，
由函数关于自变量的对称性，得
，，
所以 .
习题7－3
1.求下列函数的全微分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解 （1），
，
；
（2），
由函数关于自变量的对称性可得，
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
.
2.求下列函数的全微分：
（1）在，处的全微分；
（2）在，处的全微分.
解 （1）
因为
所以；
（2）因为

所以.
3. 求函数当，，，时的全微分.
解 因为
所以当，，，时全微分为
.
4.求函数当，，，时的全微分和全增量，并求两者之差.
解 因为

所以当，，，时全微分的值为
，
而当，，，时的全增量为
，
全增量与全微分之差为.
习题7－4
1.设，，，求.
解 .
2.设，而，，求.
解
.
3.设，，，求，.
解
，

.
4.设，而，，求，.
解
，
.
5. 设，，求，.
解
，

.
6.设，，，，求，，.
解
，

，

.
7.设，，，求，，并验证：
.
解 ，
，
则 .
8.设，，，求.
解 .
9.求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解（1），；
（2），，
；
（3），，；
（4），.
10.设，而，为可导函数，证明：
.
证

.
11.设，试证：.
证
.
12.设，且函数具有一阶连续偏导数，试证：
.
证 ，，
，
.
13.设，试证：.
证 ，，
.
14.求下列函数的二阶偏导数，，（其中具有二阶连续偏导数）：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解 （1）令，，则，和是中间变量.
，.
因为是和的函数，所以和也是和的函数，从而和是以和为中间变量的和的函数.故
，
，
.
（2）令，则是以为中间变量的和的函数.
，.
因为是的函数，所以也是的函数，从而是以中间变量的和的函数.故
，
，
.
（3）令，则
，.

，

，

.
（4）令，，，则
，.

，

，

.

习题7－5
1.设，求.
解 设，则
.
2.设，求.
解 设，则.
当时，由知，所以.
3.设，求.
解 设，则
.
4.设，求，.
解 设，则
，.
5.设方程确定了函数，其中存在偏导函数，求，.
解 ，.
6.设由方程分别可确定具有连续偏导数的函数，，，证明：
.
证 因为 ，，，
所以 .
7.设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足.
证 令，，则
，，.
，.
于是 .
8.设，求.
解 设，则，.
于是 ，

.
9.设是由方程所确定的隐函数，求.
解 设，则，，.
于是 ，，

.
由，知，得.
10.求由方程所确定的函数在点处的全微分.
解 设，则
，
，
，
.
11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
（1）设求，；
（2）设求，，，；
（3）设求，，，.
解 （1）分别在两个方程两端对求导，得

称项，得

在 的条件下，
解方程组得
.
.
（2）此方程组确定两个二元隐函数，，将所给方程的两边对求导并移项，得

在的条件下，
，
.
将所给方程的两边对求导，用同样方法在的条件下可得
，.
（3）此方程组确定两个二元隐函数，是已知函数的反函数，令
，.
则 ，，，，
，，，.
在的条件下，解方程组得
，
，
，
.

习题7－6
1.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：
（1），，在处；
（2），，在的对应点处；
（3），，在点处；
（4）在点处.
解 （1）因为，，，而点所对应的参数，所以
.
于是，切线方程为
.
法平面方程为
，
即 .
（2）因为，，，对应着点，所以
.
于是，切线方程为 .
法平面方程为 .
（3）因为，，，点对应在的参数为，所以
.
于是，切线方程为 .
法平面方程为 .
（4）将的两边对求导并移项，得

由此得 ，.
，.
从而 .
故所求切线方程为 .
法平面方程为 .
2.在曲线，，上求一点，使此点的切线平行于平面.
解 因为，，，设所求点对应的参数为，于是曲线在该点处的切向量可取为.已知平面的法向量为，由切线与平面平行，得，即，解得和.于是所求点为或.
3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：
（1）在点处；
（2）在点处；
（3）在点处.
解（1），
，
.
所以在点处的切平面方程为
，
即 .
法线方程为 .
（2），
，
.
所以在点处的切平面方程为
.
法线方程为 .
（3），
，
.
所以在点处的切平面方程为
.
法线方程为 .
4.求曲面上平行于平面的切平面方程.
解 设，则曲面在点处的一个法向量.已知平面的法向量为，由已知平面与所求切平面平行，得
，即，.
代入曲面方程得 .
解得 ，则，.
所以切点为 .
所求切平面方程为
5.证明：曲面上任意点处的切平面与直线平行（，为常数，函数可微）.
证 曲面的法向量为
，
而直线的方向向量，由知，即曲面上任意点的切平面与已知直线平行.
6.求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦.
解 令，曲面的法向量为
，
曲面在点处的法向量为，面的法向量，记与的夹角为，则所求的余弦值为
.
7.证明曲面（，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.
证 设，曲面上任一点的法向量为，该点的切平面方程为
，
即 .
这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为
.
习题7－7
1.求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.
解 按题意，方向，.
又 ，，
，，
故 .
2.求函数在点处沿与轴正向夹角为的方向的方向导数.
解 依题意， .
又 ，，
，，
故 .
3.求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数.
解 先求切线斜率：在两端分别对求导，得

于是 ， ，
法线斜率为
，
内法线方向 ，.
又 ，.
故 .
4.求函数在点处沿该点到方向的方向导数.
解 因为，，，
，，.
，，
所以 .
5.求函数在曲线，，上点处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于增大的方向）的方向导数.
解 先求曲线在给定点的切线方向：
因为 ，，，
所以曲线在点处的切线的方向向量可取为，
.
又 ，，.
故 .
6.求函数在球面上点处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数.
解 设，则，，，于是球面在处的外法线方向向量可取为，的方余弦为
，，，
又 ，，.
故

.
7.求函数在点沿方向的方向导数，的值，及的方向余弦.
解 ，，，，，.
所以
.
由梯度的定义得 ，
则 ，
的三个方向余弦为，，.
8.求函数在点处的梯度.
解 ，，，，，.
.
9.一个徙步旅行者爬山，已知山的高度满足函数，当他在点处时，为了尽可能快地升高，他应沿什么方向移动？
解 ，，，.

由梯度的意义可知，沿梯度方向能尽快地升高.
10.设，都是，，的函数，，的各偏导数都存在且连续，证明：
（1）；
（2）；
（3）.
证 （1）
；
（2）

（3）.
习题7－8
1.设，求函数的极值.
解 解方程组

求得驻点.
又 ，，
，，
由判定极值的充分条件知：在点处，函数取得极大值.
2.求函数的极值.
解 解方程组

求得驻点.
又 ，，
，，
由判定极值的充分条件知：在点处，函数取得极大值.
3.求函数在指定条件下的条件极值.
解 本题属条件极值问题，易将它化为无条件极值问题.
条件可以表示成，代入，则问题化为求的极大值.
由 ，得.
又 .
由一元函数取得极值的充分条件知为极小值点，极小值为.
4.求三个正数，使它们的和为50而它们的积最大.
解 设三个正数为，，，此问题为求条件下的最大值，作拉格朗日函数
.
令

求得是唯一的驻点，根据问题性质可知函数在该点处取得极大值.
5.在平面上求一点，使它到点和的距离平方和最小.
解 设所求点为，则此点到点和的距离平方和为

作拉格朗日函数
，
令

求得由于驻点惟一，根据问题本身可知，距离平方和最小的点必定存在，故所求点为.
6.将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体.问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？
解 设矩形的一边长为，则另一边长为，假设矩形绕长为的一边旋转，则旋转所成圆柱体的体积为.
由，求得驻点为.
由于驻点惟一，由题意又可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长为和时，绕短边旋转所得圆柱体体积最大.
7.在直线上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离.
解 设所求的点为，则此点到点的距离为

作拉格朗日函数
，
令

求得由于驻点惟一，根据问题本身可知，距离的最小值必定存在，最短距离为.

习题7－9
1.设生产某种产品的数量与所用两种原料、的数量、间的函数关系是.欲用150万元资金购料，已知、原料的单价分别为1万元/吨和2万元/吨，问购进两种原料各多少时，可使生产的产品数量最多？
解 此问题为求的条件下，的最大值.
作拉格朗日函数 ，
令
求解得，，由于驻点惟一，根据问题实际意义知最大值必存在，生产的产品的量大数量为.
2.某种合金的含铅量百分比（%）为，其熔解温度oC为，由实验测得与的数据如下表：
/（%）
36.9
46.7
63.7
77.8
84.0
87.5
/oC
181
197
235
270
283
282
试用最小二乘法建立与之间的经验公式.
解 设是各个数据的偏差平方和，即
.
令

整理，得

计算，得，，，.
代入方程组，得

解得，.
所以经验公式为.
复习题A
1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：
（1）在点可微分是在该点连续的 条件，在点连续是在该点可微分的 条件.
（2）在点的偏导数及存在是在该点可微分的
条件.在点可微分是函数在该点的偏导数及存在的
条件.
（3）的偏导数及在点存在且连续是在该点可微分的
条件.
（4）函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续是这两个二阶混合偏导数在内相等的 条件.
答案：（1）充分，必要；（2）必要，充分；（3）充分；（4）充分
2.求函数的定义域.
解 .
3.设，求.
解 因为，所以.
4. 求下列极限问题：
（1）； （2）.
解（1）解 令，则
；
（2）解 因为函数在处连续，由知，
.
5.讨论函数当时的极限存在性.
解 取和两条路径，有

因此不存在.
6.讨论下面函数的连续性：

解 当时，；
当时，.
故函数处处连续.
7.设，求和.
解 ，，
，.
8.求下列函数的一阶和二阶偏导数：
（1）； （2）.
解 （1），，，
，.
（2），，，，
.
9.求下列函数的全微分：
(1)设是由方程所确定的隐函数，求；
(2)设，求.
解 （1）由，
得 ；
（2）由知，

.
10.设，其中，均可微，求.
解 .
11.设，其中函数具有二阶连续导数，求.
解 ，
，
，
故
12.设函数由确定，求.
解 由，两边关于求导，得
.
即 .
故 .
13.求螺旋线在点处的切线及法平面方程.
解 ，，.
点所对应的参数，故曲线在给定点的切向量
.
于是切线方程为
，
即
法平面方程为 ，
即 .
14. 设从轴的正向到的转角为，求函数在点处沿方向的方向导数，并问取何值时，方向导数：(1)具有最大值；(2)具有最小值；(3)等于零.
解 由

故(1)当时，取得最大值；(2)当时，取得最小值；(3)当或时，
15．在已知的圆锥内嵌入一个长方体，如何选择其长、宽、高，使它的体积最大.
解 设圆锥的底半径为，高为，以底面圆心为坐标原点，底面圆心到顶点射线方向为轴正方向，建立坐标系，则圆锥的表面方程为
，
长方体的体积则为

设，
令
解得 ，，此时，.
复习题B
1.求极限.
解 由于，有，而
.
由夹逼准则知.

2.设
证明函数在处偏导数存在，但不连续.
证 ，
.
而
上式随的不同而变化，故极限不存在，从而不连续，但，存在.
3.设
证明在处连续且偏导数存在，但不可微分.
证 由知
，故在处连续.
当时
，
，
即，存在；
当时
,.
考虑

由
知当，时，不趋于零，故在处不可微.
4.设函数在点的某邻域内有定义，且，，则有 .
A..
B.曲面在点的一个法向量为.
C.曲线在点的一个切向量为.
D．曲线在点的一个切向量为.
解 函数在点处的两个偏导数存在，但不一定可微分，故（A）不对；
曲面在点处的一个法向量是，而不是，故（B）不对；
取为参数，则曲线，，在点处的一个切向量为，故（C）为正确答案.
5．设具有连续偏导数，且当时有，，求.
解 方程左右两边对求导，得
，
即 ，求得.
6.设是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求.
解 将方程及两端对求导，得

整理后得

这是以为未知数的二元一次方程组，由此解得

7.设确定函数，，求，.
解 将方程组改写成全微分得

消去，得 ，
消去，得 .
8.证明：曲面（，为常数）上任何点处的切平面在各坐标轴上截距之和为.
证 设，曲面上任一点的法向量为
，
该点的切平面方程为
，
即 .
这样，切平面在三个坐标轴上截距之和为
.
9.在椭球面上求一点，使得函数沿着点到点的方向导数具有最大值.
解 由，知

作 ，
令
解得 ，.
由于实际问题知方向导数必有最大值，比较得知方向导数在点处取得最大值.
10.证明：函数有无穷多个极大值，但无极小值.
证 由解得（）.
，，.
当，时，
，，，
，
故此时无极值.
当，时，可得
，，，，
因此，此时取极大值，且有无穷多个极大值：（）.