2018-2019学年福建省厦门市高一第一学期期末质量检测数学试题(解析版).doc

2018-2019学年福建省厦门市高一第一学期期末质量检测数学试题

一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据交集的定义即可求出A∩B．
【详解】
∵集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={-1，0，1}．
故选D．
【点睛】
本题考查交集的求法，是基础题.
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】使函数有意义的x满足 解不等式组即得解.
【详解】
使函数有意义的x满足解得即函数的定义域为.
故选B.
【点睛】
本题考查了具体函数定义域，属于基础题.
3．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三角函数定义=可得结果.
【详解】
角的终边经过点，所以，所以==.故选A.
【点睛】
本题考查了三角函数定义，已知角的终边上一点的坐标即可求得各种三角函数值，属于基础题.
4．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.
【详解】
根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.
【点睛】
本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.
5．化简的结果为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【解析】由对数的运算性质即可得解.
【详解】
==2-2=0.故选A.
【点睛】
本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.
6．已知是圆的一条弦，，则的值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．与圆的半径有关
【答案】C
【解析】是圆的一条弦,所以与共线同向，所以=||||=即可得解.
【详解】
是圆的一条弦,所以与共线同向，所以=||||==2.故选C.
【点睛】
本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题.
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．
【详解】
可得cos=1-2,所以= cos=.故选D.
【点睛】
本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的二倍角公式，诱导公式进行化简是解决本题的关键，属于基础题．
8．函数，若实数满足，且，则下列结论不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合函数的图象，逐个进行分析即可得解.
【详解】
函数的图象如下：

可得=即=0,所以=0,故A对；
可得,即，所以，，故B对；由图象可知 ，所以，所以1<<,,故，故C对；通过选项排除可知D不恒成立.
故选D.
【点睛】
本题考查了函数与方程，对数运算性质，数形结合能更有效的解决问题，属于中档题.

二、多选题
9．已知函数，，则，满足（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】ABC
【解析】逐一分析各选项即可；A：写出，即可解决；B：判断与的单调性即可；C：写出即可得解；D：写出即可得解.
【详解】
函数，
A:=,故A对；
B：因为函数为增函数，所以，，则在上恒成立，所以在递增，又，所以，即故B对；
C： ，故C对；
D： ，故D错；
故选ABC.
【点睛】
本题考查了函数的基本性质：奇偶性，单调性，熟练掌握各种初等函数的性质是关键，属于难题.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的图像关于对称
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】【详解】
函数
A:当x=0时，=1，=1+，故A错；
B：，当时，对应的函数值取得最小值为-1，所以B正确；
C：时， 所以函数在不单调，故C错；
D：因为，所以 ,又即2，所以恒成立，故D对；
故选BD.
【点睛】
本题考查了三角函数的综合性质，对称性，单调性，最值等，利用整体思想进行求解分析是关键,属于难题.

三、填空题
11．已知，，则________.
【答案】
【解析】得出，由可得,进而可求.
【详解】
得出，因为，所以=-，所以 =.故答案为.
【点睛】
本题考查了诱导公式的应用，同角关系基本公式的应用，属于基础题.
12．已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】若则A⊆B，根据集合，集合，即可得出实数的取值范围.
【详解】
若则A⊆B，又集合，集合，所以.
故答案为
【点睛】
本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，属于基础题.
13．设，，，用“<”把排序_______.
【答案】
【解析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．
【详解】
=sin,=sin(-)=sin> sin==，所以<<1,又==<,所以<.故答案为<.
【点睛】
本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键．
14．方格纸中向量，如图所示，若，则_______.

【答案】3
【解析】选取基底，把，用基底表示，结合平面向量基本定理即可列方程求解.
【详解】
由已知正方形网格中，设边长为1，设互相垂直的单位向量为,则 ， , =()+()=()+(3),
所以 所以.故答案为3.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理，选好基底是关键，属于基础题．
15．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示燕子的耗氧量的单位数，记时耗氧量为，时耗氧量为，则是的_________倍.
【答案】16
【解析】把代入函数解析式，列出方程，利用对数的性质，即可计算O2是O1的多少倍．
【详解】
，5=，则解得，故是的16倍.故答案为16.
【点睛】
本题考查对数的运算，属于基础题.
16．如图，矩形关于轴对称，其三个顶点恰好分别落在函数、、的图像上，若点的横坐标大于1，则点的坐标为_______.

【答案】
【解析】设出点A（m,）, 矩形及三个顶点所在的函数方程即可得到关于m的方程即可求得点的坐标.
【详解】
顶点在函数上，设出点A（m,），根据恰好分别落在函数、的图像上，则可得点B（），点C（）,则点D（m，），因为矩形关于轴对称，所以，又点的横坐标大于1，所以>1,故m=2,所以点D（2，-4）.故答案为（2，-4）.
【点睛】
本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，属于基础题．

四、解答题
17．已知函数的一个对称中心为，其图像上相邻两个最高点间的距离为.

（1）求函数的解析式；
（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数在一个周期内的图像，并写出函数的单调递减区间.
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)因为的图像上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，由此得因为的对称中心为，因为的对称中心，，求得，即可得解；（2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，列表，描点，作图，即可得出函数的单调递减区间.
【详解】
（1）因为的图像上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，
由和，可得
因为的对称中心为，
所以，，即，
又因为，所以，所以函数的解析式为.
（2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，列表如下：

由，可得，
所以函数的单调递减区间是.
【点睛】
本题考查三角函数性质，由周期，对称性得出解析式，考查五点作图法，是中档题．
18．已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）函数在区间内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确到0.3）；若没有零点，说明理由.
（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）见解析；（2）有，
【解析】（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f（x）在区间上的单调性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数在区间上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）.
【详解】
（1）函数在区间上是增函数，
设，且，
则，
所以，
故函数在区间上是增函数.
（2）是增函数，
又因为，，
所以连续函数在区间上有且仅有一个零点
因为，
所以
又因为，
所以
又，所以零点的近似值为.
【点睛】
本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题.
19．如图，平行四边形中，，，，点分别为边的中点，与相交于点，记，.

（1）用表示，并求；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由向量加法表示，平方求得代入各值即可得解;（2）因为，与共线，设，则表示，，由得出方程，即可解出.
【详解】
（1）由图形可知
因为

所以
（2）因为，与共线，
设，则
由于
因为，所以
即
则，解得，所以
【点睛】
本题考查了向量的加法法则，求向量的模，向量共线定理和平面向量基本定理，属于中档题.
20．如图，点在以原点为圆心的单位圆上，记锐角，点从开始，按逆时针方向以角速度在圆上做圆周运动，经过到达点，记的纵坐标关于时间的函数为.

（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，结合图象，由任意角的三角函数的定义求得y=f（t）的表达式,即可求得的值；（2）由（1）知，，则，所以化简即可求得在上的值域.
【详解】
（1）由题意，点是的终边与单位圆的交点，由任意角的三角函数的定义，知 又时，，即，得，即,此时.
（2）由（1）知，，则
所以

由，得，，从而
故函数在上的值域为.
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，求函数y=Asin（ωx+）的解析式，三角函数定义及两角和的正弦公式，求三角函数y=Asin（ωx+）在给定区间的值域，属于中档题.
21．医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况（如图所示）：当时，与的函数关系式为（为常数）；当时，与的函数关系式为（为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险.
（1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？
（2）首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物?
（参考数据：，）

【答案】（1）小时；（2）见解析
【解析】（1）当时，，函数图像过点，求出，进而求出t=1时，所以当时，，函数图像过点，求出m,解指数不等式求出t的范围即可；（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为，当时，，根据单调性，解得x=1即得解.
【详解】
（1）当时，，函数图像过点，
所以，得
所以当时，
当时，，函数图像过点
所以，所以
由，得，所以
则药物有疗效时间为小时.
（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为
当时，
因为函数在内单调递增，
所以当时，
当时，
因为，所以首次服药后1小时，可以立即再次服用同等规格的药物.
【点睛】
本题考查了函数在实际生活中的应用，给出函数模型进行求解，中间涉及指数方程和指数不等式解法，利用函数单调性是关键，属于中档题.
22．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）；（3）
【解析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；（2）因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）因为是上的偶函数，
所以，即
解得，经检验：当时，满足题意.
（2）因为，所以
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，则
因为，所以，所以，
所以，实数的取值范围是.
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于的方程有且只有一个解，
所以
令，得 （），记，
①当时，方程（）的解为，不满足题意，舍去；
②当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（）有一正一负两实根，所以符合题意；
③当时，且时，解得，
方程（）有两个相等的正实根，所以满足题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，考查了函数与方程零点问题，通常采用变量分离，或者通过换元转化为熟悉的二次方程根的分布问题，属于难题.

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