经管6-1-2-3几何应用.ppt

主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞高等数学 第三十三讲1.第六章利用元素法解决利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用2.什么问题可以用定积分解决什么问题可以用定积分解决?由于定积分的产生有其深刻的实际背景。因此定积分的应用也是非常广泛。利用定积分解决实际问题的关键是如何把实际问题抽象成定积分问题。建立定积分表达式解决这类问题经常使用的方法就是元素法。什么是元素法？我们不妨回顾一下利用定积分概念解决曲边梯形面积及变速直线运动的路程所采用的方法。即四步法：“分割、算近似、求和、取极限分割、算近似、求和、取极限”或或 “大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”3.定积分的元素法：定积分的元素法：定积分表达式的步骤：1、根据问题的具体情况选取一个变量。例如为积分变量，并确定它的变化区间2、在内任取一个典型小区间作代表，然后求出所求量在这个小区间上相应部分量的近似值，即称其为所求量的积分元素。积分元素。3、以所求量的元素为被积表达式，在上作定积分，即得这就是所求量的定积分表达式。以上方法称为定积分的元素法（或微元法）定积分的元素法（或微元法）（是关键一步）4.采用元素法计算平面面积的步骤：1、取为积分变量，其变化区间2.在上任取一代表性小区间相应于这个小区间上的面积为窄矩形3、以面积元素上作定积分，使得所求面积为被积表达式，在5.如何应用定积分解决问题如何应用定积分解决问题?第一步第一步 利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步第二步 利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法元素法(或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳 等近似值精确值6.第一节一、一、直角坐标系情形直角坐标系情形二、二、极坐标系情形极坐标系情形 平面图形面积 第六六章 7.一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 8.例例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积 解解:由得交点定上、下限域边两线夹域边两线夹两线与域中一线穿域中一线穿定被积函数9.例例2.计算抛物线与直线的面积.解解:由得交点所围图形为简便计算,选取 y 作积分变量,则有注：对注：对y作为积分变量作为积分变量上下夹定限，从左向右穿定上下夹定限，从左向右穿定被积函数。被积函数。10.例例3.求椭圆解解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a=b 时得圆面积公式11.一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积12.例例4.求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.解解:13.例例4.求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.解解:令利用对称性利用对称性14.二、极坐标系情形二、极坐标系情形若将直角坐标系中的原点取为极点极点，轴的正半轴取为极轴极轴。设直角坐标系中点的坐标极坐标系中点的坐标称为极坐标的极径极径。称为极坐标的极角极角。把由极轴出发逆时针方向为正。两坐标系中变量间关系：1、极坐标系15.思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)16.例例1：将下列圆用极坐标表示3.17.4.18.2.极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为19.对应 从例例5.计算阿基米德螺线解解:点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停0 变到 2 所围图形面积.20.例例6.计算心形线所围图形的面积.解解:(利用对称性)21.例例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解解:利用对称性,所求面积23.例例8.求双纽线所围图形面积.解解:利用对称性,则所求面积为思考思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案答案:24.内容小结内容小结 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程直角坐标方程上下限按顺时针方向确定25.作业作业 P205 1(1)(4)（5）;2；4；5(2),(3);6 B 2 26.三、极坐标系情形三、极坐标系情形第二节一、一、直角坐标系情形直角坐标系情形二、二、参数方程情形参数方程情形 平面曲线的弧长 第六六章 27.平面曲线的弧长平面曲线的弧长定义定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧 AB 的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称注：曲线在上光滑在上连续。28.一、曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长用元素法：1）取 x 为积分变量，2）在上任取一个小区间相应的积分下限一定小于积分上限29.例例1 计算曲线的一段弧的长度。解解 30.例例2.求连续曲线段解解:的弧长.31.二、曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长32.例例3.计算摆线一拱的弧长.解解:33.三、曲线弧由极坐标方程极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)注：在弧微分的计算中则 积分下限一定小于上限积分下限一定小于上限34.例例4.求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长.解解:(用分部积分法)35.内容小结内容小结平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上下限必须上大下小36.思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示提示:交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.37.作业作业 P206 8;9;10B 9 38.主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞高等数学 第三十四讲39.第三节一、平行截面为已知的立体体积一、平行截面为已知的立体体积二、二、旋转体的体积及侧面积旋转体的体积及侧面积 立体体积及侧面积 第六六章 40.一、已知平行截面面积函数的立体体积一、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体2 对应于小区间的体积元素为3 所求立体体积为上连续,则用元素法求得界于过轴上两点且垂直于轴的两平面之间，其垂直于轴的截面积为的体积1 取为积分变量，其变化区间为41.并与底面交成 角,解解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.例例1.1.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,42.思考思考:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示提示:43.垂直 x 轴的截面是椭圆例例2.计算由曲面所围立体(椭球体)解解:它的面积为因此椭球体体积为特别当 a=b=c 时就是球体体积.的体积.44.二、旋转体体积二、旋转体体积1、旋转体是指平面图形绕着该平面上某直线旋转一周而成的立体，该轴称为旋转轴。例如：圆锥可以看着是由直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周而成的旋转体。球体可以看着半园绕着它的直径旋转一周而成的旋转体。一般地说：绕着某个坐标轴旋转一周而得到的立体。旋转体总可以看着由平面上的曲边梯形45.运用定积分计算旋转一周围成的立体体积时,有由连续曲线段的立体体积时,有由连续曲线段直线及的曲边梯形，绕 y 轴旋转一周形成直线及轴所围成轴所围成的曲边梯形，轴绕46.例例3.计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积.解解:方法方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)47.方法方法2 利用椭圆参数方程则特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积48.例例4.求曲线解解与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积或(利用对称性)49.柱壳体积说明说明:柱面面积50.例例5.求曲线解解与 直线 y0,所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积51.例例6.计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.解解:绕 x 轴旋转而成的体积为(利用对称性)52.绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限!注注53.柱壳体积用柱壳法绕 y 轴旋转而成的体积为柱面面积55.偶函数奇奇函数56.例例7 求位于曲线与直线 y=2 围成的x=0 到 x=2 的一块平面图形，绕 y 轴旋转所产生的旋转体体积Vy。解解 先求簿圆柱壳体的体积其高从57.例例8.设在 x0 时为连续的非负函数,且 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积,证明:证证:利用柱壳法则故58.设平面图形 A 由与所确定,求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积.提示：提示：选 x 为积分变量.旋转体的体积为例例9.若选 y 为积分变量,则 59.例例10.求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.解解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限 60.三、旋转体的侧面积三、旋转体的侧面积 设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:61.侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 注意注意:侧面积为62.例例1.计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.解解:对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时,得球的表面积公式63.例例2.求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S.解解:利用对称性绕 x 轴旋转 64.例例3.试用定积分求圆绕 x 轴上上半圆为下下求体积:提示提示:方法方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S.66.求侧面积求侧面积:利用对称性上式也可写成上上半圆为下下它也反映了环面微元的另一种取法.67.方法方法2 用柱壳法说明说明:上式可变形为上上半圆为下下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).68.1、已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴:2、旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)绕 y 轴:(柱壳法柱壳法)内容小结内容小结69.作业作业 P206 15;18；19 B 4;670.例例2.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解解:下垂悬链线方程为71.