广东高中青数学教师命题大赛理科.doc

惠州市中学数学青年教师命题比赛:
高考数学模拟试卷（理科）（43）
本试卷共4页,21小题,满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.
第1题图
1. 设全集U=R,,,则图中
阴影表示地集合为（ ）
A． B． C． D．
2. 在复平面内,复数对应地点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
3. 函数在区间（－∞,4）上是减函数,则实数a地取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知,则地值为（ ）
A．1 B．2 C．－1 D.
5、等差数列地前n项和为,若地值为常数,则下列各数中也是常数地是（ ）
A. B. C. D.
6、下图代表未折叠正方体地展开图,将其折叠起来,变成正方体后地图形是（ ）

A． B． C． D．
7、若△ABC地对边分别为、、C且,,,则（ ）
A.5 B.25 C. D.
第8题图
开始
①
否
是
输出
结束
S=S+2n
n=n+1
n=1,S=0
8. 若图中地程序框图输出地S是126,则①应为 ( )
A．？　 B.？
C．？ D.？

二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分．
(一)必做题(9--12题)
9. 设,,且,则＝ ______ .
10．若抛物线地焦点与双曲线地右焦点重合,则地值为 ．
11．若,
则地值为 .
12. 把容量为100地某个样本数据分为10组,并填写频率分布表,若前七组地累积频率为0.79,而剩下三组地频数成公比大于2地整数等比数列,则剩下三组中频数最高地一组地频数为___________.
（二）选做题（13 ~ 15题,考生只能从中选做两题）
13. 若点在以点为焦点地抛物线上,则等于
14．（不等式选讲选做题）1.设函数,则 ；若,则地取值范围是 ．

A
B
P
C

第15题图

15.(几何证明选讲选做题) .如图：与圆相切于,为圆地
割线,并且不过圆心,已知,则圆地
半径等于 ．
三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
中,内角所对边分别为,已知
(1)求地长及地大小；
(2)若,求函数地值域.
17．（本小题满分13分）
一个多面体地三视图及直观图如图所示,M、N分别是A1B、B1C1地中点.
（1）求证：MN⊥平面A1BC；
（2）求异面直线AM和CA1所成地角；
（3）求二面角A—A1B—C地大小.
18．（本小题满分13分）
等级

产品
一等
二等
甲
5（万元）
2.5（万元）
乙
2.5（万元）
1.5（万元）

利
润
项目

产品
工人（名）
资金（万元）
甲
8
8
乙
2
10

用
量
工序

产品
第一工序
第二工序
甲
0.8
0.85
乙
0.75
0.8

概
率
某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序地加工结果相互独立,每道工序地加工结果均有A、B两个等级.对每种产品,两道工序地加工结果都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品.
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序地加工结果为A级地概率如
表一所示,分别求生产出地甲、乙产品为一等品地概率、；
（2）已知一件产品地利润如表二所示,用、分别表示一件甲、乙产品地利润,在（1）地条件下,求、地分布列及、；
（3）已知生产一件产品需用地工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名,可用资.金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产
品地数量,在（II）地条件下,x、y为何值时,最
大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C地中心在原点,焦点在x轴上,它地一个顶点恰好是抛物线地焦点,离心率等于.
（1）求椭圆C地方程；
（2）过椭圆C地右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若,,求证:为定值.
20、（本小题满分14分）
设数列地前项和为,且满足.
（1）求数列地通项公式；
（2）若数列满足且求数列地通项公式；
（3）设,求数列地前项和.
21、（本小题满分14分）
设函数,其图象在点处地切线地斜率分别为．
（1）求证：；
（2）若函数地递增区间为,求地取值范围；
（3）若当时（是与无关地常数）,恒有,试求地最小值．
高考数学模拟试卷（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.
1、答案:A
解析: 图中阴影表示地是,又,所以,故选A.
2、答案:B
解析: ,在复平面内对应地点在第二象限,故选B
3、答案:B
解析:由二次函数地图像和性质可得,,故选B.
4、答案:D.　
解析:令,故选D.
5、答案:C
解析: 由是常数,可得是常数,所以是常数,故选C.
6、答案:B
解析:当有圆孔地那一面在正方体地左侧面时就可得B选项地正方体.
7、答案:A
解析: 由,可得,再由余弦定理可得,,故选A.
8、答案:B
解析:依程序框图,得到地结果依次是:S=2,n=2;S=6,n=3;S=14,n=4;S=30,n=5;S=62,n=6,S=126,n=7故选B.
二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分．
9、答案:-
解析:由有可得
10、答案:6
解析: 双曲线地右焦点F（3,0）是抛物线地焦点,所以,,p=6
11、答案: –3
解析: 令,得；比较等式左右地系数相等,则；
令,得,所以
12、答案:16
解析:已知前七组地累积频率为0.79,而要研究后三组地问题,因此应先求出后三组地频率之和为1－0.79=0.21,进而求出后三组地共有频数,或者先求前七组共有频数后,再计算后三组地共有频数.由已知知前七组地累积频数为0.79×100=79,故后三组共有地频数为21,依题意=21,
a1（1+q+q2）=21.∴a1=1,q=4.∴后三组频数最高地一组地频数为16
13、答案: 4
解析: 抛物线为,准线为,为到准线地距离,即为.
14、答案: 6；
解析: .由得,则,得.
A
E

B
P
C
D

15、答案:7
解析:由圆地性质PA=PC·PB,得,PB=12,连接OA并反向延长
交圆于点E,在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J记圆地半径为R,由于ED·DA=CD·DB
因此,(２R－２) ·2=3·8,解得R=7
三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16、解：(1)由余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bccossA＝4－2cos＝1 ……4分
Þ a＝1 ……5分
∴B＝A＝； ……6分
(2)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋) ……9分
由(1),0＜x≤ Þ ＜2x＋≤ Þ ≤sin(2x＋)≤1 ……11分
∴函数地值域为[,2] ……12分
17、解:由三视图可知,在这个多面体地直观图中,AA1⊥平面ABC.
且AC⊥BC,AC=BC=CC1=a ．．．．．．．1分
（1）连结AC1,AB1,因为BC⊥平面ACC1A1,所以BC⊥AC1. ．．．．．．．2分
在正方形ACC1A1中,A1C⊥AC1
又因为BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC ．．．．．．．3分
由矩形性质得,AB1过A1B地中点M,
在△AB1C1中,由中位线性质得MN//AC1,
得MN⊥平面A1BC ．．．．．．．4分
（2）由题意CB,CA,CC1两两垂直,故以C为原点,CB,CA,
CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
又AC=BC=CC1=a,则B（a,0,0）B1（a,0,a）,A（0,a,0）,
C（0,0,0）,C1（0,0,a）, ．．．．．．．5分
A1（0,a,a）,则
．．．．．7分
∴异面直线AM和CA1所成地角为90° ．．．．．．．8分
（3）AB中点E地坐标为（
为平面AA1B地法向量.
又AC1⊥平面A1BC,故为平面A1BC地法向量 ．．．．．．．10分
设二面角A—A1B—C为θ,则
．．．．．．．12分
由题意可知,……13分
18、解：（1） ．．．．．．．2分
（2）随机变量、地分别列是

5
2.5
P
0.68
0.32

2.5
1.5
P
0.6
0.4

．．．．．．．6分
．．．．．．．7分

（3）由题设知 ．．．．．．．9分
目标函数为 ．．．．．．．10分
作出可行域（如图）：
作直线
将l向右上方平移至l1位置时,直线经过可行域上
地点M时与原点距离最大,此时取最大值.
解方程组 ．．．．．．．12分
得即时,z取最大值,z地最大值为25.2. ．．．．．．．13分
19、解:（1）设椭圆C地方程为,则由题意知b = 1. ………2分
……………4分
∴椭圆C地方程为 ………………5分
（2）设A、B、M点地坐标分别为
又易知F点地坐标为（2,0）. ………………6分
显然直线l存在地斜率,设直线l地斜率为k,则直线l地方程是………………7分
将直线l地方程代入到椭圆C地方程中,消去y并整理得
……………………………………9分
……………………………………10分
又 …………12分
………………14分
20、解：（1）时, 即
两式相减：,即故有
.
数列为首项公比地等比数列.
（2）
则

又
（3）
①
而 ②
①-②得：

21、解：（1）,由题意及导数地几何意义得
, 　（1） ……1分
, （2） ……2分
又,可得,即,故 ……3分
由（1）得,代入,再由,得
, （3） ……4分
将代入（2）得,即方程有实根．
故其判别式得,或, （4） ……5分
由（3）,（4）得；……6分
（2）由地判别式,
知方程有两个不等实根,设为, …………7分
又由知,为方程地一个实根,则有根与系数地关系得
, ………8分
当或时,,当时,,
故函数地递增区间为,由题设知, …………9分
因此,由（Ⅰ）知得地取值范围为；…10分
（3）由,即,即,
因为,则,整理得,
设,可以看作是关于地一次函数, ………11分
由题意对于恒成立,
故 即得或, …………12分
由题意,, …………13分
故,因此地最小值为． ………14分
附件一
表1．　07,08年广东卷试题知识分值分布

知识点
分值
年
向量
函数
三角函数
数列
解析几何
立体几何
概率统计
排列组合
复数
不等式
研究性题
选做题
07年
文
11
39
8
19
19(不包括选做题)
17
22

5

5
5
理
5
29
12
19
19(同上)
14
22
5
5

10
10
08年
文
5
27
18
19
19(同上)
19
23

5
10

5
理
5
24
18
17
19(同上)
19
28

5
5

10
表2．试题知识分值分布

文科
理科
知识版块
题号
分值
题号
分值
集合与逻辑

1
5
函数与导数

3,4,21
24
立体几何

6,17
18
平面解析几何

10,19
19
算法初步

8
5
概率与统计

12,18
18
平面向量与三角

7,9,16
22
数列

5,20
19
排列组合

11
5
复数

2
5
坐标系与参数方程

14
10
几何证明选讲

15
不等式选讲

13
表3 与07,08年对照
知识点
向量
函数
三角函数
数列
解
析
几
何
立体几何
概率统计
排列组合
复数
不等式
研究性题
选做题
分值
5
34
17
19
19
18
18
5
5

10

9 / 10