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1数字信号处理数字信号处理第第 0 章章绪论绪论1.数字信号处理是利用计算机或专用处理设备，以数字形式对信号进行采集、变换、滤波、估值、增强、压缩、识别等处理，以得到符合人们需要的信号形式。2.DSP 系统构成 输入 抗混叠 滤波A/DDSP芯片D/A 平滑 滤波输出输入信号首先进行带限滤波和抽样，然后进行 A/D（Analog toDigital）变换将信号变换成数字比特流。根据奈奎斯特抽样定理，为保证信息不丢失，抽样频率至少必须是输入带限信号最高频率的 2倍。DSP 芯片的输入是 A/D 变换后得到的以抽样形式表示的数字信号。3.信号的形式（1）连续信号在连续的时间范围内有定义的信号。连续-时间连续。2（2）离散信号在一些离散的瞬间才有定义的信号。离散-时间离散。4.数字信号处理主要包括如下几个部分（1）离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析（2）离散傅立叶变换、快速傅立叶变换（3）数字滤波器的设计第一章第一章 离散时间信号离散时间信号一、典型离散信号一、典型离散信号定义定义1.离散时间信号与数字信号时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。32.序列离散时间信号时间上不连续上的一个序列。通常定义为一个序列值的集合x(n)，n 为整型数，x(n)表示序列中第 n 个样值，表示全部样本值的集合。离散时间信号可以是通过采样得到的采样序列 x(n)=xa(nT)，也可以不是采样信号得到。二常用离散信号二常用离散信号1.单位抽样序列（也称单位冲激序列）)(n0,00,1)(nnn(n):在 n=0 时取值为 142.单位阶跃序列)(nu,0,00,1)(nnnu3.矩形序列，其它nNnnRN,010,1)(4.实指数序列,)()(nuanxn，a 为实数55.正弦型序列)sin()(nAnx式中，为数字域频率，单位为弧度。15On1 1 0 0sin n t0sin 16.复指数序列njenx)(0)(7.周期序列如果对所有 n 存在一个最小的正整数 N，使下面等式成立：)()(Nnxnx，则称 x(n)为周期序列，最小周期为 N。三序列的运算三序列的运算（一）基本运算离散时间信号（即序列）的基本运算包括移位、反折、求积、乘积、差分运算和尺度变换，下面分别介绍。1序列的移位设某一序列为()x n，若0m，则()x nm表示序列()x n整体右移了6m个样点形成的新序列，也称()x nm是()x n的m个样点的延迟。此时()x nm表示序列()x n整体左移了m个样点形成的新序列，也称()x nm是()x n的m个样点的超前。例如，()x n如图（a）所示，则(2)x n和(2)x n分别如图（b）和图（c）所示。序列的移位2序列的反折设某一序列为()x n，则()xn是以0n 为对称轴将序列()x n水平翻转，()xn称为序列()x n的反折。若()x n如图（a）所示，则()xn如图（b）所示。序列的反折3序列的求和()x n与()y n两个序列之和是指两个序列同序号（即n相同）的序列值逐项对就相加构成一个新的序列()z n，表示为()()()z nx ny n【例 1】已知1(),1()20,1nnx nn ，1(),0()21,0nny nnn，求()()x ny n7解：根据序列求和定义，得11(),02()()()2,11,1nnz nx ny nnnn ()x n、()y n和()()x ny n的图形分别如图（a）、（b）和（c）所示。序列的求和4序列的乘积()x n与()y n两个序列的乘积是指两个序列同序号（即n相同）的序列值逐项对就相乘构成一个新的序列()z n，表示为()()()z nx ny n【例 2】已知1(),1()20,1nnx nn ，1(),0()21,0nny nnn求()x n与()y n的乘积()()x ny n。解：根据序列乘积的定义可得1(),0()()()40,0nnz nx ny nn 另外，序列还可以与标量相乘，定义为()()y nx n8序列()x n与标量相乘相当于()()y nx n中每一个样值是相同序号（即n相同）的()x n样值的倍。5.尺度变换（1）抽取序列)(mnx是)(nx序列每隔 m 点取一点形成的，相当于时间轴 n 压缩了 m 倍。（2）插值序列mnx是)(nx序列相邻抽样点间补（m1)个零值点，表示零值插值。（二）其它计算1.累加（等效积分）nkkxny)()(2.差分运算（1）前向差分)()1()(nxnxnx（2）后向差分)1()()(nxnxnx93.卷积mmnhmxnhnxny)()()()()(设 x(n)和 h(n)两序列的长度分别是 N 和 M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。四时域离散系统四时域离散系统1.线性系统：满足叠加原理的系统。判定公式：则：例：)792sin()()(nnxny是线性系统。证：)792sin()()(11nnxny)792sin()()(22nnxny)792sin()()()()(22112211nnxanxanxanxaT)792sin()()()()(22112211nnxanxanyanya由上式得：)()()()(22112211nyanyanxanxaT2.时不变系统（移不变系统）：判定公式：若 ()()T x nY n，则 ()()T x nkY nk例：bnaxny)()(10证：bnnaxnnxT)()(00bnnaxnnxT)()(00bnnaxnny)()(00由上式得：)()(00nnxTnny3.线性移不变系统设系统的输入序列为 x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:mx nx mnm那么，系统对应的输出为：my nT x nTx mnm如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：mmy nT x mnmx m Tnm又根据移不变性和 h(n)定义，则有：冲激响应：()()h nmTnm所以此时系统输出为：()()*()y nx nh n，()()()Y jX jH j，()()()Y zX z H z4.稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|x n ，则|()|y n 线性移不变系统是稳定系统的充要条件：|()|nh n 5.因果系统：0n 时刻的输出0()y n只由0n 时刻之前的输入0(),x n nn决定线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h nn（1）对于连续时间系统：t=t1 的输出 y(t1)只取决于 tt1 的输入 x(tt1)时，则此系统为因果系统，11（2）对于离散时间系统：n=n1 的输出 y(n1)只取决于 nn1 的输入 x(nn1)时，则此系统为因果系统，例：（1）y(t)=x(sin(t)不是因果系统，因为 y(-)=x(0),表明 y(t)在一段时间内可能取决于未来的 x(t)。（2）y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以 x（t）的当前值影响了 y（t）的当前值。6.稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|nh n，()0,0h nn或：H(z)的极点在单位园内H(z)的收敛域满足：|,1xxzRR第二章第二章 采样定理采样定理连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。1.实际抽样与理想抽样12xa(t)ot(a)(b)xa(t)(atxTp(t)tttt(c)(e)(d)(f)s(t)xp(t)(atxooooT1T)()()(tstxtxaa)()()(nTtnTxtxana2.理想采样信号的频谱)()()(tstxtxaadtetsjSdtetxjXtjtjaa)()()()()()(21)(jSjXjXaakaaTjkjXTjX)2(1)(130 c cXa(j)P(j)s s0Xa(j)0Xa(j)c s（a）（b）（c）（d）2s0 s s s2s2s由上图可知：当s2c 时，采样信号的频谱不产生重叠，通过理想滤波器，信号可以无失真地复现出来，这种情况称过采样；如果s2c，采样信号的频谱出现重叠，信号产生失真，称不足采样，这种频谱的重叠称混淆。3.抽样的恢复2|02|)(ssTjG140Xa(j)G(j)xa(t)ya(t)0G(j)/T/T0Xa(j)（a）（b）（c）（d）4.奈奎斯特取样定理(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。(2)设连续信号 xa(t)属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c（fs1/2fc），那么让采样信号 xa(t)通过一个增益为 T，截止频率为s/2 的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号 xa(t)。否则s2c 会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。ttya0cos)(3)不足采样情况如果s20，其中s 是采样频率，0是输入信号频率。例如0=6，s=10可以得出s=5/3 0s-0=2/3015ttysa)cos()(0于是，复现信号为)(tyacos0t 2/3=cos6t00Ya(j)Ya(j)(s0)混叠无混叠0T0Toos0（4）折叠频率Ts2为防混叠滤波器，低通滤波器的截止频率为s/2。第二章第二章信号与信号频谱信号与信号频谱一信号的定义及种类信号的概念广泛出现于各领域中。这里所说的均指电信号，一般可表示为一个或多个变量的函数。按照信号随时间变化的特点，可分为 确定信号与随机信号 连续时间信号与离散时间信号 周期信号与非周期信号16 其它分类如：奇信号与偶信号，调制信号与载波信号，能量有限信号与功率有限信号 二信号相关分析原理1.信号的互能量与互能谱（1）信号的能量：指信号 f(t)的归一化能量，即信号的电压（电流）加在 1 欧电阻上所消耗的能量。dttfE2|)(|（2）能量谱与功率谱 能量谱:dFdttfE22)(21)(其中|F()|2表明了信号能量在频域的分布情况，所以被称为能量谱密度,简称能谱。记作：2)()(FW 功率谱：设)(0tfT是)(tf的截短函数220000)()(TTTtttftf则 f(t)的功率谱密度函数为02)(lim)(00TFSTTdSP)(21（3）两信号的互能量两信号 x(t)、y(t)之和的能量为：17信号的互能量为：dttytxExy)()(2（4）广义瑞利公式、互能谱广义瑞利公式：若信号 x(t)和 y(t)为实函数，其频谱密度分别为)()(YX和，则dYXdttytxyx)()(21)()(),(互能谱：)()()(YXWxyWxy()称为信号 x(t)、y(t)的互能谱密度，简称互能谱。2.信号的自相关函数（1）定义：为了定量地确定信号 x(t)与时移副本 x(t-)的差别或相似程度，通常用自相关函数：dttxtxRx)()()(（2）特点：自相关函数是偶函数)()(RR 当=0 时，自相关函数等于信号的能量xxEdttxR)()0(2 Rx(0)为自相关函数的最大值自相关函数等于 信号能谱的傅立叶变换。deRWjxx)()(（3）无限长信号的自相关函数无限长非周期函数：20200)()(1lim)(0TTdttxtxTRTx周期函数：22)()(1)(TTdttxtxTRx周期信号的自相关函数是 的周期函数，周期为 T。当=0 或T 的整数倍时，x(t-)=x(t),Rx()达到最大值，为 x(t)的平均功率。4.离散信号的自相关函数18jnjxjxnR)()()(性质：离散自相关函数是偶函数)()(nRnR在 n=0 时，自相关函数就是离散信号的能量xjxEjxR)()0(25.信号的互相关函数（1）定义：设 x(t)、y(t)为能量信号，则 x(t)、y(t)的互相关函数为dttxtyRyx)()()(dttxtyRyx)()()(式中为两信号的时差。如果两信号完全不相关，则互相关系数等于 0。（2）性质 互相关函数不是偶函数。)()(xyxyRR)()(yxxyRR但)()(yxxyRR（3）相关定理若 x(t)、y(t)的频谱函数分别为 X（），Y（），则)()()(YXRFxy)()()(XYRFyx由此可见，两信号的互相关函数和互能谱是一对傅立叶变换。)()()()(YXWRxyxy（4）离散信号的互相关函数jxynjyjxR)()()(三频谱分析基本知识191.相关定义（1）频谱：广义上，信号频谱是指组成信号的全部频率分量的总集；狭义上，一般的频谱测量中常将随频率变化的幅度谱称为频谱。（2）频谱测量：在频域内测量信号的各频率分量，以获得信号的多种参数。频谱测量的基础是傅里叶变换。（3）频谱的两种基本类型离散频谱（线状谱），各条谱线分别代表某个频率分量的幅度，每两条谱线之间的间隔相等连续频谱，可视为谱线间隔无穷小，如非周期信号和各种随机噪声的频谱。2.傅里叶变换（1）傅里叶变换公式：dtetfFtj)()(傅里叶逆变换的公式：deFtftj)(21)(|F()|称为 f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱)（2)几个重要结论当 f(t)是实函数时：若 f(t)为 t 的偶函数，即 f(t)=f(-t)，则 f(t)的频谱函数 F(j)为的实函数，且为的偶函数。若f(t)为t的奇函数，即 f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数 F(j)为的虚函数，且为的奇函数。20（2）几种常见信号的傅里叶变换信号类项目信号函数信号时域形式信号频域形式傅里叶变换冲激函数0,00,1)(ttt1)()(dtetjFtj阶跃函数jjF1)()(指数衰减函数0)(atetf00tt)0()(tetarctan2211)()(jtjejdtetfjF信号信号21（3）频谱特征周期信号的频谱特性离散性：频谱是离散的，由无穷多个冲激函数组成，两谱线间隔为T2；谐波性：谱线只在基波频率的整数倍上出现，谱线代表的是基波及其高次谐波分量的幅度或相位信息；收敛性：各次谐波的幅度随着谐波次数的增大而逐渐减小周期信号的频谱特性非周期信号 x(t)的频谱是连续的。无论 f(t)为实函数或虚函数，幅度谱关于纵轴对称，相位谱关于原点对称。（4）傅里叶变换的性质线性性质:尺度变换：22时移性：（5）窗函数为了弥补傅里叶变换的缺陷，给信号加上一个窗函数，对信号加窗后计算加窗后函数的傅里叶变换，加窗后得到时间附近的很小时间上的局部谱，窗函数可以根据时间的位置变化在整个时间轴上平移，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱，实现了时间局域化。（6）截断效应将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的 9%。这种现象称为截断效应，又叫吉布斯效应。23第三章第三章z 变换变换一Z 变换的定义变换的定义1.公式：nnznxnxzX)()()(Z2.Z 变换与傅立叶变换的关系：jezzXjX)()(二Z 变换的收敛域级数收敛的充要条件是满足绝对可和MZnxnn)(收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有 Z 变换的收敛区域确定之后，才能由 Z 变换唯一地确定序列。一般来来说，序列的 Z 变换的收敛域在 Z 平面上的一环状区域：xxRzR|1.有限长序列：其它021NnNnxnx)()(，|0z2.右序列：1()()0 x nNnx n 其它，|Rx-z3.左序列：2()()0 x nnNx n 其它，（|z|0 时：0|Z|Rx+；N20 时：0|Z|Rx+）4.双边序列：(),x nn ，xxRzR|24|z|RxojImzRez|z|Rx例例:x(n)=anu(n),求其 Z 变换及收敛域。解解这是一个因果序列，其 Z 变换为这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|a|处收敛如图所示。故得到以上闭合形式的表达式，由于|z|a|，故在 z=a 处有一极点(用“”表示)，在 z=0 处有一个零点(用“”表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。所以，右边序列的 Z 变换如果有 N 个有限极点z1,z2,zN存在，那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即对于因果序列，处也不能有极点。例题的收敛域101011)()()(azazzaznuazXnnnnnnnn|,|,|,max|21NxzzzRojImzRez|a|a25三常用序列的 Z 变换：111()1,|01(),|111(),|11(1),|1nnZnzZ u nzzZ a u nzaazZ b unzbbz 四逆逆 Z 变换变换()()nxxkX zx n zRzR11()()2ncx nX z zdzj 261.留数法：留数法：11()Re (),2nkckX z zdzs F z zj 2.部分分式展开法：部分分式展开法：五五Z 变换的性质变换的性质1.线性性质线性性质()()()()mmM z ZT m naX zbY zRzR2.序列的移位性质序列的移位性质()()xxX zZT x nRzR00()()nxxZT x nnzX zRzR3.序列乘以指数序列的性质序列乘以指数序列的性质()()xxX zZT x nRzR()()ny na x na为常数1()()()nxxY zZT a x nX a za Rza R4.序列乘以序列乘以 n 的的 ZT()()xxX zZT x nRzR()()xxdX zZT nx nzRzRdx 5.复共轭序列的复共轭序列的 ZT()()xxX zZT x nRzR*()()xxZT x nXzRzR6.初值定理初值定理()()X zZT x n(0)lim()zxX z7.终值定理终值定理1lim()lim(1)()zzx nzx z8.时域卷积定理时域卷积定理设设()()*()nx ny n()()xxX zZT x nRzR()()xxY zZT y nRzR27则()()()()W zZTnX z Y zwwRzR9.复卷积定理()()xxZT x nX zRzR()()yyZT y nY zRzR()()()nx n y n1()()()2xyxycz dW zXYR RzR Rj 10.帕斯维尔定理()()xxZT x nX zRzR()()yyZT y nY zRzR1xyR R，1xyR R那么*1*11()()()()2cnx n y nXYdj 六利用 Z 变换分析信号和系统的频响特性1.频率响应函数与系统函数00()()()MiiiMiikb zY zH zX za z2.用系统极点分布分析系统的因果性和稳定性因果系统：h（n）=0，n0右序列收敛域为圆外稳定系统：收敛域包含单位圆()nx n 3.利用系统的极零点分布分析系统的频率响应特性10111011(1)()()(1)()MMMMiiiiiiiNNNkNkkkkkkz zzz zb zH zAAa zz zzzz（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列 x(n)的 Z 变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）28第四章第四章 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换离散傅立叶变换、快速傅立叶变换一傅里叶变化物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便于研究问题。定义：定义：njnjenxnxFTeX)()()(存在的充分条件：存在的充分条件：()nx n 反变换：反变换：1()()()2jjj tx nIFT X eX eed二二周期序列的离散傅立叶级数（周期序列的离散傅立叶级数（DFSDFS）1.公式)()(nxDFSkXpp210()NjknNpnxn e10()NknpNnxn W()()ppxnIDFS Xk 211NjknNPK OXk eN 11NknPNK OXk WN其中：NW=Nje/22.离散傅里叶级数性质(1)线性)()()()(2121kXbkXanxbnxaDFS(2)序列移位(循环、移位)时域)()(kXWmnxDFSmkN频域)()(nxWlkXIDFSnlN(3)调制性)()(lkXnxWDFSnlN(4)时域卷积时域卷积等于频域相乘：)()()(21kXkXkY29(5)频域卷积频域卷积等于时域相乘：)()()(21nxnxny三有限长序列的离散傅立叶变换有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)(DFT)1.1.公式公式)()(nxDFTkX()()NNDFS xnRk10()NknNnx n W，0k1N()()x nIDFT X k()()NNIDFS XkRn101()NknNkX k WN，0n1N应当注意应当注意，虽然)(nx和()X k 都是长度为N得有限长序列，但他们分别是由周期序列)(nxp和)(kXp截取其主周期得到的，本质上是做 DFS 或 IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。四四时域抽取基时域抽取基 2 2 FFTFFT 算法（算法（DIT-FFTDIT-FFT）301.计算数据要求：2MN，2 FFT 算法：蝶形运算。10/2 1/2 12(21)00/2 1/2 1120022()()()()(2)(21)()()NknknknNNNnnnNNkrkrNNrrNNkrkkrNNNrrX kx n Wx n Wx n Wxr WxrWx r WWx r W偶数奇数N=8，FFT 运算流图每一级由 N/2 个碟形构成2）计算效率（乘法运算次数：1log2()2NN，加法计算次数：log2()NN）（复数运算）（DFT 运算：乘法运算次数：2N，加法计算次数：(1)N N）（复数运算）312.2.利用利用 DFTDFT 对模拟信号进行谱分析对模拟信号进行谱分析首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后，就可按照前面的方法用 FFT 来对连续信号进行频谱分析。按采样定理，采样频率应大于 2 倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混迭低通滤波器。由此可得到用 FFT 对模拟信号进行频谱分析的方框图如下：截断的信号时间长度为 Tp=NT，F 表示对模拟信号频谱的采样间隔，所以称之为频率分辨率11spFFTNTN信号分析过程中为了避免混叠，要求cs2 fF，为提高频率分辨率可以增加采样点数N，或者增加对信号的观察时间 TpFfNc2FT1p用用 FFTFFT 进行频谱存在的问题进行频谱存在的问题 1 1）频谱泄漏频谱泄漏，2 2）为栅栏效应）为栅栏效应。32第第 5 章章数字滤波器的结构数字滤波器的结构 DF数字滤波器的作用是对输入信号起到滤波的作用；即 DF 是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。数字滤波器的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。一.数字滤波器的概念.滤波器：指对输入信号起滤波作用的装置。系统输出,对其进行傅氏变换得:2.数字滤波器：当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h（n）时，这样的滤波器称作数字滤波器。3.滤波器的功能滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制33不要的部分。二、数字滤波器的系统函数与差分方程1.系统函数2.差分方程对上式进行 Z 反变换，即得3.滤波器的功能与实现滤波就是对输入序列 x（n）进行一定的运算操作。从而得到输出序列 y（n）。实现滤波从运算上看,只需三种运算：加法、单位延迟、乘常数。34因此实现的方法有两种：（1）利用通用计算机编程，即软件实现;（2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。三、数字滤波器的结构表示法1.方框图法方框图法简明且直观，其三种基本运算如下图所示：（1）单位延时:（2）乘常数:（3）相加:2.信号流图法三种基本的运算：单位延时：35乘常数：相加：例如：用信号流可表示为：四、数字滤波器分类及性能指标1.和模拟滤波器一样，数字滤波器按照通带特性可以划分为：四种基本滤波器为低通（LP）、高通（HP）、带通（BP）和带阻滤36波器（BRF）。（1）时域特性（2）四种基本滤波器的数字表示2.从单位脉冲响应的角度，可以把数字滤波器分为：IIR 滤波器（无限长单位冲激响应滤波器）和FIR滤波器（有限长单位冲激响应37滤 波器）。3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器等等。五、无限长单位冲激响应 IIR 滤波器的结构（一）IIR 滤波器的特点1.单位冲激响应 h（n）是无限长的。2.系统函数 H（z）在有限 Z 平面（）上有极点存在。3.结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。4.因果稳定的 IIR 滤波器其全部极点一定在单位圆内。（二）基本结构：直接 I 型、直接 II 型、级联型和并联型1.直接 I 型（1）系统函数（2）差分方程（N 阶）(3)结构流图-按差分方程可以写出38(4)特点第一个网络实现零点，即实现 x(n)加权延时:第二个网络实现极点，即实现 y(n)加权延时:可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。*共需（M+N）个存储延时单元。2.直接 II 型3910101()()()()()()()1()()()1NkkkMkkkNkkkMkkkNkkkZXzXza zX zY zXzb zX zXza zb zY zH zX za z对以上两式进行 变换：因此，3.级联型先将系统函数按零、极点进行因式分解其中，pk 为实零点，ck 为实极点；qk，qk*表示复共轭零点，dk，dk*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子，则得：404.并联型将 H（Z）展成部分分式形式:5.转置定理如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入和输出交换其系统函数仍不改变。6.几种结构的比较（1）直接 I 型和直接 II 型实现起来具有简单直观的特点。需要(M+N)个加法器和(M+N)个乘法器，直接 II 型比直接 I 型节省 M 个延时单元，在 M=N 的情况下，需要 N 个延时单元。（2）直接性的主要缺点在于差分方程的系数 ak,bk对滤波器的性41能控制不直接，同时由于其高度反馈性，容易出现不稳定或产生较大误差。（3）级联结构的特点是每个二阶节是相互独立的，可分别通过调整个零极点对来对滤波器性能进行较好的控制，且各二阶节的顺序可重排，能有效的减少有限字长效应。实现需要(M+N)个加法器,(M+N)个乘法器，和 N 个延时单元。该结构应用最广泛。（4）并联型结构是用的加法器，乘法器，延时单元基本与级联结构相同。它只能独立的调整各极点的位置，不能单独调整零点的位置。但并联结构的误差比级联结构的运算误差小。六、FIR 滤波器的结构（一）特点：1.h（n）在有限个 n 值处不为零。2.H（z）在|0z 处收敛，极点全部在 z=0 处。3.非递归结构h(n)为一个 N 点序列，z=0 处为 N-1 阶极点，z 有 N-1 阶零点。（二）基本结构1.横截型（卷积型、直接型）42它就是线性移不变系统的卷积和公式用转置定理可得另一种结构：2.级联型将 H（Z）分解为实系数二阶因子的乘积形式注：N/2表示取 N/2 的整数部分，如*N 为偶数时，N-1 为奇数，这时因为有奇数个根，所以中有一个为零。当 N 为奇数时的结构如下：43一般情况：特点：每节结构可控制一对零点。所需系数ik多，乘法次数也多。3.快速卷积型这样，就可以得到 FIR 的快速卷积结构44这里的 DFT 和 IDFT 均可以利用 FFT 算法。4.线性相位型 FIR 滤波器的对称结构若 FIR 滤波器的单位脉冲响应满足条件：则 FIR 数字滤波器具有线性相位特性。（三）线性相位特性：FIR 数字滤波器的相位函数()是数字频率的线性函数；1.满足第一类线性相位的条件第一类线性相位的条件：h(n)是实序列且关于 n=(N-1)/245偶对称；即()(1)h nh Nn频率响应（1）N 为偶数（2）N 为奇数2.满足第二类线性相位的充要条件()(1)01h nh NnnN n=(N 1)/2 为 h(n)的奇对称中心12N有准确的线型相位，滤波器有（N1）/2 个抽样的延时。46频率响应（1）N 为偶数（2）N 为奇数3.零点位置由()(1)01h nh NnnN （1）系统函数：4711001(1)01(1)0(1)1(1)1()()(1)()1()()()()NNnnnnNNmmNNmmNNH zh n zh Nn zh m zmNnzh m zzH zH zzH z 令则（2）结论：若 z=zi是 H(z)的零点，则 z=zi-1也是零点1(1)()0()()0NiiiiH zH zzH z h(n)为实数，则零点共轭成对零点位置：10ijiiiizrer 或零点：11iiiijjjjiiiirereeerr4810ijiiiizrer 或，即零点在单位圆上10ijiiiizrer 或，即零点在实轴上10ijiiiizrer 或，即零点既在实轴上，又在单位圆上49第六章第六章数字滤波器（数字滤波器（DF）的设计）的设计一数字滤波器设计的基本问题（一）性能指标1.带宽：当幅度降低到 0.707 时的宽度称为滤波器的带宽（3dB带宽）2.通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。3.阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量504.带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度（二）数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计三个步骤:1.按要求确定滤波器的性能参数；2.用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近去逼近这一性能要求；3.用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用 DSP。（三）数字滤波器的性能要求1.选频滤波器的频率响应：51（1）()()()jjjjH eH ee为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况。为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。（2）理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近二、无限脉冲响应数字滤波器（二、无限脉冲响应数字滤波器（IIR）的设计）的设计特点 阶数少、运算次数及存储单元都较少 适合应用于要求相位特性不严格的场合。52 有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。是递归系统，存在稳定性问题。（一）设计 IIR 数字滤波器的几种方法1.对于 IIR 数字滤波器，其系统函数为：设计 IIR 滤波器的系统函数，就是要确定 H(z)的阶数 N（通常称N 为 滤 波 器 的 阶 数）以 及 分 子 分 母 多 项 式 的 系 数满足指定的频率特性。2.设计 IIR 数字滤波器通常采用以下三种方法：（1）利用模拟滤波器的理论来设计首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它“变换”成满足给定指标的数字滤波器。这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等。当把模拟滤波器的 H(s)“变换”成数字滤波器的 H(z)时，其实质就是实现 S 平面向 Z 平面的“映射”。这必须满足两个条件：必须保证模拟频率映射为数字频率，且保证两者的频率特性基本一致。即：要求变换后代表 S 平面的虚轴 j应映射到 Z 片面的单位圆且数字滤波器的频率响应和模拟滤波器频率响应的形状应53基本保持不变；因果稳定的模拟滤波器系统函数 H(s)转换成数字滤波器传输函数H(z)后，仍然是因果稳定的。即：要求 S 平面左半平面的极点必须映射到 Z 平面的单位圆内。实现“映射”的两种常用的方法：脉冲响应不变法：从时域的角度出发进行映射 双线性不变法：从频域角度出发进行映射（2）利用最优化技术进行 CAD 设计若需设计滤波器的幅频特性是任意的或者形状比较复杂，可采用计算机辅助设计(CAD)方法进行优化设计。（3）利用“零极点累试法”进行设计若需设计滤波器的幅频特性比较规则而且简单时，可采用“零极点累试法”进行设计。例如：数字陷波器。（二）模拟滤波器的设计1.两种常用的模拟滤波器的设计方法：巴特沃思(Butterworth)滤波器和切比雪夫(Chebyshev)滤波器。2.模拟滤波器设计中的基本概念（1）模拟滤波器的频率特性与衰减特性工程上，滤波器的幅度特性所给定的指标通常是通带和阻带的衰减。（常用反映功率增益的幅度平方函数或模平方函数来表示）即：2()10lg|()|20lg|()|()AH jH jdB 当要求滤波器具有线性相位特性（延时为常数）时，滤波器的54频率特性为：()()|()|,()jH jH je 2.归一化与频率变换在设计模拟滤波器时，为使设计结果具有普遍性以及计算方便，常采用归一化参数。归一化包含：电路参数归一化：将系统中无源元件的阻抗或运算阻抗分别除以基准电阻(系统的负载电阻值)；频率归一化：将所有的频率都除以基准频率（滤波器的截止频率）。计算实际电路参数时应要将归一化频率乘以截止频率，进行反归一化。频率变换：从归一化低通原型滤波器到高通、带通、带阻等其它类型的滤波器的变换方法。（三）设计 IIR 滤波器的脉冲响应不变法1.变换原理551.脉冲响应不变法步骤：（1）设模拟滤波器的系统函数为()aHs，相应的单位冲击响应是()ah t，()()aaHsLT h t。LT.代表拉氏变换，对()ah t进行等间隔采样，采样间隔为 T，得到()ah nT，将 h(n)=()ah nT作为数字滤波器的单位脉冲响应，那么数字滤波器的系统函数()H z便是()h n的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域逼近方法，它使()h n在采样点上等于()ah t。但是，模拟滤波器的设计结果是()aHs，所以下面基于脉冲响应不变法的思想，导出直接从()aHs到()H z的转换公式。（2）设模拟滤波器()aHs只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于多项式的阶次，将()aHs用部分分式表示：0()NiaiiAHsss式中is为()aHs的单阶极点。将()aHs进行逆拉氏变换，得到：0()()iNs nTaiih tAeu t式中，()u t是单位阶跃函数。对()ah t进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：0()()()iNs nTaiih nh nTAeu nT对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数()H z，即10()1iNisTiAH zez2.优点：56（1）频率变换关系是线性的，即=T，如果不存在频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频响特性。（2）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲击响应波形，时域特性逼近好。3.缺点：脉冲响应不变法的映射是多值映射,会产生不同程度的频谱混叠失真，其适合用于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤波器的设计。（四）双线性不变法1.方法先将 s 域平面压缩到一个中介平面 s1，然后再将 s1 映射到 Z 平面。1szs 非线性脉冲响应频率压缩不变法平面平面平面0()NiaiiAHsss将双线性变换112 11zsTz带入()aHs，得()H z11211()()azsTzH zHs2.优点：（1）不产生频域混叠现象（2）双线性变换法可由简单的代数公式112 11zsTz将()aHs直接转换成()H z。573.缺点：与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，是数字滤波器频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器的频响曲线形状。三三有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计（一）线性相位 FIR 数字滤波器的条件和特点：1.线性相位 FIR 数字滤波器：对于长度为 N 的 h(n)，频率响应函数为：10()()Njj nnH eh n e()()()jjgH eHe 式中()gH称为相频特性；称为相位特性。2.线性相位 FIR 数字滤波器时域约束条件 1 第一类线性相位对 h(n)的约束条件，要求和()h n满足：()()(1)h nh Nn N 1201nN 2 第二类线性相