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第一章 函数的极限与连续

第一节 函数与极坐标
本节基本要求：
1.理解函数、复合函数和反函数的概念;
2.了解函数的几个初等性质；
3.掌握求函数定义域和函数值的方法,会把复合函数分解为简单函数；
4.牢记基本初等函数的定义、定义域、基本性质和图像特征。
初等数学研究对象：常量
高等数学研究对象:变量—在研究过程中往往不独立,且相互依赖。
函数，极限方法是研究变量的一种基本方法.
如：自由落体运动
一、区间和邻域
1、区间
区间分为有限区间和无穷区间两大类。
有限区间是指介于两个实数和之间的所有实数组成的集合，其具体定义如下。
定义1 (1）满足不等式的所有实数组成的集合，称为以a, b为端点的闭区间，记作;
（2）满足不等式的所有实数组成的集合,称为以a, b为端点的开区间，记作；
(3)满足不等式或的所有实数组成的集合， 称为以a, b为端点的半开半闭区间记作。
上述三种实数集合统称为有限区间。（其长度均为）
定义2 (1)满足不等式或的所有实数组成的集合，记作或；
（2）满足不等式或的所有实数组成的集合,记作或；
(3）满足不等式的所有实数组成的集合，记作。
上述三种实数集合统称为无穷区间.
注： 1.符号“”和“”分别读作“正无穷大"与“负无穷大”.它们不是数,仅仅是记号.
2.区间的表示
①在数轴上，有限区间用有限线段来表示；而无穷区间用射线或整个数轴来表示.
②区间还有如下的表示法;
;
;
；
;
.
2、邻域
定义3 设与是两个实数，且。数集称为点的邻域，记作，即
=，
点称为的中心，称为的半径。
注:1因为等价于。所以点的邻域还可以表示为开区间.
从数轴上看，点的邻域表示了以点为中心，长度为2的开区间,如图所示.
a+δ
a-δ
a
0 X

2。有时用到的邻域需要把邻域的中心去掉. 点的邻域去掉中心后，称为点的去心邻域，记作，即
=
这里表示了。
a+δ
a-δ
a
0 X
例1。解不等式
解1.
解2.

综上,不等式的解为
例2.用区间表示下列不等式的所有x的集合
(1）
（2)
例3.用区间表示点集，并在数轴上表示出来.
解:
二、函数
1、函数的概念
定义1：若D是的一个非空子集，设有一个对应规则f,使每一个，都有一个确定的实数y与之对应，则称这个对应规则f为定义在D的一个函数，或称变量y是变量x的函数，记为

数集D称为函数f的定义域,记为;叫函数的自变量，叫函数的因变量,而全体函数值的集合称为函数的值域,记为。
当时，有确定值，与其对应，称是函数在处的函数值.
在平面直角坐标系下，点集

称为函数的图像.
注:1.习惯上,我们常常只给出对应规则,而未指明其定义域.此时定义域是指按给定规则有一个确定实数y值与之对应的所有x值构成的集合。
2。函数的定义域可以用区间、集合或不等式（组)来表示。确定定义域时一般注意：①分母不为0；②开偶次方被开方数非负;③对数中真数要大于0.
3。单值函数：只有一个值（确定的值）与对应，（讨论）
多值函数：多于一个值（确定的值）与对应，(不讨论）
例1。

2、函数表示法
(1)表格法
（2）图示法
（3)公式法：用数学式子表示函数
例2.
例3.绝对值函数
例4.
例5。（取整函数） (不大于x的最大整数）
以上四个例子均为函数。其中例4,例5是分段函数。(在自变量的不同变化范围中,对应规则用不同式子表示的函数称为分段函数)
注：1。在用公式法表示函数时，若其定义域(存在域）是使这一式子有意义的自变量所取值的全体时，定义域可以省略不写，也称为自然定义域。
2.分段函数是用几个公式和起来表示一个函数，而不是表示几个函数，在实际应用中常用到这种表示形式
3。有些函数不能用上述三种方法来表示，只能给以描述,例如函数和函数。
3、函数的相等
定义2： 设函数，具有相同的定义域D，若，均有,则称函数与相等，记作.
注:两个函数是否相等只与函数的定义域、对应规则及函数值有关，而与自变量用什么字母无关.
例6.研究函数是不是相同的函数.
解： 不是相同的函数，因为定义域不同。
例7.判断下列各组函数是否相等
（1)
（2）
解: (1）由于的定义域为，而的定义域为,故
(2)由于的定义域为,而的定义域为，故.
4、函数符号的使用
函数中的“"表示函数关系中的对应规则,即对每一个,按规则f 有一个确定的y值与之对应.； 表示将规则f 作用于x,如果把中括号内的x转换成中某个具体数值或表示数值的字母以及某个数学式子,则表示将规则作用于那个具体数值或表示数值的字母以及那个数学式子.
例8。已知
解：

例9。设
解:

例10.已知函数.
解:
5、隐函数
自变量与因变量的对应规则用一个方程表示的函数,称为隐函数。有些可以显化，有些不可以显化.
三、函数的几种简单性质
1、有界性
定义1.设的定义域为D，数集XD
(1)若,使对,有，则称在X上有上界(下界）,否则称在X上无上界(下界）；称为函数在X上的一个上界（下界)
（2）若,使对,有,则称在X上有界,否则称为无界。
注：1 。函数的有界性一定要注意范围。
如：
无界，在(1,2）有界
2 .有界有下界,有上界;反之未必.
2、单调性：
定义2.函数的定义域为D，区间ID，若在I内随增大而增大(减小），即:,恒有，，则称在I内单调增加的（单调减少的）。
注:单增函数的图像是沿x轴正向逐渐上升的；单减函数的图像是沿x轴正向逐渐下降的.
例1.
证:

可证。
但在定义域内不单调。 （在定义域内单调性因子区间的不同而不同)
例2。判断函数的单调性。
解： 函数y = f (x)的定义域为，

综上， 都有,
即函数在单调递增。
3、奇偶性:
定义3.设函数的定义域D关于原点对称,若对任一，满足
（判断函数奇偶性应先写出定义域)
(1)，则称为偶函数;
（2) f (－x） =－f ( x )，则称f ( x ）为奇函数.
注:偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称
以上三个函数的定义域均为
如：

4、周期性：
定义4。 设函数的定义域为D,若存在一个正数，使得对于任一有
，且
，
对D内任一值成立，则称为周期函数, 称为的周期.
注：1。若是的周期，则k(k为正整数)也是的周期，通常周期是指最小正周期。
如:
2。不是每一个周期函数都有最小正周期。
如：狄利克雷(Dirichlet)函数 （或)
每一个有理数都是它的周期，由于在正有理数中没有最小的正有理数，因此该函数没有最小周期。
四、初等函数
1、反函数
定义1.设是定义在上的一个函数，值域为。若对有一个确定的且满足的与之对应，其对应规则记作，这个定义在上的函数称为的反函数。或称它们互为反函数.
（在函数的定义中，若是从到的一一映射,则它的逆映射称为函数的反函数，记为.)
注：1.记等价。
2。与的图形关于直线对称。
如： 反函数
对称.
3。的定义域是的值域，的值域是的定义域。
4 若存在反函数，则也存在反函数就是，即,亦即互为反函数,且有。
5 设在D上有定义，且在D上存在反函数有
。即一一对应
6 在D上严格增（减)在D上存在反函数，且在上仍严格增（减)，若的图象与任一平行于横轴的直线至多有一个交点，则函数具有反函数。
7 由定义可知，不是每个函数都有反函数.
如:在上没有反函数，在上有反函数，在上有反函数。
8。由函数求它的反函数的步骤:
(1) 由方程解出x，得;
（2）将函数中的x，y分别换为y和x,即得到反函数.
2、基本初等函数
(1）常数函数： ,定义域
（2）幂函数：是常数)，定义域由而定

（3）指数函数：，定义域

(4）对数函数：，定义域

(5）三角函数:

（6)反三角函数：

（7)＊。双曲函数和反双曲函数
双：
反双：
注：双曲函数有类似三角函数的一些公式。
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类函数统称为基本初等函数。
3、复合函数
定义2设函数的定义域为，函数在上有定义，且则有下式确定的函数，

称为由函数构成的复合函数，并称为外函数,为内函数，为中间变量，为自变量，为因变量.
多个函数能够构成复合函数的过程叫函数的复合运算。
注: 1.函数能构成复合函数的条件是：函数在上的值域必须包含在的定义域内,即，否则，不能构成复合函数.故为了使复合有意义，有时复合函数的定义域要缩小一些。亦即并非任两个函数均能复合成一个复合函数。
如：不是的定义域内。
2。两个以上的函数也可复合成一个复合函数.
如：则这里都是中间变量，复合函数的定义域是而不是的自然定义域
3.复合函数的顺序不能交换，即。
4。利用复合函数的概念,可以将一个较为复杂的函数看成几个简单函数复合而成，这样便于对函数进行研究.
例1。函数可以看成是由复合而成。
例2。已知.考察是否是复合函数？若是，求出其定义域。
解: （1)

因为，所以是复合函数，其定义域为

(2)

因为,所以不是复合函数。
4、函数的运算
设函数的定义域分别为,则可以定义这两个函数的下列运算:（注意定义域)
(1）和（差）
(2)积
（3)商
5、初等函数
定义3由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数称为初等函数.
如：
注：这里没有指出定义域，就是以其存在域为定义域。
注:1。如何确定初等函数的存在域，可按下列步骤进行：
①分析所给函数是由哪几个基本初等函数经过哪几个运算步骤得到的；
②定出这些基本初等函数的存在域，并指出每次运算对它们的存在域所加的限制；
③把一切限制条件综合起来,就能确定函数的存在域。
如：
的和,所以它的存在域是的存在域的公共部分，由于
①的存在域是。
②是函数的复合函数，由于的存在域是的存在域是,所以的存在域是，因此的存在域是的公共部分，即2.
2。不是初等函数的函数称为非初等函数,(一般地，分段函数不是初等函数）例如：
狄利克雷（Dirichlet)函数
五、极坐标
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，叫做极轴；再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.
对于平面内任一点，用r表示线段的长度（极径）θ表示从到的角度（极角）。有序数对(r，θ）叫点的极坐标.
特别地，当点在极点时,它的极坐标r＝0,θ可取任意值.

θ
0 x
注：1。在一般情况下，极径都取正值，但在某些必要的情况下，也允许取负值.当r < 0时，点的位置可以按下列规则确定:
做射线OP，使∠XOP =θ,
在OP的反向延长线上取一点M，使｜OM｜ = | r | .
P

θ
x
M
2.平面内一个点的极坐标可以有无数种表示法
(不同于直角坐标系)。一般地，如果（r，θ）是一点M的极坐标，则
(r,θ+2kπ), （r，θ+(2k+1)π)都是它的极坐标。
但若选定r 〉 0，0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,则除极点外,平面内的点与极坐标就可以一一对应了.
极坐标与直角坐标的互化: y
M

r
0 x
由M点所在象限取θ（最小正角）
例.将极坐标方程化为直角坐标方程,并说明它表示什么曲线.
解：方程两边同乘以，得

将代入,得

即
它表示圆心为,半径为1的圆。
几种特殊曲线的方程
(1) 心形线 极坐标方程
直角坐标方程
(2) 双纽线 极坐标方程
直角坐标方程
(3) 阿基米德螺线 极坐标方程
六、建立函数关系的例题
为了解决应用问题，需要给问题建立数学模型,即建立函数关系.，建立函数关系主要步骤如下：
1. 明确问题中的自变量与因变量;
2. 根据题义建立等式,从而得出函数关系;
3. 确定函数定义域:应用问题的定义域，除函数的解析式外还要考虑变量在实际问题中的含义.
例.有一工厂A与铁路的垂直距离为a公里,它的垂足B到火车站C的铁路长为b公里.工厂的产品必须经火车站C才能转销外地.已知汽车运费是m元/吨公里，火车运费是n元/吨公里（m > n)。为使运费最省,想在铁路上另修一小站M作为转运站，则运费的多少决定于M的地点。试将运费表为距离的函数.

解: 以点B为原点，BC方向为正建立坐标轴,设
则
故

七、函数图形的简单组合与变换
1、迭加
已知和的图形,作的图形,只要在同一横坐标出将两图形的纵坐标迭加起来即可.
2、翻转
已知的图形,作的图形,可以在同一横坐标处将图形的纵坐标改变正负号,若图形在x轴上方翻转到下方，若图形在x轴下方翻转到上方,即作以x轴为对称轴的对称图形.
3、放缩
已知的图形,作的图形
当时,在同一横坐标处将图形的纵坐标放大k倍;
当时，在同一横坐标处将图形的纵坐标缩小;
当时，既放缩有翻转。
4、平移
已知的图形，作的图形
当C 〉 0时，将的图形向上平移距离C;
当C < 0时, 将的图形向下平移距离。
＊常用的一些符号：R实数集 Q有理数集 Z整数集 N正整数集

作业：

第二节 极限
教学目标:1 理解数列极限的概念，了解数列极限的定义；
2 理解当自变量趋于有限值时函数的极限（包括左、右极限)的概念，了解极限的定义；
3理解当自变量趋于无穷大时函数的极限的概念，了解极限的 定义；
4了解收敛数列的有界性及函数极限的保号性。
重点:理解极限的概念
难点：用定义证明极限（收敛、发散）
教学内容:Ⅰ数列的极限
引入：极限是研究微积分的主要方法，极限思想、极限方法在微积分中非常重要例如，导数的定义是一种构造性极限极限，而定积分是一种特殊合式的极限,因此有极限理论是微积分的奠基石之说
极限是为求精确解而产生的
求圆面积问题：古代数学家刘徽（公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法~古代割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.
设有一圆，欲求其面积S极限思想
第一次：内接正六边形 边数为 多边形面积为
第二次：内接正十二边形 边数为 多边形面积为

第次：内接正边形 边数为 多边形面积为

分析:越大,多边形与圆越接近,越接近圆面积S,但毕竟是正多边形的面积。
设想：无限增大，则多边形就无限接近圆，而无限接近一定值～圆的面积
称这一定值为当时的极限
结论：这个数列的极限精确表达了圆面积。
此外，庄子《天下篇》中“一尺之棰，日取其半,万世不竭。”
一、数列
1、数列的定义
若按某一法则,对每个，对应着一个确定实数,这些实数按照下标从小到大排列成一个序列:就叫做数列。简记：数列，其中：每一个数叫数列的项，第项叫数列的通项（一般项）.
如： 通项： 极限： 1
无
无
1
2、几何解释:
数列可看作数轴上一动点，它依次取数轴上的点

3、数列可以看作自变量为正整数的特殊（有顺序）函数,即
，，
定义域为全体正整数，.
注：问题：时，是否无限接近一定数?（数与接近程度可用 量，越小，与越接近。）
二、数列的极限
1、定义
例1. 是否接近于1?

越大,越小，与1越接近。用表示与1

1叫当时的极限。
定义：设数列是给定的数列，如果，对,总存在正整数N，使对于的一切，不等式

都成立，则称常数是数列的极限或称数列收敛于。记作：或，
否则,称数列没有极限,或称数列是发散的。
注：（1）数列极限的定义通常称为定义:

（2)ε必须是任意给定，才能保证无限接近的含义.
（3）N依赖于ε。
（4)则不止一个，但只要找到一个即可.
2、几何解释：数列的极限是，任意给定,在数轴上作点的邻域即开区间，对于的一切，都有
即
即当时，所有点落在点的邻域内，亦即都落在开区间内,而只有有限个（至多N个）在这邻域外。
3、例题(用定义证明极限）
例2 证明数列的极限是1
证：欲使(是否存在N） ，只需
取N，则当时，都有成立
注:关键是找“N”
例3 证明
证：
取，当时,有成立
例4 设证明.
证：
取，当时

注：以上例题要讲透：找N，放大。
三、收敛数列的性质
定理1（极限的唯一性）：收敛数列的极限是唯一的。
证：（反证法)
设,且 取
当时，
当时,
取，当时,且,矛盾,故。
例5 证明数列发散
证：(反证法）
若收敛，则极限唯一
设，对于，正整数N，当时，，
即在内,但矛盾。（时，取1,－1，1，－1，，这两个数不能属于长度为1的开区间内发散
注:数列的有界性定义：对数列，若正数M，对一切，都有，则称数列有界，否则无界（数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上）
如：有界，无界
定理2（收敛数列的有界性）
若，则有界，即收敛有界
证：取,，当时，有
，前面有1，2，，N项
取，则对一切成立，故有界
注：1。若无界，必发散。（逆否成立)
2。有界，未必收敛（有界是收敛的必要条件）(逆不一定成立)
如：
定理3(收敛数列的保号性)
设，则，当时有.
证： 取，当时,有
即，故对，有
推论:如果数列从某项起有（或）,且，那么(或)
证: 假设数列从第项起，即当
若,则由收敛数列的保号性可知，正整数，当时,
取,
则当时，按假设有,按保号性有，矛盾，
故必有.
从某项起有的情形可以类似证明。
子列的概念：
在数列中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的先后次序，这样的一个数列称为原数列的子数列（或子列)。
设在数列中,第一次抽取，第二次在后抽取，第三次在后抽取,这样无休止的抽取下去，得到一个数列，这个数列就是数列的一个子列。
注:子列中，一般项是第项，在原数列中是第项，故。
定理4（收敛数列与其子列间的关系）
若数列收敛于，则它的任一子列也收敛，且极限也是
证：设数列是数列的任一子列
对,正整数N，当时成立,取K=N，则当时，，于是，即
注：1 若数列有两个子列收敛于不同的极限，则发散；
2 一个发散的数列也可能有收敛的子列。
3. 对于数列,若则
证：

取，则当时有
.
4. 若；反之未必 (例如）.
证： ,

故
四、单调有界数列的极限
定理5 单调增加(减少)有上（下）界数列，必有极限。
注：1。单调增加（减少)有上（下)界数列必有界,它的极限就是最小(大）上（下）界。
2.定理不仅能判别数列极限的存在性，而且也是求数列极限的一种方法。
3.定理中单调条件可改成，亦即从某项开始单调即可。
小结：1 数列极限的定义及几何意义。
2 收敛数列的性质。
3 数列极限的运算法则。
4 单调有界数列的极限。
5 证明题(用定义）.
作业:

第三节 函数的极限
主要内容:1。函数极限的定义及几何意义.
2.性质
3.用定义证明极限
4。无穷大与无穷小的概念及其之间的关系
重点：定义及几何意义
难点:用定义及性质证明函数的极限是否存在。
引入：数列的极限是函数极限的一个特例（因为也是函数）
时，的极限
问题：一般函数呢？
设想：在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个常数，则这个数叫函数的极限。
注：1.这个极限与变化过程密切相关.
2.变化过程的极限是否存在？
一、自变量趋向于某个确定值时函数的极限（）
1、定义:假定在的邻近有意义
分析:时，无限接近于任意小,用表达，(只要求)充分接近在一定范围内,用表示，表示了接近的程度。
定义：设函数在有定义,若存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多小）总存在正数,使对于适合不等式的一切，对应的函数值,满足，则常数A叫函数当时的极限，称当时收敛，否则称为发散,记作：，或(当）。
注：表示，故在处是否有极限与在点是否有定义无关。
2、几何意义:
，的邻域，当
的图形上的点的横坐标在邻域
但时，其纵坐标满足，
即，亦即,这些点落在如图的横条区域内.
注：由图上看出,不止一个,找出一个即可，邻域半径体现的是接近的程度。
3、例题
例1 证明：为常数
证:，任取，当时，有成立，
例2
证:
取,当时，有
例3 证明：
证:函数当时无定义，但函数当时的极限存在或不存在与它并无关系.

取，当时,有
例4 证明：
证：
取，当时，有成立
例5证明：
证:
只要,取
则当时,有成立 .
4、性质：
定理1 如果存在，则极限唯一 （唯一性）
定理2 如果，则常数M和，使当时有（局部有界性）
定理3 设,且（或)则存在点的某一空心邻域，当在该邻域内（即)，有（或）。（局部保号性）
证：设，取，对上述，必存在一个正数，
当,即时,有，
即故
定理4 若在的某一空心邻域内（或），且，则(或)
证：设，若上述结论不成立，即设A，则由定理3可知，的某个空心邻域，在该邻域内,此与矛盾,同理可证。
注：以上两个定理要熟记，后面还会用到。
5 、左右极限
分析：：既从左边，也从右边趋近
：只能或只需从左边趋近于
:只能或只需从右边趋近于
定义:若对于任意给定的正数(不论其多小）,总存在正数,使对适合(或)的一切,对应的函数值满足

则称A为当时的左极限（右极限)，记作:
或 （)
结论：（缺一不可）左右极限存在且相等
注：此结论可判断极限不存在，尤其是在分段函数中的自变量的分界点处可用此法判断.
(1） 有一侧极限不存在；（2） 两侧极限都存在但不相等.
例6 设，研究当时,的极限是否存在？
解：

6、函数在处的函数值与当时的极限的几种主要关系
（1）存在,但在处无定义.
（2)存在， 在处有定义，但.
(3）
二、自变量趋向无穷大时函数的极限（）
实质上和一样，只是自变量的变化过程不一致而以.
1、定义：
定义：设当大于某一正数时有定义,如果存在常数A,若对于任意给定的正数（不论其多小），总存在正数，使对适合的一切,有

则常数A叫当时的极限，记作：
或（）。
注:定义中的刻划了的接近程度, 刻划充分大的程度；是任意给定的正数, 是随而确定的.
2、几何意义
作直线，则总有一正数
存在,当或时,的
图形位于两直线之间.
注:由图上可直观看出，不止一个，找出一个即可。
例7 证明：
证：只需，
取，当时，有,
（是的水平渐近线）
结论：若，则直线是函数的图形的水平渐近线.
3、左右极限(）
：既趋向于，又趋向于
：只趋向于
：只趋向于
定义:对，若存在,当（或)时，有

成立，则
或（时）
(或(时）)
结论：
例8.证明: (1） （2）
证： (1）
只需(设）
取,则当

（2) 只需(设）
取,则当

注:关于时，函数极限有与时函数极限有类似性质.
三、函数极限与数列极限的关系
定理5 如果存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足,那么相应的函数值数列必收敛，且
.
证：设,则对，,当时，有，又因为，故对上述，,当时，有，
由假设,故当时,，从而有
，即.
小结: 1.函数极限的定义（6个)及几何意义.
2.两个定理,一个，后面常用
3.会用定义及“”证极限收敛与发散。
四、无穷大量与无穷小量
主要内容: 无穷大、小的定义及性质；
1、无穷大量
如果当(或)时，对应的函数值的绝对值无限增大,就称函数为当（或）时的无穷大,精确地说，就是
定义: 设函数在内有定义(或大于某一正数时有定义)如果对于任意给定的正数E (不论它多大）,总存在正数(或正数M）只要适合不等式
，对应的函数值总满足不等式
，
则称函数当（或)时的无穷大量(正无穷大,负无穷大)记 ( ）
注: （1）无穷大不同于很大的数，不可与很大的数混为一谈。 (1000000000)
（2)无穷大在通常意义下极限不存在,但为方便叙述，说“函数的极限是无穷大”，记作：
2、无穷小量
(1）定义：
若函数当（或）时的极限为零，则称函数为当(或）时的无穷小量。 记作：

［,若,(或）,当时(或),有，则称当（）时为无穷小量,]。
注：无穷小不同于很小的数.（如: 0 √; ×)
如：
特例：若,则称为当时的无穷小量。
(2)无穷小与函数极限的关系
定理1 ，其中（以后证明会用到,记住）或
证：设，,,当时,有
令，即, ，其中
设，其中，
,，当时，有，即成立，故
类似地可以证明时的情形。
3.无穷大与无穷小的关系
定理2 在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大，则为无穷小;反之，
如果为无穷小，且,则为无穷大.即
(1）若，
（2)若
证:(1）设时，当时,有，即,
（2)设且，，对，当 时,有，即，
类似地可证时的情形。
注：这个结论非常重要.
例9 证明：
证：，
取,则当时，有
结论：若，则是图形的铅直渐进线.
如上题中， 是的铅直渐进线.
作业：

第四节 极限运算法则
一、运算法则
1、无穷小的运算
定理1：有限个无穷小之和是无穷小
证：设，令，
,当时， 有

注：有限个同理可证.
定理2 局部有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
证： 设在的某邻域内有界，，
则
当时，有
取,则当时，

推论1:是常数 （常量与无穷小的乘积仍为无穷小）
推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。
2、极限四则运算：以下均包括及的情况
定理3 若，则存在,且

证：（1）用性质
，
其中，
故,而

（2）用定义
注：对有限个也适用.
定理4 若，则存在,且

注：对有限个也适用，特别地
（1）若
（2)若，为正整数
定理5 若,且，则存在,且

证：,
其中，
令，则，
对,对，当时，有，
故，因而在内有界，又，由定理2知，即.
时，同理可证。
3、比较
定理6 若，则
证:令,由定理3知，由性质可知，故
注：(1)以上定理和推论可用来求极限和证明题。
(2）以上定理和推论的证明过程实际上是加深对定理和推论本身的理解，加深对极限定义，性质的理解,并回应用定义和性质解决证明题的过程，因此要搞懂其证明过程，这对我们做证明题帮助很大.
4、复合函数的极限运算法则
定理7 设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义,若，
且存在,使当时有，则

证：详见同济大学《高等数学》（上册)P47~P48
注:1.定理7表示：若满足定理的条件，则求可转化为求
2.把定理中的条件换成，换成
或把换成,换成
,则可得类似结论:

二、求极限
1、
例1 求
解:原式＝
例2 求
解：原式＝
例3 求 (消去“致零因子”）
解：原式＝
例4.求
解：原式=
例5。求
解:原式＝
原式＝
注：以上五个例题中，一个是多项式，三个是有理分式,一个是无理分式。
时
多项式：
有理分式：是多项式
(1）当时，

(2)当时，约分，化简，求倒数极限等
2、
例6。求
解：原式＝
例7。求
解：原式＝
例8。求 解：原式＝
注：以上三个都是有理分式
时，有以下结论
多式项:
有理分式:
例9
解： 分子是50次多项式，最高次幂的系数；分母是50次多项式，最高次幂的系数,故
原式
例10 （)
解: 由定理2,原式＝0
注:注意这种类型必须用此方法求解。
例11已知。
解:

例12求
解:可以把看成是由复合而成的函数
由于

小结：1。 无穷大、小的两个性质。
2. 极限运算法则。
3。 会熟练求极限，对无理式要根据情况分子或分母有变化；对复合函数要会分解求极限.
作业：

第五节 重要极限 无穷小的比较
主要内容：1 两个极限存在准则，两个重要极限.
2 无穷小的比较。
3 用准则、极限，等价无穷小证明或求极限。
重点:准则,极限，等价无穷小。
一、夹逼准则及应用（一个重要极限）
1 准则
准则1:若（1）（2），
则数列的极限存在，且
证:，
，当时,有，，当时,有，
取，则当时有
同时成立，
又,即,
故
准则：若（1）当（或）时,有
（2）,
则存在，且等于A
推论： 。
例1。证明.
证: 当
而

又由知。 （书中没有这步)
例2.证明
证: 当，
而
∴由夹逼准则

2 应用（一个重要极限）“”型

证:时有定义.在单位园中,以x表示以弧度计的圆心角AOB
(1)时,
的面积扇形AOB的面积的面积,
即，
即
故(夹逼准则）
（2）时，用代替,也可以得到
综合(1）（2）

注：一定要记住这个极限和另一个极限。
例3。求
解:原式＝

例4.求
解： 原式=
二、另一个准则及应用（另一个重要极限）
1 准则
准则2：单调有界数列必有极限
(单增： 单减：，这里的单调增减是广义的,即包括等号）
几何意义:
从数轴上看，对应于单调数列｛｝，只可能向一个方向移动，所以只有两种情形:或者点沿数轴移向无穷远();或者点无限趋近于某一个定点A,即数列｛}趋于一个极限.但现在假定数列是有界的,而有界数列的点都落在数轴的某一个区间[－M , M］内，则上述第一种情形就不可能发生了。这就表示这个数列趋于一个极限，并且这个极限的绝对值不超过M。

注:当自变量的不同变化过程（）,准则有不同的形式,仅以为例：
准则：设函数在点的某个左邻域内单调有界，则在的左极限必存在
2 应用（另一个重要极限） “"型

证：只证取，的情形
（1） 单调性

（2） 有界性

（3）取实数都有上述结论
设，
则，且与同时趋于，

由夹逼准则
令

.

注:1.令，则

2.在现实世界中有很多事物是属于这种模型的:
(1） 计算复利问题。设本金为，利率为,期数为.
① 如果每期结算一次,则期本利和为
② 如果每期结算次,则期本利和为
（2)物体的冷却、镭的衰变、细胞的繁殖、树木的生长等都需要应用下面的极限

这个式自反映了现实世界中一些事物生长或消失的数量规律。因此，它是一个不仅在数学理论上,而且在实际应用中都很有用的极限.
例5。 求
解：原式＝
例6 求

解：原式＝
例7. 求
解: 原式= 则

例8. 求
解： 令 当

注：下面两个极限也可直接用：.
三、无穷小的比较
1、问题：两个无穷小，是无穷小呢?
如：时，
两个无穷小0快慢程度
即：在自变量的同一变化过程中，两个无穷小趋于0的快慢程度如何说明？
2、定义：
定义：设
(1)若,称是比高价的无穷小,记作
(2)若，称是比低价的无穷小
（3)若，称与是同价无穷小
（4)若,称与是等价无穷小，记作
(5)若，则称是关于的价无穷小
例9 时,是比高价的无穷小，即
时，是比低价无穷小
时，与是同价无穷小
时，与是等价无穷小，记
3、性质
定理1 设，则
定理2 (1）设（其均为无穷小)； （2)存在，
则
证：
注：1.求两个无穷小之比时，分子分母均可用等价无穷小代替，若选择适当可简化计算。
2。分子分母必须整体化简。
例10
解：原式＝
例11
解：原式＝
注：1两个准则，极限及等价无穷小代换必须熟练掌握,并会用其求极限。
2.幂指函数极限定理：
设
例12.求
解:原式=
小结：1 两个准则，两个极限。
2 无穷小的价（等价)。需要记住一些等价无穷小,便于解题时用。
3 用以上内容解题求极限。
作业：

第六节 连续函数
主要内容：1 连续的定义（点，区间）.
2 间断点类型.
3 连续函数四则运算
4 反函数、复合函数、初等函数的连续性
5 闭区间上连续函数性质
重点：1连续的三个定义
2 初等函数连续性
3 介值定理、零点定理
难点：1判定间断点类型
2介值定理、零点定理的应用
一、函数增量(改变量）
定义： 设变量从它的初值改变到终值，终值与初值之差，称为变量的增量（改变量）,记作