资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，若a＝2，则b的值是（ ）
A． B． C．+1 D．+1
2．如图，在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，则cosA的值为( )
A． B． C． D．
3．二次函数的图象如图，有下列结论:①，②，③时，，④，⑤当且时，，⑥当时，.其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④⑥ C． ②⑤⑥ D．②③⑤
4．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
5．下列函数的对称轴是直线的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）
A．y=-3x2-1 B．y=-x2+1 C．y=x2+3 D．y=-x2-5
7．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y=5（x﹣2）2+1 B．y=5（x+2）2+1 C．y=5（x﹣2）2﹣1 D．y=5（x+2）2﹣1
8．用10长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6．若设它的一条边长为，则根据题意可列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列二次函数，图像与轴只有一个交点的是 （ ）
A． B．
C． D．
11．反比例函数图象的一支如图所示,的面积为2,则该函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（ ）
A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一组数据3，2，1，4，的极差为5，则为______.
14．如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点、、分别是、、的中点，连接，，则的最小值为_____．
15．若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
16．方程(x﹣1)(x+2)＝0的解是______．
17．抛物线y＝4x2﹣3x与y轴的交点坐标是_____．
18．如图，点、在上，点在轴的正半轴上，点是上第一象限内的一点，若，则圆心的坐标为__．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在某建筑物上，挂着“缘分天注定,悠然在潜山”的宣传条幅，小明站在点处，看条幅顶端，测得仰角为，再往条幅方向前行30米到达点处，看到条幅顶端，测得仰角为，求宣传条幅的长．（注：不计小明的身高，结果精确到1米，参考数据，）
20．（8分）如图，在正方形中，是对角线上的一个动点，连接，过点作交于点．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，连接为的中点，的延长线交边于点，当时，求和的长；
（3）如图③，过点作于，当时，求的面积．
21．（8分）元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.
22．（10分）如图，已知点B的坐标是（-2，0)，点C的坐标是（8，0)，以线段BC为直径作⊙A，交y轴的正半轴于点D，过B、C、D三点作抛物线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BD，CD，点E是BD延长线上一点，∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F，连结CF，在直线BE上找一点P，使得△PFC的周长最小，并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G，使得∠GFC=∠DCF，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（10分）如图，抛物线y=ax2 +bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．
24．（10分）社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？
25．（12分）边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点是边的中点，连接，点在第一象限，且，.以直线为对称轴的抛物线过，两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点从点出发，沿射线每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为秒.过点作于点，当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似？
（3）点为直线上一动点，点为抛物线上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
26．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且.
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】从图中可以看出，正方形的边长＝a+b，所以面积＝（a+b）2，矩形的长和宽分别是2b+a，b，面积＝b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得＝（a+b）2＝b（a+2b），其中a＝2，求b的值，即可．
【详解】解：根据图形和题意可得：
（a+b）2＝b（a+2b），
其中a＝2，
则方程是（2+b）2＝b（2+2b）
解得：，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值．
2、B
【分析】根据余弦的定义计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
；
故选：B.
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
3、D
【分析】①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、c的符号，从而得到abc的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x==1就可得到2a与b的关系；③只需结合图象就可得到当x=1时y=a+b+c最小，从而解决问题；④根据抛物线x=图象在x轴上方，即可得到x=所对应的函数值的符号；⑤由可得，然后利用抛物线的对称性即可解决问题；⑥根据函数图像，即可解决问题.
【详解】解：①由抛物线的开口向下可得a>0，
由对称轴在y轴的右边可得x=＞0，从而有b<0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c<0，
则abc>0，故①错误；
②由对称轴方程x==1得b=-2a，即2a+b=0，故②正确；
③由图可知，当x=1时，y=a+b+c最小，则对于任意实数m（），都满足，即，故③正确；
④由图像可知，x=所对应的函数值为正，
∴x=时，有a-b+c>0，故④错误；
⑤若，且x1≠x2，
则，
∴抛物线上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线的对称轴对称，
∴1-x1=x2-1，即x1+x2=2，故⑤正确．
⑥由图可知，当时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误；
∴正确的有②③⑤；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想即可解决问题．
4、D
【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=1，
∴AP的长不能大于1．
∴
故选D．
5、C
【分析】根据二次函数的性质分别写出各选项中抛物线的对称轴，然后利用排除法求解即可．
【详解】A、对称轴为y轴，故本选项错误；
B、对称轴为直线x=3，故本选项错误；
C、对称轴为直线x=-3，故本选项正确；
D、∵=∴对称轴为直线x=3，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴的确定，是基础题．
6、C
【解析】根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系逐一判断即可.
【详解】解: A. y=-3x2-1中,﹣3＜0, 二次函数图象的开口向下,故A不符合题意;
B. y=-x2+1中, -＜0, 二次函数图象的开口向下,故B不符合题意;
C. y=x2+3中, ＞0, 二次函数图象的开口向上,故C符合题意;
D. y=-x2-5中, -1＜0, 二次函数图象的开口向下,故D不符合题意;
故选:C.
【点睛】
此题考查的是判断二次函数图像的开口方向，掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解决此题的关键.
7、A
【解析】试题解析：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.
8、A
【分析】一边长为xm，则另外一边长为（5﹣x）m，根据它的面积为1m2，即可列出方程式．
【详解】一边长为xm，则另外一边长为（5﹣x）m，由题意得：x（5﹣x）=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．
9、C
【解析】试题解析：A、，没有给出a的取值，所以A选项错误；
B、不含有二次项，所以B选项错误；
C、是一元二次方程，所以C选项正确；
D、不是整式方程，所以D选项错误．故选C．
考点：一元二次方程的定义．
10、C
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个交点，可知b2-4ac=0，据此判断即可．
【详解】解：∵二次函数图象与x轴只有一个交点，∴b2-4ac=0，
A、b2-4ac=22-4×1×（-1）=8，故本选项错误；
B、b2-4ac=72-4×（-2）×（-7）=-7，故本选项错误；
C、b2-4ac=（-12）2-4×4×9=0，故本选项正确；
D、b2-4ac=（-4）2-4×1×16=-48，故本选项错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点，根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴只有一个交点时，得到b2-4ac=0是解题的关键．
11、D
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义, 由△POM的面积为2, 可知|k|=2, 再结合图象所在的象限, 确定k的值, 则函数的解析式即可求出.
【详解】解:△POM的面积为2,
S=|k|=2,,
又图象在第四象限,
k<0,
k=-4,
反比例函数的解析式为:.
故选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、 向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系, 即S= |k|.
12、A
【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得，化简得b＝a＋c，故选A.
【详解】请在此输入详解！
二、填空题（每题4分，共24分）
13、－1或1
【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．
【详解】解：当x是最大值，则x-（1）=5，
所以x=1；
当x是最小值，则4-x=5，
所以x=－1；
故答案为－1或1．
【点睛】
本题考查极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，同时注意分类的思想的运用．
14、
【分析】连接，交对称轴于点，先通过解方程，得，，通过，得，于是利用勾股定理可得到的长；再根据三角形中位线性质得，，所以；由点在抛物线对称轴上，、两点为抛物线与轴的交点，得；利用两点之间线段最短得到此时的值最小，其最小值为的长，从而得到的最小值．
【详解】如图，连接，交对称轴于点，则此时最小．
∵ 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
∴当时，，解得：，，即，，
当时，，即，
∴，
∴，
∵ 点、、分别是、、的中点，
∴ ，，
∴，
∵点在抛物线对称轴上，、两点为抛物线与轴的交点，
∴，
∴，
∴此时的值最小，其最小值为，
∴的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与轴的交点以及利用轴对称求最短路线，用到了三角形中位线性质和勾股定理．正确得出点位置，以及由抛物线的对称性得出是解题关键．
15、
【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【详解】解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，
∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，
∴k=2c＋d=2×2＋3=1，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-1，
∴整数k的值是1，-1．
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
16、1、﹣1
【分析】试题分析：根据几个式子的积为0，则至少有一个式子为0，即可求得方程的根.
【详解】（x﹣1）（x + 1）= 0
x-1=0或x+1=0
解得x=1或-1．
考点：解一元二次方程
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握解一元二次方程的方法，即可完成.
17、 (0，0)
【解析】根据y轴上的点的特点：横坐标为0.可代入求得y=0，因此可得抛物线y＝4x2－3x与y轴的交点坐标是(0，0).
故答案为(0，0).
18、
【分析】分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F，先通过圆周角定理可得出∠BAC=90°，再证明△BEA≌△AFC，得出AE=CF=4，再根据AO=AE-OE可得出结果．
【详解】解：分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F，
∵∠D=45°，∴∠BAC=90°．
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠CAF=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
又AB=AC，∠AEB=∠AFC=90°，
∴△BEA≌△AFC（AAS），
∴AE=CF，
又∵B，C的坐标为、，
∴OE=1，CF=4，
∴OA=AE-OE=CF-OE=1．
∴点A的坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，根据已知条件作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、宣传条幅BC的长约为26米．
【分析】先根据三角形的外角性质得出，再根据等腰三角形的判定可得BE的长，然后利用的正弦值求解即可．
【详解】由题意得米
（米）
在中，，即
（米）
答：宣传条幅BC的长约为26米．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、解直角三角形等知识点，熟记正弦值的定义及特殊角的正弦值是解题关键．
20、（1）见解析；（2）；；（3）面积为.
【分析】（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD=∠DBC=45°，由角平分线的性质得出MF=MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG=90°，证出∠AMF=∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论；
（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出，求出AN=2，由勾股定理得出BN==4，由直角三角形的性质得出OM=OA=ON=AN=，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出，求出OP=，即可得出结果；
（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF=MH，求出AF=BD=×6=3，得出MH=3，MN=2，由勾股定理得出HN=，由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】（1）证明：过点作于，作于，如图①所示：
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：在中，由（1）知：，
，
，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
在中，，
在中，是的中点，
，
，
，
，
，
，即： ，
解得：，
；
（3）解：过点作于，如图③所示：
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
在等腰直角中，，
，
，
，
，
的面积为．
【点睛】
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．
21、（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7.
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克, 元/千克.
由题得：
解之得：
答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
（2）由题意得：
解之得：，
经检验，，均符合题意
答：的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
22、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由BC是直径证得∠OCD=∠BDO,从而得到△BOD∽△DOC,根据线段成比例求出OD的长，
设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),将点D坐标代入即可得到解析式；
（2）利用角平分线求出，得到，从而得出点F的坐标（3,5），再延长延长CD至点，可使,得到(-8，8)，求出F的解析式，与直线BD的交点坐标即为点P，此时△PFC的周长最小；
（3）先假设存在，①利用弧等圆周角相等把点D、F绕点A顺时针旋转90，使点F与点B重合，点G与点Q重合，则Q1(7，3),符合，求出直线FQ1的解析式，与抛物线的交点即为点G1，②根据对称性得到点Q2的坐标，再求出直线FQ2的解析式，与抛物线的交点即为点G2，由此证得存在点G.
【详解】（1）∵以线段BC为直径作⊙A,交y轴的正半轴于点D，
∴∠BDO+∠ODC=90,
∵∠OCD+∠ODC=90,
∴∠OCD=∠BDO,
∵∠DOC=∠DOB=90,
∴△BOD∽△DOC,
∴,
∵B（-2，0)，C（8，0)，
∴,
解得OD=4(负值舍去)，∴D（0,4）
设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),
∴4=a(0+2)(0-8),
解得a=，
∴二次函数的解析式为y=(x+2)(x-8),即.
（2）∵BC为⊙A的直径，且B（-2，0)，C（8，0)，
∴OA=3,A(3,0),
∴点E是BD延长线上一点，∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F，
∴,
连接AF，则,
∵OA=3，AF=5
∴F(3，5)
∵∠CDB=90,
∴延长CD至点，可使,
∴(-8，8)，
连接F叫BE于点P，再连接PF、PC，
此时△PFC的周长最短，
解得F的解析式为，
BD的解析式为y=2x+4,
可得交点P.
（3）存在；假设存在点G，使∠GFC=∠DCF，
设射线GF交⊙A于点Q,
①∵A(3，0),F(3，5),C(8，0),D(0，4),
∴把点D、F绕点A顺时针旋转90，使点F与点B重合，点G与点Q重合，则Q1(7，3),符合，
∵F(3，5),Q1(7，3),
∴直线FQ1的解析式为，
解，得，（舍去），
∴G1；
②Q1关于x轴对称点Q2(7，-3),符合，
∵F(3，5),Q2(7，3),
∴直线FQ2的解析式为y=-2x+11,
解，得，（舍去），
∴G2
综上，存在点G或，使得∠GFC=∠DCF.
【点睛】
此题是二次函数的综合题，（1）考查待定系数法求函数解析式，需要先证明三角形相似，由此求得线段OD的长，才能求出解析式；（2）考查最短路径问题，此问的关键是求出点F的坐标，由此延长CD至点，使,得到点的坐标从而求得交点P的坐标；③是难点，根据等弧所对的圆心角相等将弧DF旋转，求出与圆的交点Q1坐标，从而求出直线与抛物线的交点坐标即点G的坐标；再根据对称性求得点Q2的坐标，再求出直线与抛物线的交点G的坐标.
23、（1）顶点D的坐标为（－1，）
（2）H（，）
（2）K（－，）
【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D的坐标；
（2）根据抛物线的解析式可求出C点的坐标，由于CD是定长，若△CDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段BC，那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点；易求得直线BC的解析式，关键是求出直线EF的解析式；由于E是BC的中点，根据B、C的坐标即可求出E点的坐标；可证△CEG∽△COB，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG、OG的长，由此可求出G点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF的解析式，由此得解；
（2）过K作x轴的垂线，交直线EF于N；设出K点的横坐标，根据抛物线和直线EF的解析式，即可表示出K、N的纵坐标，也就能得到KN的长，以KN为底，F、E横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF的面积，由此可得到关于△KEF的面积与K点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K点坐标.
【详解】（1）由题意，得解得，b=－1．
所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为
DH+CH=DH+HB=BD=．而．
∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=．
设直线BD的解析式为y=k1x+b，则解得，b1= 2．
所以直线BD的解析式为y=x+ 2．
由于BC= 2，CE=BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，
得CE:CO=CG:CB，所以CG= 2.3，GO= 1.3．G（0，1.3）．
同理可求得直线EF的解析式为y=x+．
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．
（2）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
则KN=yK－yN=－（t+）=．
所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+ 2）+KN（1－t）= 2KN= －t2－2t+ 3 =－（t+）2+．
即当t=－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．
【点睛】
本题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法、二次函数的应用等知识，难度较大．
24、（1）6;（2）40或400
【分析】（1）设通道的宽x米，由图中所示可得通道面积为2×28x+2(52-2x)x，根据铺花砖的面积+通道面积=总面积列方程即可得答案；（2）设每个车位的月租金上涨a元，则少租出个车位，根据月租金收入为14400元列方程求出a值即可.
【详解】（1）设通道的宽x米，根据题意得：2×28x+2(52-2x)x+640=52×28，
整理得：x2-40x+204=0，
解得：x1=6，x2=34(不符合题意，舍去).
答：通道的宽是6米.
（2）设每个车位的月租金上涨a元，则少租出个车位，
根据题意得：(200+a)(64-)=14400，
整理得：a2-440a+16000=0，
解得：a1=40，a2=400.
答：每个车位的月租金上涨40元或400元时，停车场的月租金收入为14400元.
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出题中的等量关系列出方程是解题关键.
25、（1）；（2）或时，以点，，为顶点的三角形与相似；（3）存在，四边形是平行四边形时，，；四边形是平行四边形时，，；四边形是平行四边形时，，
【分析】（1）根据正方形的性质，可得OA＝OC，∠AOC＝∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD＝∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG＝OD＝1，DG＝OC＝2，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF＝∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF＝∠DCO，，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；
（3）分类讨论：当四边形是平行四边形时，四边形是平行四边形时，四边形是平行四边形时，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．
【详解】解：（1）过点作轴于点.
∵四边形是边长为2的正方形，是的中点，
∴，，.
∵，∴.
∵，∴.
在和中，
∴，，.
∴点的坐标为.
∵抛物线的对称轴为直线即直线，∴可设抛物线的解析式为，
将、点的坐标代入解析式，得，解得.
∴抛物线的解析式为；
（2）①若，则，，
∴，∴四边形是矩形，
∴，∴；
②若，则，
∴.
∴.
∴，∴.
∵，∴，∴.
∵，
∴，，
综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与相似：
（3）存在，①若以DE为平行四边形的对角线，如图2，
此时，N点就是抛物线的顶点（2，），
由N、E两点坐标可求得直线NE的解析式为：y＝x；
∵DM∥EN，
∴设DM的解析式为：y＝x＋b，
将D（1，0）代入可求得b＝−，
∴DM的解析式为：y＝x−，
令x＝2，则y＝，
∴M（2，）；
②过点C作CM∥DE交抛物线对称轴于点M，连接ME，如图3，
∵CM∥DE，DE⊥CD，
∴CM⊥CD，
∵OC⊥CB，
∴∠OCD＝∠BCM，
在△OCD和△BCM中
，
∴△OCD≌△BCM（ASA），
∴CM＝CD＝DE，BM＝OD＝1，
∴CDEM是平行四边形，
即N点与C占重合，
∴N（0，2），M（2，3）；
③N点在抛物线对称轴右侧，MN∥DE，如图4，
作NG⊥BA于点G，延长DM交BN于点H，
∵MNED是平行四边形，
∴∠MDE＝MNE，∠ENH＝∠DHB，
∵BN∥DF，
∴∠ADH＝∠DHB＝∠ENH，
∴∠MNB＝∠EDF，
在△BMN和△FED中
∴△BMN≌△FED（AAS），
∴BM＝EF＝1，
BN＝DF＝2，
∴M（2，1），N（4，2）；
综上所述，
四边形是平行四边形时，，；
四边形是平行四边形时，，；
四边形是平行四边形时，，.
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，（1）利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键；（3）利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键．
26、（1），D；（2）是直角三角形，见解析；（3），.
【分析】（1）直接将（−1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；
（2）分别求出AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；
（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，求出直线的解析式，可得M点坐标，然后易求此时△ACM的周长．
【详解】解：（1）∵点在抛物线上，
∴，
解得：.
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为：；
（2）是直角三角形，
证明：当时，
∴，即，
当时，，
解得：，，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）如图所示：BC与对称轴交于点M，连接，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时的值最小，即周长最小，
设直线解析式为：，则，
解得：，
故直线的解析式为：，
∵抛物线对称轴为
∴当时，，
∴，
最小周长是：.
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合应用、利用轴对称求最短路线以及勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．
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