导数知识点各种题型归纳方法总结(浦仕国).doc

曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题—《导数及应用》题型归纳 （内部资料，仅供参考） 主编：浦仕国 2016年6月
《导数》知识点和各种题型归纳方法总结
一．导数的定义：

2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：；②求平均变化率：；
③取极限得导数：
（下面内容必记）
二、导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①；②；；
③； ④ ⑤ ⑥；
⑦； ⑧
法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2：(口诀：前导后不导相乘+后导前不导相乘)
法则3：
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
（2）复合函数的导数求法：
①换元，令，则②分别求导再相乘③回代
题型一、导数定义的理解
1..已知的值是（ ）
A. B. 2 C. D. －2
变式1：（ ）
A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1
变式2： （ ）
A． B． C． D．
题型二：导数运算
1、已知，则
2、若，则
3.=ax3+3x2+2 ，，则a=（　　　）

三．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，
即有。
2.V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。（了解）
四．导数的几何意义：
函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：
（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
例：在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；
解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，
此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0
五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导，
（1）该区间内为增函数；
（2）该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
解题模板： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一： （1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以
例题．若函数，若则( )
A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c
六、函数的极值与其导数的关系：
1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用（不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题）
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数（看正负） 原函数（看升降增减）
的符号 单调性
与x轴的交点且交点两侧异号 极值
的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度）
增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快）
减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）
【题型针对训练】
1. 已知f(x)=ex-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？
若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，
若x=时，y=f(x）有极值.
（1）求a,b,c的值；
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
（请你欣赏）3.当 ，证明不等式.
证明：，，则，
当时。在内是增函数，，即，
又，当时，，在内是减函数，，即，因此，当时，不等式成立.
点评：由题意构造出两个函数，.
利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.
（请你欣赏）4、 已知函数的图象如图所示。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，
求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。
解：由题知：
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0
得
（Ⅱ）依题意= – 3 且f ( 2 ) = 5
解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b
由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
由① ②得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3 所以 当＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。
【导数各种题型方法总结】
请同学们高度重视（温馨提示）：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量； 2变更主元； 3根分布； 4判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
（2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及
“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
题型一、函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；（基础题型）
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）——（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例题欣赏1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.
解:由函数 得

（1） 在区间上为“凸函数”，则 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

解法二：分离变量法：
∵ 当时, 恒成立,
当时, 恒成立
等价于的最大值（）恒成立，
而（）是增函数，则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”
则等价于当时 恒成立
解法三：变更主元法
在区间[0,3]上恒成立 在恒成立
-2
2
（视为关于m的一次函数最值问题）

例题欣赏2：（二次函数区间最值的例子）
设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）

3a
a

a
3a

令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）
∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b.
（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法）
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数. （9分）
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值
题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型

例题欣赏3 已知函数图象上一点处的切线斜率为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
解：（Ⅰ）∴， 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减
又
∴的值域是
（Ⅲ）令
思路1：要使恒成立，只需，即（分离变量）
思路2：二次函数区间最值

题型二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围（逆向考查，正向思考）
解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型；
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，
要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例题欣赏4：已知，函数．
（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．
解：.
（Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ . 此时，，
令，解得：.
列表如下：

(－∞,－2)
－2
(－2,2)
2
(2,+∞)

+
0
－
0
+

递增
极大值
递减
极小值
递增
可知：的极大值为， 的极小值为.
（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，
∴，在给定区间R上恒成立（判别式法）
则 解得：.
综上，的取值范围是.
例题欣赏5、已知函数
（I）求的单调区间；
（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。（子集思想）
解析：（I）
1、
当且仅当时取“=”号，单调递增。
2、
a-1
-1

单调增区间：
单调增区间：
（II）当 则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增 符合题意
2、，
综上，a的取值范围是[0，1]。

题型三：根的个数问题
类型一： 函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点方程的根函数的零点
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
例题欣赏6、已知函数，，且在区间上为增函数．
（1） 求实数的取值范围；
（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．
解：（1）由题意 ∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立（分离变量法）
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
（2）设，

令得或由（1）知，
①当时，，在R上递增，显然不合题意…
②当时，，随的变化情况如下表：

—

↗
极大值
↘
极小值

↗
由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，
故需，即 ∴，解得
综上，所求的取值范围为

类型二：根的个数知道，部分根可求或已知。
例题欣赏7、已知函数
（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；
（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由；
解：（1）∵的图像过原点，则 ，
又∵是的极值点，则

-1

（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，
等价于有含的三个根，即：
整理得：
即：恒有含的三个不等实根
（计算难点来了：）有含的根，
则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，

十字相乘法分解：

恒有含的三个不等实根
等价于有两个不等于-1的不等实根。

类型三：切线的条数问题以切点为未知数的方程的根的个数
例题欣赏8例8、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：
（1）的解析式；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
解析：（1）由题意得：
∴在上；在上；在上
因此在处取得极小值
∴①，②，③
由①②③联立得：，∴
（2）设切点Q，

过

令，
求得：，方程有三个根。
需：
故：；因此所求实数的范围为：
类型四已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：根分布或判别式法
例题欣赏9例9、

解：函数的定义域为（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x3－x2＋10x，
＝x2－7x＋10，令 ， 解得或.
令 ， 解得
可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．
（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6,
1
要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则， 解得m＞3

例题欣赏10例10、已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．
解：（1）
当时，令解得，令解得，
所以的递增区间为，递减区间为.
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.
（2）有且仅有3个极值点
=0有3个根，则或，
方程有两个非零实根，所以
或
而当或时可证函数有且仅有3个极值点

请你欣赏——典型题解析

1、（最值问题与主元变更法的典例）已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）
令=0,得
因为，所以可得下表：

0

+
0
-

↗
极大
↘

因此必为最大值,∴因此， ，
即，∴，∴
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，
为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子）
已知函数
(Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,
求的解析式；
(Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.
解： (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 ,
∴
∵ ∴
又∵ 在处的切线与直线平行,
∴ 故
∴ ……………………. 7分
(Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值,
∴ 即 令, 则
∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得, , , , ,
同时DE为△ABC的中位线,
∴ 所求一条直线L的方程为:
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 ,
由 得点F的横坐标为:
由 得点G的横坐标为:
∴ 即
解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分
(Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值,
∴ 即 令, 则
∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得, , , , ,
同时DE为△ABC的中位线, ∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H ,
由 得直线L与AC交点为:
∵ , ,
∴ 所求直线方程为: 或
3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。
解：由题知：
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0
得
（Ⅱ）依题意 = – 3 且f ( 2 ) = 5
解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )
= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ①
若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3

－

所以 当＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。………… 12分
4、（根的个数问题）已知函数
（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；
（2）若，讨论曲线与的交点个数．
解：（1）

………………………………………………………………………2分
令得
令得
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分
（2）由题得
即
令……………………6分

令得或……………………………………………7分
当即时
此时，，，有一个交点；…………………………9分
当即时，

＋

—

,
∴当即时,有一个交点；
当即时，有两个交点；
　 当时，，有一个交点．………………………13分
综上可知，当或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
（Ⅰ） 若函数在处有极值，求的解析式；
（Ⅱ） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．

考试寄语：①先易后难,先熟后生；②一慢一快：审题要慢,做题要快；③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.
【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】 第17页 共20页 ◎ 【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】 第18页 共20页