资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，太阳在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2+bx+c
4．已知点在线段上（点与点、不重合），过点、的圆记作为圆，过点、的圆记作为圆，过点、的圆记作为圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部
C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆的内部
5．已知是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值是( )
A．﹣6 B．6 C． D．2
6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，且点B的坐标为（6，4），如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（－2，－3）
C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）
7．计算的值为( )
A．1 B．
C． D．
8．下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． ，在格点上，现将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，．若四边形是正方形，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，为圆的切线，交圆于点，为圆上一点，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
11．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则k＝_____．
14．已知抛物线，当时，的取值范围是______________
15．抛物线y=2(x−3)2+4的顶点坐标是__________________．
16．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为_____．
17．如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为______cm.
18．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.1．tan18°≈0.32，sin36°≈0.2．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
20．（8分）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为 ，点P的坐标为 ；
（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．
21．（8分）感知定义
在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．
①证明△ABD是“类直角三角形”；
②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．
22．（10分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）证明：∽
（2）求证：；
23．（10分）如图1，抛物线的顶点为点，与轴的负半轴交于点，直线交抛物线W于另一点，点的坐标为．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作轴，交轴于点，若平分，求抛物线W的解析式；
（3）若，将抛物线W向下平移个单位得到抛物线，如图2，记抛物线的顶点为，与轴负半轴的交点为，与射线的交点为．问：在平移的过程中，是否恒为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
24．（10分）在矩形中，，，是射线上的点，连接，将沿直线翻折得．
（1）如图①，点恰好在上，求证：∽；
（2）如图②，点在矩形内，连接，若，求的面积；
（3）若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长为 ．
25．（12分）已知是的反比例函数，下表给出了与的一些值．
…
-4
-2
-1
1
3
4
…
…
-2
6
3
…
（1）求出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表；
（3）根据上表，在下图的平面直角坐标系中作出这个反比例函数的图象．
26．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝
（1）小李第几天销售的产品数量为70件？
（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方，房子左边对应的突起应该在影子的左边．
2、A
【分析】根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．
【详解】图1中阴影部分的面积为：，
图2中的面积为：，
则
故选：A.
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．
3、A
【详解】A. y=x2，是二次函数，正确；
B. y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C. y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D. y=ax2+bx+c，a=0时，，不是二次函数，错误．
故选A．
考点：二次函数的定义.
4、B
【分析】根据已知条件确定各点与各圆的位置关系，对各个选项进行判断即可．
【详解】∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为
∴点C可以在圆的内部，故A错误，B正确；
∵过点B、C的圆记作为圆
∴点A可以在圆的外部，故C错误；
∴点B可以在圆 的外部，故D错误．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，根据题意画出各点与各圆的位置关系进行判断即可．
5、B
【解析】把x=代入方程x2-3x+c=0，求出所得方程的解即可．
【详解】把x=代入方程x2-3x+c=0得：3-9+c=0，
解得：c=6，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于c的方程．
6、D
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．
7、B
【解析】逆用同底数幂的乘法和积的乘方将式子变形，再运用平方差公式计算即可.
【详解】解：
故选B.
【点睛】
本题考查二次根式的运算，高次幂因式相乘往往是先设法将底数化为积为1或0的形式，然后再灵活选用幂的运算法则进行化简求值.
8、D
【分析】逐一对选项进行分析即可．
【详解】A. 不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握同底数幂的乘除法和积的乘方的运算法则是解题的关键．
9、A
【分析】根据线段的平移规律可以看出，线段AB向下平移了1个单位，向左平移了2个单位，相加即可得出．
【详解】解：根据线段的平移规律可以看出，线段AB向下平移了1个单位，向左平移了2个单位，得到A＇B＇，则m+n=1．
故选：A
【点睛】
本题考查的是线段的平移问题，观察图形时要考虑其中一点就行.
10、B
【分析】根据切线的性质以及圆周角定理求解即可．
【详解】连接OA
∵为圆的切线
∴
∵
∴
∴
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了圆的角度问题，掌握切线的性质以及圆周角定理是解题的关键．
11、A
【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是：（1，3），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标．能根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
12、C
【分析】直接利用概率公式求解．
【详解】∵10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，
∴从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是.
故选C.
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、-1．
【分析】直接把点（3，﹣4）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），
∴﹣4＝，解得k＝﹣1.
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14、1≤y＜9
【分析】根据二次函数的图象和性质求出抛物线在上的最大值和最小值即可．
【详解】
∴抛物线开口向上
∴当时，y有最小值，最小值为1
当时，y有最大值，最小值为
∴当时，的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值和最小值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
15、 (3,4)
【解析】根据二次函数配方的图像与性质，即可以求出答案.
【详解】在二次函数的配方形式下，x-3是抛物线的对称轴，取x=3,则y=4，因此，顶点坐标为（3，4）.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质.
16、
【分析】连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠CDF＝90°，根据三角形的内角和得到∠COD＝120°，根据三角函数的定义得到CF＝＝4，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠COD＝120°，
在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，
在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，
∴⊙O的半径＝2，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为π．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
17、5
【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】连接OA，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AC=4，
∵OC=3，
∴OA=
故答案为：5.
【点睛】
此题考查勾股定理、垂径定理及其推论，解题关键在于连接OA作为辅助线.
18、 (3，﹣10)
【分析】首先根据坐标求出正方形的边长为6，进而得到D点坐标，然后根据每旋转4次一个循环，可知第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，即可得出此时D点坐标．
【详解】解：∵A(﹣3，4)，B(3，4)，
∴AB=3+3=6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=6，
∴D(﹣3，10)，
∵70=4×17+2，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时D点与(﹣3，10)关于原点对称，
∴此时点D的坐标为(3，﹣10)．
故答案为：(3，﹣10)．
【点睛】
本题考查坐标与图形，根据坐标求出D点坐标，并根据旋转特点找出规律是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、1.9米
【解析】试题分析：在直角三角形BCD中，由BC与sinB的值，利用锐角三角函数定义求出CD的长，在直角三角形ACD中，由∠ACD度数，以及CD的长，利用锐角三角函数定义求出AD的长即可．
试题解析：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=， ∴CD=BC•sinB=10×0.2=5.9，
∵在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°， ∴∠ACD=∠BCD﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，
∴在Rt△ACD中，tan∠ACD=， ∴AD=CD•tan∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米），
则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．
考点：解直角三角形的应用
20、（1）；（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3），；（4）存在，F1，F1．
【分析】（1）由对称性先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，将C坐标代入y=a(x+3)(x﹣1)即可；
（1）先判断△ABC为直角三角形，分别求出AB，AC，BC的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；
（3）因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，所以BM=BN=t，证四边形PMBN是菱形，设PM与y轴交于H，证△CPN∽△CAB，由相似三角形的性质可求出t的值，CH的长，可得出点P纵坐标，求出直线AC的解析式，将点P纵坐标代入即可；
（4）求出直线BC的解析式，如图1，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，求出直线BC与对称轴的交点即可；当∠CAF=90°时，求出直线AF的解析式，再求其与对称轴的交点即可．
【详解】（1）∵在抛物线y=ax1+bx+c中，当x=﹣4和x=1时，二次函数y=ax1+bx+c的函数值y相等，
∴抛物线的对称轴为x1，
又∵抛物线y=ax1+bx+c与x轴交于A(﹣3，0)、B两点，
由对称性可知B(1，0)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，
将C(0，)代入y=a(x+3)(x﹣1)，
得：﹣3a，
解得：a，
∴此抛物线的解析式为y(x+3)(x﹣1)x1x；
（1）△ABC为直角三角形．理由如下：
∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)，
∴OA=3，OB=1，OC，
∴AB=OA+OB=4，AC1，BC1．
∵AC1+BC1=16，AB1=16，
∴AC1+BC1=AB1，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，
∴BM=BN=t，
由翻折知，△BMN≌△PMN，
∴BM=PM=BN=PN=t，
∴四边形PMBN是菱形，
∴PN∥AB，
∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，
∴，
即，
解得：t，CH，
∴OH=OC﹣CH，
∴yP，
设直线AC的解析式为y=kx，
将点A(﹣3，0)代入y=kx，
得：k，
∴直线AC的解析式为yx，
将yP代入yx，
∴x=﹣1，
∴P(﹣1，)．
故答案为：，(﹣1，)；
（4）设直线BC的解析式为y=kx，
将点B(1，0)代入y=kx，
得：k，
∴直线BC的解析式为yx，
由（1）知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．
①如图1，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，
在yx中，当x=﹣1时，y=1，
∴F1(﹣1，1)；
②当∠CAF=90°时，AF∥BC，
∴可设直线AF的解析式为yx+n，
将点A(﹣3，0)代入yx+n，
得：n=﹣3，
∴直线AF的解析式为yx﹣3，
在yx﹣3中，当x=﹣1时，y=﹣1，
∴F1(﹣1，﹣1)．
综上所述：点F的坐标为F1(﹣1，1)，F1(﹣1，﹣1)．
【点睛】
本题是二次函数综合题．考查了待定系数法求解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
21、（1）①证明见解析；②CE＝；（2）当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．
【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,证明△ABC∽△BEC,可得,由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形:①如图2中,当∠ABC+2∠C=90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB．则点F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．
②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,可证∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）①证明:如图1中,
∵BD是∠ABC的角平分线,
∴∠ABC＝2∠ABD,
∵∠C＝90°,
∴∠A+∠ABC＝90°,
∴∠A+2∠ABD＝90°,
∴△ABD为“类直角三角形”;
②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,
在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,
∴AC＝,
∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,
∴∠ABE+2∠A＝90°,
∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,
∴∠A＝∠CBE,
∴△ABC∽△BEC,
∴,
∴CE＝,
（2）∵AB是直径,
∴∠ADB＝90°,
∵AD＝6,AB＝10,
∴BD＝,
①如图2中,当∠ABC+2∠C＝90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB,则点F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,
∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,
∴∠CAD+∠DAF＝180°,
∴C，A，F共线,
∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,
∴∠C＝∠ABF,
∴△FAB∽△FBC,
∴,即 ,
∴AC＝．
②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,
∴∠C+2∠ABC＝90°,
∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,
∴△DAC∽△FBC,
∴,即,
∴CD＝（AC+6）,
在Rt△ADC中,[ （ac+6）]2+62＝AC2,
∴AC＝或﹣6（舍弃）,
综上所述,当△ABC是“类直角三角形”时,AC的长为 或．
【点睛】
本题主要考查圆综合题,考查了相似三角形的判定和性质,“类直角三角形”的定义等知识, 解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.
22、（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明∽；
（2）由相似三角形的性质可知，由AD∥BC可知，通过等量代换即可证明结论．
【详解】（1）证明：∥
∽
（2）证明：∵∽
∵AD∥BC，
∴
又∵CM＝BM，
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
23、（1）；（2）；（3）恒为定值．
【分析】（1）由抛物线解析式可得顶点A坐标为（0，-2），利用待定系数法即可得直线AB解析式；
（2）如图，过点作于，根据角平分线的性质可得BE=BN，由∠BND=∠CED=90°，∠BND=∠CDE可证明，设BE=x，BD=y，根据相似三角形的性质可得CE=2x，CD=2y，根据勾股定理由得y与x的关系式，即可用含x的代数式表示出C、D坐标，代入y=ax2-2可得关于x、a的方程组，解方程组求出a值即可得答案；
（3）过点作于点，根据平移规律可得抛物线W1的解析式为y=x2-2-m，设点的坐标为（t，0）（t＜0），代入y=x2-2-m可得2+m=t2，即可的W1的解析式为y=x2-t2，联立直线BC解析式可用含t的代数式表示出点C1的坐标，即可得，可得∠，根据抛物线W的解析式可得点D坐标，联立直线BC与抛物线W的解析式可得点C、A坐标，即可求出CG、DG的长，可得CG=DG，∠CDG=∠，即可证明，可得，，由∠CDG=45°可得BF=DF，根据等腰三角形的性质可求出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出CF的长，根据三角函数的定义即可得答案．
【详解】（1）∵抛物线W：的顶点为点，
∴点，
设直线解析式为，
∵B（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：．
（2）如图，过点作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点，点，
∴点，点是抛物线W：上的点，
∴，
∵x＞0，
∴，
解得：(舍去)，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：．
（3）恒为定值，理由如下：
如图，过点作轴于H，过点作轴G，过点作于点，
∵a=，
∴抛物线W的解析式为y=x2-2，
∵将抛物线W向下平移m个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为：，
设点的坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
∵抛物线与射线的交点为，
∴，
解得：，(不合题意舍去)，
∴点的坐标，
∴，
∴，
∴，且轴，
，
∵与轴交于点，
∴点，
∵与交于点，点，
∴，
解得：或，
∴点，A（0，-2），
∴，
∴，且轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
∴，
∴，
∴恒为定值．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象的平移、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，难度较大，属中考压轴题，熟练掌握相关的性质及判定定理是解题关键．
24、（1）见解析；（2）的面积为；（3）、5、1、
【分析】（1）先说明∠CEF=∠AFB和，即可证明∽；
（2）过点作交与点，交于点，则；再结合矩形的性质，证得△FGE∽△AHF，得到AH=5GF；然后运用勾股定理求得GF的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（3）分点E在线段CD上和DC的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．
【详解】（1）解：∵矩形中，
∴
由折叠可得
∵
∴
∴
在和中
∵，
∴∽
（2）解：过点作交与点，交于点，则
∵矩形中，
∴
由折叠可得：，，
∵
∴
∴
在和中
∵
∴∽
∴
∴
∴
在中，
∵
∴
∴
∴的面积为
（3）设DE=x，以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则：
①当点E在线段CD上时，∠DAE<45°，
∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，
∴∠CEF<90°，
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，
a,当∠EFC=90°时，如图所示:
由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，
∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，
在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=，
由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，
∴CF=AC-AF=-5，
在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，
∴x2+（-5）2=（3-x）2，解得x=即：DE=
b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，
∴CF=BC-BF=1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
（3-x）2+12=x2,解得x=,即：DE=；
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，
∴∠CFE<90°，
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，
a、当∠CEF=90°时，如图所示
由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE=AF=5；
b、当∠ECF=90°时，如图所示:
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴点F在CB的延长线上，
∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，
∴CF=BC+BF=9，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴（x-3）2+92=x2，解得x=1，即DE=1，
故答案为、、5、1．
【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键．
25、（1）y=；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）将x=1，y=6代入反比例函数解析式即可得出答案；
（2）根据（1）求出的解析式分别代入表中已知的数据求解即可得出答案；
（3）根据（2）中给出的数据描点连线即可得出答案.
【详解】解：（1）∵y是x的反比例函数
∴设y =
∵当x=1时，y=6
∴6=k
∴这个反比例函数的表达式为 .
（2）完成表格如下：
x
…
-3
2
…
y
…
-1.5
-3
-6
2
1.5
…
（3）这个反比例函数的图象如图：
【点睛】
本题考查的是反比例函数，比较简单，需要熟练掌握画函数图像的方法.
26、（1）小李第1天销售的产品数量为70件；（2）第5天时利润最大，最大利润为880元．
【分析】（1）根据y和x的关系式，分别列出方程并求解，去掉不符合情况的解后，即可得到答案;
（2）根据m与x的函数图象，列出m与x的关系式并求解系数；然后结合利润等于售价减去成本后再乘以销售数量的关系，利用一元一次函数和一元二次函数的性质，计算得到答案．
【详解】（1）如果8x＝70
得x＝ ＞5，不符合题意；
如果5x+10＝70
得x＝1．
故小李第1天销售的产品数量为70件；
（2）由函数图象可知：
当0≤x≤5，m＝40
当5＜x≤15时，设m＝kx+b
将（5，40）（15，60）代入，得
∴且b=30
∴m＝2x+30
①当0≤x≤5时
w＝（62﹣40）•8x＝176x
∵w随x的增大而增大
∴当x＝5时，w最大为880；
②当5＜x≤15时
w＝（62﹣2x﹣30）（5x+10）＝﹣10x2+140x+320
∴当x＝7时，w最大为810
∵880＞810
∴当x＝5时，w取得最大值为880元
故第5天时利润最大，最大利润为880元．
【点睛】
本题考察了从图像获取信息、一元一次函数、一元二次函数的知识；求解本题的关键为熟练掌握一元一次和一元二次函数的性质，并结合图像计算得到答案．
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