资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，将一块含30°的直角三角板绕点A按顺时针方向旋转到△A1B1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或 D．或1
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1．将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C的对应点C'在线段AB上．点B'是点B的对应点，连接B'B，则线段B'B的长为( )
A．2 B．3 C．1 D．
4．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0，下列说法正确的是( )
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．如图，点是以为直径的半圆上的动点，于点，连接，设，则下列函数图象能反映与之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知一组数据共有个数，前面个数的平均数是，后面个数的平均数是，则这个数的平均数是（ ）
A． B． C． D．
7．下列实数：，其中最大的实数是（ ）
A．-2020 B． C． D．
8．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d ( )
A． B． C． D．
9．不解方程，则一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．以上都不对
10．下列图像中，当时，函数与的图象时（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1B1的斜边OA1＝2，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，……，依此规律继续旋转，得到Rt△OA2019B2019，则点B2019的坐标为_____．
12．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且BC=3BE，AF平分∠DAE，交DC于点F，若AB=3，则点F到AE的距离为___________．
13．在一只不透明的袋中，装着标有数字，，，的质地、大小均相同的小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于时小明获胜，反之小东获胜．则小东获胜的概率_______．
14．已知函数，当时，函数的最小值是-4，实数的取值范围是______.
15．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C=25°，则∠D=________．
16．某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x，则可列方程为______．
17．如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________.
18．如图，正方形的顶点分别在轴和轴上，边的中点在轴上，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）解方程：3x（x﹣1）=x﹣1．
20．（6分）对于平面直角坐标系中的点和半径为1的，定义如下：
①点的“派生点”为；
②若上存在两个点，使得，则称点为的“伴侣点”．
应用：已知点
（1）点的派生点坐标为________；在点中，的“伴侣点”是________；
（2）过点作直线交轴正半轴于点，使，若直线上的点是的“伴侣点”，求的取值范围；
（3）点的派生点在直线，求点与上任意一点距离的最小值．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．
（1）求k的值；
（2）已知点P（a，﹣2a）（a＜0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x﹣2于点M，交函数y＝（x＜0）的图象于点N．
①当a＝﹣1时，求线段PM和PN的长；
②若PN≥2PM，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
22．（8分） “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
23．（8分）已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).
24．（8分）已知二次函数.
用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；
在所给坐标系中画出该二次函数的图象，并直接写出当时自变量的取值范围.
25．（10分）解方程：3x2﹣4x+1＝1．（用配方法解）
26．（10分）如图，一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】先判断出旋转角最小是∠CAC1，根据直角三角形的性质计算出∠BAC，再由旋转的性质即可得出结论．
【详解】∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，
∴旋转角最小是∠CAC1，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵△AB1C1由△ABC旋转而成，
∴∠B1AC1＝∠BAC＝60°，
∴∠CAC1＝180°﹣∠B1AC1＝180°﹣60°＝120°，
故选：D．
【点睛】
此题考查旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解题的关键．
2、A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出、再代入分式计算，即可求得．
【详解】解：由根与系数的关系得： ，，
∴
即 ，解得：或，
而当时，原方程△，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴ 的值为1．
故选A．
【点睛】
本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，难度不大，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键．
3、D
【分析】先由勾股定理求出AB，然后由旋转的性质，得到，，得到，即可求出.
【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1．
∴，
由旋转的性质，得，，，
∴，
在中，由勾股定理，得
；
故选：D.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和勾股定理，正确求出边的长度.
4、B
【分析】根据一元二次方程的构成找出其二次项系数、一次项系数以及常数项，再根据根的判别式△＝17＞0，即可得出方程有两个不相等的实数根，此题得解.
【详解】解：在一元二次方程x2+3x﹣2＝0中，二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为﹣2，
∵△＝32﹣4×1×(﹣2)＝17＞0，
∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根.
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
5、C
【解析】设圆的半径为，连接,求出，根据CA⊥AB,求出，即可求出函数的解析式为.
【详解】设：圆的半径为，连接，
则，
，即是圆的切线，则，
则
则
图象为开口向下的抛物线，
故选：．
【点睛】
本题考查了圆、三角函数的应用,熟练掌握函数图像是解题的关键.
6、C
【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．
【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，
故选：C．
【点睛】
此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.
．
7、C
【解析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可；
【详解】∵=-2020，=-2020，=2020，=，
∴，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了实数大小比较，掌握实数大小比较是解题的关键.
8、D
【解析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】∵点P在圆内，且⊙O的半径为4，
∴0≤d＜4，
故选D．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
9、C
【分析】根据∆值判断根的情况
【详解】解：a=2 b=3 c= -4
∴有两个不相等的实数根
故本题答案为：C
【点睛】
本题考查了通过根的判别式判断根的情况，注意a,b,c有符号
10、D
【分析】根据直线直线y=ax+b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断．
【详解】解：A、对于直线y=ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；
C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；
D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，掌握函数的性质，从而判断图像是解题的基础．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（﹣1，1）
【分析】观察图象可知，点B1旋转8次为一个循环，利用这个规律解决问题即可．
【详解】解：观察图象可知，点B1旋转8次一个循环，
∵2018÷8＝252余数为2，
∴点B2019的坐标与B3（﹣1，1）相同，
∴点B2019的坐标为（﹣1，1）．
故答案为（﹣1，1）．
【点睛】
本题考查坐标与图形的变化−旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
12、
【分析】延长AE交DC延长线于M，关键相似求出CM的长，求出AM长，根据角平分线性质得出比例式，代入求出即可．
【详解】延长AE交DC延长线于M，
∵四边形ABCD是正方形，BC=3BE，BC=3，
∴AD=DC=BC=AB=3，∠D=90°，BE=1，CE=2，AB∥DC，
∴△ABE∽△MCE，
∴，
∴CM=2AB=6，
即DM=3+6=9，
由勾股定理得：，
∵AF平分∠DAE，
∴，
∴，
解得：，
∵AF平分∠DAE，∠D=90°，
∴点F到AE的距离=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
13、
【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案.
【详解】根据题意画图如下：
可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和大于等于9的有8种
∴P（小东获胜）＝=
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查概率公式的应用，解题的关键是根据题意画出树状图表示所有情况.
14、
【分析】将二次函数化为顶点式，可知当时，函数的最小值为，再结合当时，函数的最小值是-4，可得的取值范围.
【详解】∵，
∴抛物线开口向上，当，二次函数的最小值为
∵当时，函数的最小值是-4
∴的取值范围是：.
【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.
15、65°
【解析】试题分析：先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由垂径定理求出∠AED的度数，进而可得出结论．
∵∠C=25°， ∴∠A=∠C=25°． ∵⊙O的直径AB过弦CD的中点E， ∴AB⊥CD，
∴∠AED=90°， ∴∠D=90°﹣25°=65°
考点：圆周角定理
16、3000(1+ x)2=1
【分析】设增长率为x，则2010年绿化面积为3000（1+x）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x）（1+x）m2，然后可得方程．
【详解】解：设增长率为x，由题意得：
3000（1+x）2=1，
故答案为：3000（1+x）2=1．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
17、
【分析】连接BD交OC与E，得出，从而得出；再根据弦与弦长度相同得出，即可得出的度数.
【详解】
连接BD交OC与E
是的直径
弦与弦长度相同
故答案为.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，辅助线得出是解题的关键.
18、
【分析】过点E作EG⊥x轴于G，设点E的坐标为（），根据正方形的性质和“一线三等角”证出△CEG≌△FCO，可得EG=CO=，CG=FO=OG－OC=，然后利用等角的余角相等，可得∠BAF=∠FCO，先求出tan∠BAF，即可求出tan∠FCO，即可求出x的值，从而求出OF和OC，根据勾股定理和正方形的性质即可求出CF、BF、AB、AF，从而求出OA.
【详解】解：过点E作EG⊥x轴于G，如下图所示
∵反比例函数的图象过点，设点E的坐标为（）
∴OG=x，EG=
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°
∵点E、F分别是CD、BC的中点
∴EC=CD=BC=CF
∵∠CEG＋∠ECG=90°，∠FCO＋∠ECG=90°，
∴∠CEG=∠FCO
在△CEG和△FCO中
∴△CEG≌△FCO
∴EG=CO=，CG=FO=OG－OC=
∵∠BAF＋∠AFB=90°，∠FCO＋∠COF=90°，∠AFB=∠COF
∴∠BAF=∠FCO
在Rt△BAF中，tan∠BAF=
∴tan∠FCO=tan∠BAF=
在Rt△FCO中，tan∠FCO=
解得：
则OF==，OC=
根据勾股定理可得：CF=
∴BF=CF=，AB=BC=2 CF=，
根据勾股定理可得：AF=
∴OA=OF＋AF=
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是反比例函数、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握利用反比例函数解析式设图象上点坐标、作辅助线构造全等三角形和等角的锐角三角函数相等是解决此题的关键.
三、解答题(共66分)
19、x1=1或x1=
【解析】移项后提取公因式x﹣1后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【详解】解：3x（x﹣1）=x﹣1，
移项得：3x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0
整理得：（x﹣1）（3x﹣1）=0
x﹣1=0或3x﹣1=0
解得：x1=1或x1=.
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，防止两边同除以x﹣1，这样会漏根．
20、（1）（1,0），E、D、；（2）；（3）
【分析】（1）根据定义即可得到点的坐标，过点E作的切线EM，连接OM，利用三角函数求出∠MEO=30°，即可得到点E是的“伴侣点”；根据点F、D、的坐标得到线段长度与线段OE比较即可判定是否是的“伴侣点”；
（2）根据题意求出，∠OGF=60°，由点是的“伴侣点”，过点P作的切线PA、PB，连接OP，OB，证明△OPG是等边三角形，得到点P应在线段PG上，过点P作PH⊥x轴于H，求出点P的横坐标是-，由此即可得到点P的横坐标m的取值范围；
（3）设点(x，-2x+6)，P（m，n），根据派生点的定义得到3m+n=6，由此得到点P在直线y=-3x+6上，设直线y=-3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点O作OH⊥AB于H，交于点C，求出AB的长，再根据面积公式求出OH即可得到答案.
【详解】（1）∵，
∴点的派生点坐标为（1,0），
∵E(0，-2)，
∴OE=2，
过点E作的切线EM，连接OM，
∵OM=1，OE=2，∠OME=90°，
∴sin∠MEO=,
∴∠MEO=30°，
而在的左侧也有一个切点，使得组成的角等于30°，
∴点E是的“伴侣点”；
∵，
∴OF=>OE，
∴点F不可能是的“伴侣点”；
∵，（1,0），，，
∴点D、是的“伴侣点”，
∴的“伴侣点”有：E、D、，
故答案为：（1,0），E、D、；
（2）如图，直线l交y轴于点G，
∵，
∴，∠OGF=60°
∵直线上的点是的“伴侣点”，
∴过点P作的切线PA、PB，且∠APB=60°，
连接OP，OB，
∴∠BOP=30°，
∵∠OBP=90°，OB=1，
∴OP=2=OG，
∴△OPG是等边三角形，
∴若点P是的“伴侣点”，则点P应在线段PG上，
过点P作PH⊥x轴于H，
∵∠POH=90°-60°=30°，OP=2，
∴PH=1，
∴OH=，即点P的横坐标是-，
∴当直线上的点是的“伴侣点”时的取值范围是；
（3）设点(x，-2x+6)，P（m，n），
根据题意得：m+n=x，m-n=-2x+6，
∴3m+n=6，
即n=-3m+6，
∴点P坐标为（m，-3m+6），
∴点P在直线y=-3x+6上，
设直线y=-3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点O作OH⊥AB于H，交于点C，如图，则A（2,0），B（0,6），
∴,
∴,
∴,
∴,
即点P与上任意一点距离的最小值为.
【点睛】
此题考查圆的性质，切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键.
21、（1）k=-3；（3）①PM＝1，PN＝3；②a≤﹣3或﹣1≤a＜1．
【分析】（1）把点A（﹣1，3）代入解析式即可求解；
（3）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，3），把y＝3分别代入y＝﹣3x﹣3与y＝﹣即可求得M、N的坐标，进一步即可求得PM、PN；
②先求出PN＝3PM时a的值，再根据函数的图象即可求解．
【详解】（1）∵函数y＝（x＜1）的图象经过点A（﹣1，3）．
∴k＝﹣1×3＝﹣3．
（3）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，3）．
∵直线y＝﹣3x﹣3，反比例函数的解析式为y＝﹣，PN∥x轴，
∴把y＝3代入y＝﹣3x﹣3，求得x＝﹣3，代入y＝﹣求得x＝﹣3，
∴M（﹣3，3），N（﹣3，3），
∴PM＝1，PN＝3．
②把y＝-3a代入y＝﹣3x﹣3，求得x＝a-1；代入y＝﹣求得x＝，
∴M点的坐标为(a-1，-3a)，N点的坐标为(，-3a)
当PN＝3PM时， ，解得：a=±1或±3（负值舍去）
∴当a＝﹣1或a＝﹣3时，PN＝3PM，
∴根据图象PN≥3PM，a的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．
22、 (1) 60，90；(2)见解析;(3) 300人
【解析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【详解】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=90°；
故答案为60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣10=5；
补全条形统计图得：
（3）根据题意得：900×=300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.
23、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于1，即可得证．
（2）把x=1代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=1．
∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞1，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=1是此方程的一个根，
∴把x=1代入方程中得到m（m+1）=1，
∴m=1或m=-1，
∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-2=4m2-4m+1+9-m2+7m-2=3m2+3m+2，
把m=1代入3m2+3m+2得：3m2+3m+2=2；
把m=-1代入3m2+3m+2得：3m2+3m+2=3×1-3+2=2．
考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解．
24、（1）顶点坐标为；（2）图象见解析，由图象得当时.
【分析】（1）用配方法将函数一般式转化为顶点式即可；
（2）采用列表描点法画出二次函数图象即可，根据函数图象，即可判定当时自变量的取值范围.
【详解】
.
.
顶点坐标为
列表:
···
···
···
···
图象如图所示
由图象得当时.
【点睛】
此题主要考查二次函数顶点式以及图象的性质，熟练掌握，即可解题.
25、x1＝1，x2＝
【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解．
【详解】3x2﹣4x+1＝1
3（x2﹣x）+1＝1
（x﹣）2＝
∴x﹣＝±
∴x1＝1，x2＝
【点睛】
本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
26、（1）； （2） 当t=2时，MN的最大值是4.
【分析】（1）首先求出一次函数与坐标轴交点坐标，进而代入二次函数解析式得出b，c的值即可；
（2）根据作垂直x轴的直线x=t，得出M，N的坐标，进而根据坐标性质得出即可．
【详解】解：（1）（1）∵一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
将x=0,y=2代入代入y=-x2+bx+c得c=2
将x=4,y=0 代入代入y=-x2+bx+c，
（2））∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，
由题意易得
从而得到
当时，MN有最大值为：
【点睛】
在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．
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