资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
x (单位：m)
y (单位：m)
3.05
A． B． C． D．
2．如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象向上平移个单位得到的图象的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
6．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C．， D．
8．不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
9．如图，⊙O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B 的度数是（ ）
A．15° B．40° C．75° D．35°
10．如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，四边形中，，点在轴上，双曲线过点，交于点，连接．若，，则的值为__．
12．如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形,这个正六边形ABCDEF的半径是2cm,则这个正六边形的周长是___．
13．如图是抛物线y=-x2+bx+c的部分图象，若y＞0，则x的取值范围是_______________．
14．如图，在平行四边形中，是边上的点，，连接，相交于点，则_________．
15．已知，则=__________.
16．二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点(－3，0)，则该二次函数的解析式为____________．
17．抛物线y＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．
18．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：
…
－2
－1
0
1
2
…
…
10
5
2
1
2
…
则当时，的取值范围是______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些全球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示：
（1）求这个函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于150 kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？
20．（6分）阅读材料
材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”.
材料2：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：.
例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.
则.
请解答：
（1）一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值， ；
（2）已知两个三位“对称数”，若能被11整数，求的所有值.
21．（6分）满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？
22．（8分）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为，格点（顶点是网格线的交点）的三个顶点坐标分别是，以为位似中心在网格内画出的位似图△A1B1C1，使与的相似比为，并计算出的面积．
23．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为．
求：（1）观众区的水平宽度；
（2）顶棚的处离地面的高度．（，，结果精确到）
24．（8分）如图，某科技物展览大厅有A、B两个入口，C、D、E三个出口.小昀任选一个入口进入展览大厅， 参观结束后任选一个出口离开.
(1)若小昀已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率.
(2)求小昀选择从入口A进入，从出口E离开的概率.(请用列表或画树状图求解)
25．（10分）某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01（sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158）
26．（10分）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：．
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，要使成立，完成下列探究过程：
要使，转化成，显然△DEA与△CFD不相似，考虑，需要△DEA∽△DFG，只需∠A＝∠________;另一方面，只要，需要△CFD∽△CDG，只需∠CGD＝∠________．由此探究出使成立时，∠B与∠EGC应该满足的关系是________．
（3）如图③，若AB＝BC＝6，AD＝CD=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，那么的值是多少?(直接写出结果)
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案.
【详解】将代入中得
解得
∴
∵
∴当时，
故选C
【点睛】
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
2、A
【分析】根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到．
【详解】过作于，
，
，
，
弧的长，
设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
3、B
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】由“上加下减”的原则可知,把二次函数y=x2的图象向上平移2个单位,得到的新图象的二次函数解析式是：y=x2+2.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与几何变换.
4、B
【分析】得出总的情况数和失败的情况数，根据概率公式计算出失败率，从而得出中奖率．
【详解】共有4×4=16种情况，失败的情况占3+2+1=6种，失败率为，中奖率为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用概率公式求概率．正确得出失败情况的总数是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5、C
【解析】试题分析：甲的作法正确：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAC=∠ACN．
∵MN是AC的垂直平分线，∴AO=CO．
在△AOM和△CON中，∵∠MAO=∠NCO，AO=CO，∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），∴MO=NO．∴四边形ANCM是平行四边形．
∵AC⊥MN，∴四边形ANCM是菱形．
乙的作法正确：如图，
∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∠2=∠1．
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2=∠3，∠5=∠2．
∴∠1=∠3，∠5=∠1．∴AB=AF，AB=BE．∴AF=BE．
∵AF∥BE，且AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=AF，∴平行四边形ABEF是菱形．
故选C．
6、B
【分析】根据2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，即可列出方程．
【详解】解：根据题意可得，2018年的产量为50（1+x），
2019年的产量为50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
即所列的方程为：50（1+x）2=1．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
7、A
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】A、是一元二次方程，故A正确；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误；
C、是分式方程，不是一元二次方程，故C正确；
D、a=0时不是一元二次方程，故D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
8、A
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量．
【详解】设白球有x个，根据题意得：
，
解得：x=5，
即白球有5个，
故选A．
【点睛】
考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
9、D
【分析】由,可知的度数,由圆周角定理可知,故能求出∠B .
【详解】
,
,
由圆周角定理可知(同弧所对的圆周角相等),
在三角形BDP中,
,
所以D选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的知识点,还考查了三角形内角和为的知识点,基础题不是很难.
10、C
【分析】由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项A成立；由平行线的性质得出，选项B成立；由垂径定理得出，选项D成立；和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，即可得出答案．
【详解】∵是的直径，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，选项A成立；
∴，选项B成立；
∴，选项D成立；
∵和中，没有相等的边，
∴与不全等，选项C不成立，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】过点F作FC⊥x轴于点C，设点F的坐标为（a，b），从而得出OC=a，FC=b，根据矩形的性质可得AB=FC=b， BF=AC，结合已知条件可得OA=3a，BF=AC=2a，根据点E、F都在反比例函数图象上可得EA=，从而求出BE，然后根据三角形的面积公式即可求出ab的值，从而求出k的值．
【详解】解：过点F作FC⊥x轴于点C，设点F的坐标为（a，b）
∴OC=a，FC=b
∵
∴四边形FCAB是矩形
∴AB=FC=b， BF=AC
∵
∴,即AC
∴OC=OA－AC=a
解得：OA=3a，BF=AC=2a
∴点E的横坐标为3a
∵点E、F都在反比例函数的图象上
∴
∴点E的纵坐标，即EA=
∴BE=AB－EA=
∵
∴
即
解得：
∴
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是反比例函数与图形的面积问题，掌握矩形的判定及性质、反比例函数比例系数与图形的面积关系和三角形的面积公式是解决此题的关键．
12、12
【分析】确定正六边形的中心O，连接EO、FO，易证正六变形的边长等于其半径，可得正六边形的周长.
【详解】解：如图，确定正六边形的中心O，连接EO、FO.
由正六边形可得
是等边三角形
所以正六边形的周长为
故答案为：
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，灵活利用正多边形的性质是解题的关键.
13、－3＜x＜1
【分析】从抛物线y=-x2+bx+c的部分图象可求抛物线的对称轴，抛物线与x轴的右交点为（1,0），利用对称性可求左交点（x1,0），抛物线开口向下，函数值y＞0，自变量应在两根之间即可．
【详解】从抛物线y=-x2+bx+c的部分图象知抛物线的对称轴为x=-1，抛物线与x轴的右交点为（1,0），由抛物线的对称性可求左交点（x1,0）则1-（-1）=-1-x1，x1=-3，左交点（-3，0），抛物线开口向下，由y＞0，则x的取值范围在两根之间即-3<x<1
故答案为：-3<x<1．
【点睛】
本题考查函数值大于0，自变量的取值范围问题，关键是抓住部分图象信息，对称轴，开口方向，右交点，会求对称轴，能利用对称轴求左交点，会结合图像找y>0时自变量在两根之间．
14、
【分析】设△AEO的面积为a，由平行四边形的性质可知AE∥CD，可证△AEO∽△CDO，相似比为AE：CD＝EO：DO＝3：4，由相似三角形的性质可求△CDO的面积，由等高的两个三角形面积等于底边之比，可求△ADO的面积，得出的值．
【详解】解：设△AEO的面积为a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∵，
∴AE＝ CD＝AB，
由AB∥CD知△AEO∽△CDO，
∴，
∴，
∵设△AEO的面积为a，，
∴S△CDO＝，
∵△ADO和△AEO共高，且EO：DO＝3：4，，
∴S△ADO＝，
则S△ACD＝S△ADO＋S△CDO＝，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得出相似三角形，利用相似比求相似三角形的面积，等高的三角形面积．
15、
【分析】根据比例的性质，化简求值即可.
【详解】
故答案为：.
【点睛】
本题主要考察比例的性质，解题关键是根据比例的性质化简求值.
16、y＝－4x2－16x－12
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x==﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣2,4)，
又∵抛物线过点(﹣3,0)，
∴，
解得：a=﹣4，c=﹣12，
则抛物线的解析式为y＝－4x2－16x－12.
故答案为y＝－4x2－16x－12.
【点睛】
本题考查用待定系数法求二次函数解析式，解此题的关键在于先根据顶点坐标与函数系数的关系，求得顶点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可.
17、（﹣2，5）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
18、
【分析】观察表格可得：（0，2）与（2，2）在抛物线上，由此可得抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，1），且抛物线开口向上，于是可得点（－1，5）与（3，5）关于直线x=1对称，进而可得答案.
【详解】解：根据表格中的数据可知：（0，2）与（2，2）关于直线x=1对称，所以抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，1），且抛物线开口向上，
∴点（－1，5）与（3，5）关于直线x=1对称，
∴当时，的取值范围是：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，通过观察得出抛物线的对称轴是直线x=1，灵活利用抛物线的对称性是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）至少是0.4.
【分析】（1）设表达式为，取点A（0.5，120）代入解得k值即可.
（2）令y=150，代入表达式解得x的值，则由图可知，小于该x的值时是安全的.
【详解】（1）设表达式为，代入点A（0.5，120），解得：k=60.
则表达式为：
（2）把y=150代入，解得x=0.4
则当气体至少为0.4时才是安全的.
【点睛】
本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小.
20、（1）515或565；（2）的值为4，8，96，108，144.
【分析】（1）根据“对称数”的定义和可知，这个三位数首尾数字只能是5，然后中间的数字2倍后个位数为2，由此可得B的值.
（2）首先表示出这两个三位数，，，根据能被11整数，分情况讨论、的值即可得出答案.
【详解】解：（1）∵
由运算法则可知，这个三位数首尾数字只能是5，中间数字2倍后各位数字为2，
∴中间数字为1或6，
则这个三位数为515或565
故答案为：515或565；
（2）由题意得：，
，
能被11整除，
是11的倍数.
、在1～9中取值，
.
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
的值为4，8，96，108，144.
【点睛】
本题考查新型定义运算问题，理解的运算法则是解决本题的关键.
21、 (1)、10%；(2)、方案一优惠
【解析】试题分析：(1)、设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可；(2)、对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价×100×0.98；②方案：下调后的均价×100﹣两年的物业管理费，比较确定出更优惠的方案．
试题解析：(1)、设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，5000（1﹣x）2=4050，
解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）；
答：平均每次降价的百分率为10%．
(2)、方案一的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；
方案二的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元）
∵396900元＜401400元．
考点：一元二次方程的应用．
22、画图见解析，的面积为1．
【分析】先找出各顶点的对应顶点A1、B1、C1，然后用线段顺次连接即可得到，用割补法可以求出的面积.
【详解】如图所示：，即为所求，
的面积为：．
【点睛】
本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
23、（1）20；（2）顶棚的处离地面的高度约为．
【分析】（1）根据坡度的概念计算；
（2）作于，于，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
【详解】（1）∵观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，
∴，
答：观众区的水平宽度为；
（2）如图，作于，于，则四边形、为矩形，
∴，，，
在中，，
则，
∴，
答：顶棚的处离地面的高度约为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24、 (1); (2)
【分析】（1）用列举法即可求得；
（2）画树状图（见解析）得出所有可能的结果，再分析求解即可.
【详解】（1）小昀选择出口离开时的所有可能有3种：C、D、E，每一种可能出现的可能性都相等，因此他选择从出口C离开的概率为：；
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，即（AC）、（AD）、（AE）、（BC）、（BD）、（BE），这些结果出现的可能性相等
所以小昀选择从入口A进入，出口E离开（即AE）的概率为.
【点睛】
本题考查了用列举法求概率，列出事件所有可能的结果是解题关键.
25、32.05米
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，
∴AD＝ABsin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝，
∴AC＝＝≈32.05（m），
答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
26、（1）证明见解析；（2）DGF，CDF，∠B＋∠EGC＝180°；（3）．
【分析】（1）根据矩形性质得出∠A＝∠FDC＝90°，求出∠CFD＝∠AED，证出△AED∽△DFC即可；
（2）当∠B＋∠EGC＝180°时，成立，分别证明即可；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD＝∠A＝90°，证△BCM∽△DCN，求出CM＝x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2＋CM2＝BC2，代入得出方程（x−2）2＋（x）2＝22，求出CN＝，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴；
（2）当∠B＋∠EGC＝180°时，．
要使，转化成，显然△DEA与△CFD不相似，考虑，需要△DEA∽△DFG，只需∠A＝∠DGF;另一方面，只要，需要△CFD∽△CDG，只需∠CGD＝∠CDF．
当∠B＋∠EGC＝180°时：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠B＋∠A＝180°，
∵∠B＋∠EGC＝180°，
∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，
∵∠FDG＝∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，
∴∠CGD＝∠CDF，
∵∠GCD＝∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴，
∴，
∴，
即当∠B＋∠EGC＝180°时，成立；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，
∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，
∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，AN＝CM，
∵在△BAD和△BCD中，，
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD＝∠A＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＋∠CBM＝180°，
∴∠MBC＝∠ADC，
∵∠CND＝∠M＝90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴，
∴，
∴CM＝x，
在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM−AB＝x−2，由勾股定理得：BM2＋CM2＝BC2，
∴（x−2）2＋（x）2＝22，
x＝0（舍去），x＝，
CN＝，
∵∠A＝∠FGD＝90°，
∴∠AED＋∠AFG＝180°，
∵∠AFG＋∠NFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFN，
∵∠A＝∠CNF＝90°，
∴△AED∽△NFC，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．
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