数学公式和基础知识点(理科高中).doc

公式和知识点（数学）
1. 数集的表示：实数集；有理数集；整数集；自然数集；复数集
2. 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
3. 若有限集合有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子
集有个。
4. “且”用∧表示，“或”用∨表示，“全称”用表示，“存在”用表示。
5. 全称命题的否定是特称命题，即，的否定是，，反之亦可。
6. 原命题与逆否命题真假性一致，逆命题与否命题真假性一致。
7. ，则是的充分条件；，则是的必要条件。
8. 函数的定义域：①分母不为0，②偶次方根被开方数大于等于0，③对数的真数大于0，底数大于0且不
为1，④零次幂的底数不为0，⑤正切的角终边不在轴上。
9. 函数的定义含有三要素，即定义域、对应关系、值域。当两个函数的三要素都分别相同时，这两个函数
才是同一个函数。
10. 函数奇偶性的定义：①对于函数的定义域内的任意一个，都有，则为奇函数。
②对于函数的定义域内的任意一个，都有，则为偶函数。
11. 函数奇偶性的性质：①奇、偶函数的定义域关于原点对称，②若奇函数的定义域包括0，则，
③奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，④奇函数在其对称区间上的单调性相同，
而偶函数相反。
12. 函数单调性的定义：若函数在区间内的，当时，①都有时，则
是区间上的增函数，②都有时，则是区间上的减函数。
13. 周期函数的定义：对于函数存在非0常数，使得在其定义域内有，则
是以为周期的周期函数。
14. 反函数的定义：一个函数中的与调换位置，即的反函数为，原函数的反函数图像关
于对称。
15. 函数图像的对称性：若在定义域成立，则关于对称。
16. 幂运算公式：①，②，③，且，
④，⑤，⑥，⑦
17. 对数定义：若，那么叫做为底的对数，记作，其中称对数的
底，叫真数。当时称常用对数，记为；当无理数时，记为
18. 对数运算公式：①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦（换底公式）
19.指数函数的图像总体特征：定义域为；值域为；恒过点
部分特征：当时，在上是增函数；当时，在上是减函数。
20.对数函数的图象总体特征：定义域为；值域为；恒过点
部分特征：当时，在上是增函数；当时，在上是减函数。
21.幂函数
22.函数零点的定义：方程有实根的图象与轴有交点有零点；
函数零点的判断方法：若在上为单调函数，且有，则在有零点。
23.导数的概念：①设函数在处附近有定义，当在处增加时，则也有相应的增
量，因此平均变化率为，当这个数无限接近于某个
常数时，就把这个常数称为函数在处的导数，即
24.函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率。
25.导数公式：①(为常数)；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧
26. 导数运算法则：①；②
③；④
27. 当在恒成立，则在上单调递增；当在恒成立，则在
上单调递减。
28. 极值、最值的判断：①若在的左侧，右侧，则是极大值；②若在的左
侧，右侧，则是极小值。各极值的和定义域的函数值比较，其中最大的为
最大值，最小的为最小值。
29.定积分的几何意义：轴、曲线以及直线所围成的曲边梯形的面积。
30.微积分定理：若，且在上可积，则
31.向量的概念：①既有大小又有方向；②模为0的向量为零向量，模为1的向量为单位向量；③零向量与
任何向量平行(共线)；④方向相同或相反的向量为平行(共线)向量；⑤长度相等且方向相同的向量为相
等向量；⑥两个非零向量与，它们的夹角为，则与的数量积为，规定零向
量与任何非零向量的数量积等于0；⑦向量在方向上的投影为
32. 平面向量的坐标运算：若(两个向量的是非零向量)，则①、、；；
②若，则；若，则；
③若与的夹角为，则
33. 弧度制与角度制的转化：，
34. 弧长公式：为圆心角的弧度数)，扇形面积公式：
35. 同角三角函数的关系：①；②
36. 诱导公式：①、、；
②、、；
③、、；
④、、；
⑤、、、
37. 两角和公式：①；②；
③
38. 二倍角公式：①；②；
③
39. 辅助角公式：(为辅助角)
40. 函数可由的图象作如何变换得到：
①，将图象上所有点向左或向右平移个单位；
②，将图象上所有横坐标伸长或缩短 到原来的倍；③，将图象上所有纵坐标伸长
或缩短到原来的倍。
41. 三个常用三角函数的性质：

定义域

值域

最小正周期

对称中心

对称轴

无
递增区间

递减区间

无
42. 正弦定理：为外接圆的半径)
43. 余弦定理：①；②；③
44. 俯角是视线在水平线下方的角；仰角是视线在水平线上方的角。
45. 三角形面积公式：①是底、是高)；
②
46. 等差数列有关概念
定义：若数列满足为常数)
通项公式：，也可以写成
等差中项：若三数成等差，则为的等差中项，且有
性质：①若，则；②也成等差。
数列前项和：
47. 等比数列有关概念
定义：若数列满足的常数)
通项公式：，也可以写成
等比中项：若三数成等比，则为的等比中项，且有
性质：①若，则；②也成等比。
数列前项和：①当时，；②当时，
48. 与关系：(任何数列都可用)
49. 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积公式：①直棱柱侧面积为底面周长，为高)；②正棱锥侧
面积为底面周长，为斜高)；③正棱台侧面积分别为上、下底面周
长，为斜高)；④棱柱体积为底面积，为高)；⑤棱锥体积为底面积，为
高)；⑥棱台体积为上、下底面积，为高)
50. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式：①圆棱柱侧面积为底面半径，为高)；②圆锥侧
面积为底面半径，为母线长)；③圆台侧面积为上、下底面半径，为
母线长)；④圆柱体积为底面积，为高)；⑤圆锥体积为底面积，为高)；⑥
棱台体积为上、下底面积，为高)
51. 球的表面积和体积公式：，为球的半径）
52. 平面直观图--斜二测画法特点：①；②平行于轴的线段在直观图中平行于 轴的线段；③平行于轴的线段在直观图中保持原长度，平行于轴的线段在直观图中为原长的一半。
53. 直线与平面平行判定与性质定理(为线段，为点，为平面)
①判定定理：若，则；
②性质定理：若，则
54. 平面与平面平行判定与性质定理：
①判定定理：若则；
②性质定理：若，则
55. 直线与平面垂直判定与性质定理：
①判定定理：若，则；
②性质定理：若，则
56. 平面与平面垂直判定与性质定理：
①判定定理：若，则；
②性质定理：若，则
57. 空间向量的坐标运算：(可仿照32.的公式)
58. 平面法向量的求法：设平面的法向量，在平面内任意找两个不共线的向量和，由
可得和，由此解得的关系式，按比例设数字可得到
59. 点到平面的距离公式：设法向量为平面的法向量，点是平面外的一定点，点是平面内的
任意一点，则点到平面的距离
60. 倾斜角：直线向上的方向与轴的正方向所成的最小正角，范围为；
斜率：过两点时，倾斜角不为，则斜率；当
时，倾斜角为，斜率不存在。
61. 直线的截距：直线与轴的交点的横坐标为直线在轴上的截距；直线与轴的交点的纵坐标为直线在
轴上的截距。
62. 直线方程的基本形式(由于有两种形式少用，就不写了)
①一般式：不全为0)；
②点斜式：直线过点且斜率为，则直线方程为；
③斜截式：已知直线的斜率为且在轴上的截距为，则直线方程为
63. 两直线平行、垂直的充要条件：若不重合的直线的斜率分别是，则；

64. 中点坐标公式：若两点间的中点，则
65. 两点间距离公式：若，则
66. 点到直线距离公式：点到直线：的距离
67. 两平行直线间距离公式：若直线，，则与间距离为

68. 几种特殊的对称：①点关于轴对称的点为；②点关于轴对称的点为；
③点关于原点对称的点为；④点关于对称的点为；
④点关于对称的点为
69. 圆的相关概念：
定义：平面内与定点(圆心)的距离(半径)恒定不变的点的集合(轨迹)。
标准方程：，其中圆心为，半径为
一般方程：，其中圆心为，半径为
70.点与圆的位置关系：若点与圆心的距离为，半径为，则点在圆上；点在圆内；
点在圆外。
71. 判定直线与圆的关系：①几何法：直线与圆心距离为，半径为，则相交；相切；
相离；②代数法：由直线方程与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，则相交；
相切；相离
72. 圆与圆之间的关系：若两圆的半径分别为，连心距为，则①外离4条公切线；
②外切3条公切线；③相交2条公切线；④ 内切1条公切线；⑤内含无公切线
73. 椭圆的定义：①平面内与两定点的距离之和等于常数的点的轨迹，这两个定点
为椭圆的焦点，两焦点的距离为焦距；②与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离心率(常数)
的点的轨迹。
74. 两种椭圆的相同点与不同点：
①不同点：当焦点在轴时，标准方程，范围，两焦点
，顶点；当焦点在轴时，标准方程，
范围，两焦点，顶点
②相同点：焦距，长轴长，短轴长，，离心率
75. 双曲线的定义：①平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹，
这两个定点为双曲线的焦点，两焦点的距离为焦距；②与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离
心率(常数)的点的轨迹。
76.两种双曲线的相同点与不同点：
①不同点：当焦点在轴时，标准方程，范围或，两焦点
，顶点，渐近线方程；当焦点在轴时，标准方程
，范围，顶点，渐近线方程
②相同点：焦距，实轴长，虚轴长，，离心率
77. 抛物线的定义：平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹，定点为抛物线的焦点，
定直线为准线。
78. 四种不同的抛物线：
①标准方程，焦点，准线方程，范围，；
②标准方程，焦点，准线方程，范围，；
③标准方程，焦点，准线方程，范围，；
④标准方程，焦点，准线方程，范围，；
79. 直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：由直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元得到一元二次方程，若
①，则有两个交点；②，则有一个交点；③，则无交点
80. 统计图表：①频率分布表：反映总体频率分布的表格，表格主要有分组、频数、频率等三个项目；②频
率分布直方图：在直角坐标系中用横坐标表示数据的分组区间，纵坐标表示频率与组距的比值，小矩形
的面积表示相应分组的频率。
81. 数字特征：①众数：在一组数据中出现得最多的数据；②中位数：把一组数据按大到小依次排列，处于
中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)；③平均数：一组数据的总和与数据个数的比值；④方
差：若一组数据为，平均数为，则方差为；
方差的算术平方根为标准差。
82. 用样本数字特征估计总体的数字特征：①反映数据的集中趋势有中位数、众数、平均数；②反映数据的
离散程度有方差、标准差。
83. 线性回归方程(是回归系数），公式为；
(为平均数)
84. 计数原理：①加法原理：做一件事，完成它有类方法，在第一类办法有种不同方法，在第二类办
法有种不同方法，……在第类办法有种不同方法，则完成这件事有
种不同方法；②乘法原理：做一件事，完成它要个步骤，第一步有种不同方法，第二步有种
不同方法，……第步有种不同方法，则完成这件事有种不同方法。
85. 排列：从个不同的元素中任取个元素，按一定顺序排成一列，用表示。
公式：(为的阶乘)
86. 组合:从个不同的元素中任取个元素合成一组，用表示。
公式：
87. 二项式定理：
①通项，它展开式有项
88. 二项式系数的性质：①对称性：在展开式中，与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
；②二项式系数先增后减，在中间取得最大值；③

89. 事件的关系：①互斥事件：不能同时发生的两个事件；②对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两
个事件；③对立事件一定是互斥事件，互斥时间不一定是对立事件。
90. 若离散型随机变量的分布列为：

X1
X2
…
Xi
…
Xn
p
P1
P2
…
Pi
…
Pn
则①数学期望(均值)；若，则；若服从两点分布，则；若，则；②方差；
它的算术平方根为标准差，用表示；若，则；若服从两点分布，则
；若，则
91. 正态曲线函数：(为数学期望，为标准差)
性质：①曲线在轴上方，无限靠近轴；②曲线关于对称；③当时有最大值；
④在时递增，在时递减；⑤曲线与轴的面积为1；⑥当一定时，当越
小，曲线越瘦高，当越大，曲线越矮肥。
92. 三个特殊区间的取值概率：；；

93. 复数,其中是虚数单位，且，为实部，为虚部。
94. 复数的分类：①当时，为实数；②当时，为虚数；③当时，为纯虚数；④当
时，为非纯虚数；⑤与互为共轭复数；⑥可以写成坐标形式，
复数坐标公式可参考上面的32.
95. 复数的四则运算：若复数，复数，则
①；②；③；
④
96. 极坐标为，和两个公式：，(为直角坐标系)
97. 基本不等式：,当且仅当时取等号；运用基本不等式的三要素：一正，
二定，三相等。
98. 绝对值不等式：
99. 柯西不等式：，当且仅当、
、时，取等号。
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