基于单位四元数矩阵实表示的坐标转换算法研究.pdf

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1、第4 6卷第6期2 0 2 3年1 1月现代测绘M o d e r nS u r v e y i n ga n dM a p p i n gV o l.4 6,N o v.,2 0 2 3 第一作者简介:秦锋,高级工程师,研究方向为核电工程测量管理及激光跟踪测量数据处理。基于单位四元数矩阵实表示的坐标转换算法研究秦锋1,鹿松1,张振虎21.中国核工业集团三门核电有限公司,浙江台州3 1 7 1 1 2;2.上海勘察设计研究院(集团)有限公司,上海2 0 0 0 9 3摘要四元数法可用于大角度的空间三维坐标转换,但其理论较复杂,计算及证明不便。借助四元数的矩阵实表示,可以将四元数

2、域上的运算转化为实数域上向量和矩阵的运算。针对大角度空间三维坐标转换问题,构造了四元数优化函数,然后基于单位四元数矩阵实表示的方式将四元数问题的求解转换成矩阵问题的求解,并给出了利用单位四元数进行空间三维坐标转换两种算法的详细证明。经过算例分析表明,两种算法解算结果和奇异值分解算法一致,验证了算法的正确性和有效性,且两种算法只需进行矩阵的特征值分解,无须线性化,计算简便,便于编程,适用于大角度坐标转换问题的求解。关键词单位四元数;矩阵;实表示;坐标转换中图分类号:P 2 0 8;P 2 6 6.3 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 2-4 0 9 7(2 0 2 3)0 6-0 0 2

3、5-0 60 引言空间三维坐标转换一直是测量领域的重要研究内容。目前很多坐标转换都涉及大旋转角的空间坐标转换,传统的布尔莎七参数模型只适用于小角度旋转,难以满足要求。当前关于大角度坐标转换模型算法一般有误差方程线性化算法1-4、罗德里格矩阵算法5-9、四元数法1 0-1 4、奇异值分解(S V D)算法等1 5-1 6。其中,误差方程线性化算法利用一阶微分将误差方程线性化后迭代求解,该算法存在计算复杂、迭代不收敛或收敛到非极值,以及求解过程中可能会出现矩阵奇异或矩阵条件数过大等问题。罗德里格矩阵算法利用反对称矩阵构建线性方程进行求解,根据文献1 7论证其精度略低于七参数

4、迭代模型。奇异值分解法其数学基础为矩阵分析中子空间的旋转问题1 8,该算法适用性强,但需要进行奇异值分解,难以普遍应用。四元数法利用单位四元数表示旋转,不用进行迭代,可提供平滑差值和避免万向锁问题,其用于坐标转换参数求解时,适用性强,可以用于任意角度的三维坐标转换问题求解,但四元数法理论较复杂,其乘积计算不便。本文基于单位四元数矩阵实表示的方式1 9将四元数体上的求解转化成矩阵上的求解,并给出了利用单位四元数进行坐标转化的两种算法的证明过程,公式推导简便,容易理解,经数据验证,两种算法解算结果准确一致。1 四元数基础知识1.1 四元数定义及性质四元数是简单的超复数,由1个实部q0和3个虚部q1

5、、q2、q3组成,可表示为:q=q0+q1i+q2j+q3k(1)式中,i、j、k满足i2=j2=k2=-1,i j=-j i=k,j k=-k j=i,k i=-i k=j。其单位四元数满足:q20+q21+q22+q23=1(2)其共轭四元数为:q*=q0-q1i-q2j-q3k(3)四元数模定义为:|q|=q20+q21+q22+q23(4)四元数模满足以下公式:|q|2=qq*=q*q(5)|pq|=|p|q|(6)四元数的逆:q-1=1|q|2q*(7)对于单位四元数,|q|=1,则q-1=q*。1.2 四元数运算四元数加法如下:p+q=(p0+q0)+(p1+q1)i+(p2+q2

6、)j+(p3+q3)k(8)四元数乘法(格拉斯曼积)如下:pq=(p0q0-p1q1-p2q2-p3q3)+(p0q1+p1q0+p2q3-p3q2)i+(p0q2+p2q0+p3q1-p1q3)i+(p0q3+p3q0+p1q2-p2q1)k(9)从式(8)和式(9)容易验证,四元数加法满足结合律和交换律,乘法满足结合律和分配律,但不满足交换律,这导致了四元数之间运算复杂。为了简化四元数之间的运算,根据参考文献1 9,借助四元数的矩阵实表示,可以将四元数域上的运算转化为实数域上向量和矩阵的运算。实数域上向量和矩阵的运算比四元数域的计算简单,且计算过程明了,便于公式推导和实际应用。1.3 四元

7、数的矩阵实表示对于四元数体Q上的任意一个四元数q=q0+q1i+q2j+q3k,规定:s(q)=q0q1q2q3 ,m(q)=q0-q1-q2-q3q1q0-q3q2q2q3q0-q1q3-q2q1q0 ,m+(q)=q0-q1-q2-q3q1q0q3-q2q2-q3q0q1q3q2-q1q0 (1 0)分别称s(q)、m(q)、m+(q)为四元数q的坐标、分量矩阵和蜕变矩阵,将s(q)、m(q)、m+(q)统称为四元数q的矩阵实表示。根据文献1 9,以下两个引理成立。引理1:对于任意、R,a、bQ,下式成立。s(a+b)=s(a)+s(b)(1 1)m(a+b)=m(a)+m(b)(1 2)

8、m+(a+b)=m+(a)+m+(b)(1 3)引理2:对于任意p、qQ,以下公式成立。s(pq)=m(p)s(q)=m+(q)s(p)(1 4)m(pq)=m(p)m(q)(1 5)m+(pq)=m+(q)m+(p)(1 6)2 计算原理及公式推导2.1 空间坐标转换模型空间坐标转换模型可表示为:x y z=Rxyz+x0 y0 z0(1 7)式中,x y zT为旋转前坐标,x y z T为旋转后坐标,为尺度系数,R为旋转矩阵,x0 y0 z0T为平移参数。将坐标转换模型以向量形式表示:ti=R ti+t0(1 8)式中,ti=xi yi ziT,ti=xi yi ziT,t0=x

9、0 y0 z0T为便于计算,将坐标进行中心化处理:t-=1nni=1ti,t-=1nni=1tiri=ti-t-,ri=ti-t-(1 9)由式(1 8)和式(1 9)可以推导出平移参数计算公式:t0=t-Rt-(2 0)而式(1 8)变为:ri=R ri(2 1)坐标中心化处理后,求取最佳转换参数的函数由m i n ni=1ti-R ti-t02变为m i n ni=1ri-R ri2。2.2 利用单位四元数进行坐标转换的第一种方法证明构造如下优化函数f1:f1=ni=1ri-R ri2=ni=1ri2-2ni=1(ri)TR ri+2ni=1R ri2(2 2)因R为正交矩阵,故有R r

10、i2=ri2,上式化简为:f1=ni=1ri2-2ni=1(ri)TR ri+2ni=1ri2(2 3)因0,故欲使f1取最小值,只需ni=1(ri)TR ri取最大值即可,即求解数学问题:m a xni=1(ri)TR ri。令D=ni=1(ri)TR ri,将D用四元数形式表示如下:D=ni=1ri(qriq*)(2 4)注意:上式的“”表示四元数的点积,其结果为一个标量。根据引理1和引理2,将式(2 4)采用矩阵实表示进行表示:D=ni=1s(ri)Ts(qriq*)=ni=1s(q)Tm(ri)Tm+(ri)s(q)(2 5)令M=ni=1m(ri)Tm+(ri),上式变为:D=s(q

11、)TM s(q)(2 6)可采用拉格朗日乘子法证明,当s(q)取M特征值分解所得最大特征值对应的特征向量时,D取最大值。式(2 3)可以转化为:62现代测绘第4 6卷 f1=ni=1ri2-2 Dm a x+2ni=1ri2(2 7)式(2 7)为关于的一元二次方程,尺度系数计算公式如式(2 8)所示。当取式(2 8)时,f1取最小值。=Dm a xni=1ri2(2 8)求得单位四元数后,可根据下式计算旋转矩阵R,再结合式(2 0)及式(2 8)可解出平移参数。R=q20+q21-q22-q232(q1q2-q0q3)2(q0q2+q1q3)2(q1q2+q0q3)q20-q21+q

13、 3)令N=ni=1 m(ri)-m+(ri)Tm(ri)-m+(ri),则:f1=s(q)TN s(q)(3 4)同理,欲使f1取最小值,只需s(q)取N的最小特征值对应的特征向量即可。可以证明,尺度系数的取值不会影响单位四元数的求解。所以,为简化计算,在对N进行特征分解时可先将尺度系数定为1。利用特征分解计算出单位四元数后,将式(3 0)展开,得:f1=ni=1s(q)Tm(ri)Tm(ri)s(q)-2 s(q)Tm(ri)Tm+(ri)s(q)+2s(q)Tm+(ri)Tm+(ri)s(q)(3 5)式(3 2)为关于的一元二次方程,当取式(3 3)值时,f1取最小值。=s(q)Tni

14、=1m(ri)Tm+(ri)s(q)s(q)Tni=1m+(ri)Tm+(ri)s(q)(3 6)求得单位四元数后,可根据式(2 9)计算旋转矩阵R,再结合式(2 0)及式(3 6)可解出平移参数。3 算例分析算例一:以激光跟踪仪测量的某6个公共点转站前和转站后的空间三维坐标为例,公共点坐标如表1所示,采用本文两种算法计算坐标转换单位四元数、尺度系数和平移参数,并将四元数转化为旋转矩阵。另采用奇异值分解法(S V D)计算结果作为对比。在对数据进行中心化处理后,采用本文第一种算法得到的特征分解矩阵M、特征向量矩阵U1、特征值矩阵V1如式(3 7)-(3 9)所示。表1 激光跟踪仪转站前后公共点

15、测量数据(单位/mm)点号转站前转站后XYZX Y Z P 17 0 2.4 1 5-7 1 4.6 0 9523 5 5.9 5 32-19 1 9.7 0 02-2 2 3.6 8 829.6 8 89P 214 8 1.4 4 983 2 9.4 5 533 4 8.1 6 034 3 2.1 2 45-3 9 3.3 0 504 2 0.5 7 45P 313 4 4.4 9 392 3 9.6 7 275 5 4.3 9 971 9 0.6 0 78-3 6 1.4 4 453 2 0.6 2 82P 414 2 2.4 8 383 5.5 2 368 0 8.8 0 82-1 1

16、6.6 5 06-3 9 9.8 2 474 4 9.4 2 32P 512 5 8.0 2 202 3 1.1 4 22-4 3 9.6 8 7310 0 6.0 6 24-8 9 4.5 7 041 0 5.0 7 86P 610 0 7.4 8 15-5 4 0.8 5 449 6 3.2 6 58-6 1 2.4 7 59-8 1 0.2 5 861 1 1.7 4 5172第6期秦锋等:基于单位四元数矩阵实表示的坐标转换算法研究 M=8 9 03 6 5.8 5 23-4 9 67 4 6.1 2 27-48 5 33 9 3.6 4 05-20 7 62 8 7.3 3 97-4

17、 9 67 4 6.1 2 2716 2 46 1 3.6 9 7820 2 01 1 0.5 6 09-43 7 22 1 1.8 9 68-48 5 33 9 3.6 4 0520 2 01 1 0.5 6 09-9 9 98 5 8.2 8 5710 7 15 8 5.5 6 32-20 7 62 8 7.3 3 97-43 7 22 1 1.8 9 6810 7 15 8 5.5 6 32-15 1 51 2 1.2 6 45(3 7)U1=-0.2 0 57 9 70 3 78 3 5 0.6 3 54 1 34 5 42 5 60.1 3 75 3 17 9 43 2 70.7 3

18、 14 2 48 6 07 4 70.5 1 12 5 41 2 36 8 90.2 3 58 4 71 9 30 9 60.7 9 89 7 37 9 00 7 4-0.2 1 12 7 28 2 19 5 1-0.5 8 25 3 66 4 55 6 8 0.5 1 78 3 81 7 47 5 30.0 5 48 7 17 6 00 7 1-0.6 2 40 8 63 4 92 2 20.5 9 74 2 60 2 62 1 50.5 2 19 8 60 8 06 8 4-0.5 8 28 5 07 3 41 2 6-0.1 7 57 7 74 0 61 1 7(3 8)V1=-55 8

19、 63 4 5.7 0 120000-49 5 49 9 6.3 2 69000048 6 73 6 7.8 1 86000056 7 39 7 4.2 0 95(3 9)从上式可以看出,V1中最大特征值对应U1中的第四列特征向量,即为所求单位四元数。本文第二种计算方法先假定尺度系数为1,在对数据进行中心化处理后,可计算得到特征分解矩阵N、特征向量矩阵U2及特征值矩阵V2。V2中最小特征值对应U2中的特征向量即为所求单位四元数。因篇幅所限,不再一一展示矩阵N、U2及V2。本文两种方法所求的单位四元数、尺度系数、平移参数如表2所示。两种方法计算的单位四元数符号相反,但其绝对

20、值一致,不影响旋转矩阵的计算;尺度系数和平移参数完全一致,说明本文两种方法是一致的。为便于与奇异值分解算法(S V D)计算结果进行对比,采用表2中计算得到的四元数,根据公式(2 9)计算本文两种方法得到的旋转矩阵。因本文两种方法得到的旋转矩阵一致,故只展示第一种方法计算得到的旋转矩阵R。表2 本文两种算法计算的坐标转换参数计算项目第一种算法第二种算法单位四元数q00.7 3 14 2 48 6 07 4 7-0.7 3 14 2 48 6 07 4 7q1-0.2 1 12 7 28 2 19 5 10.2 1 12 7 28 2 19 5 1q2-0.6 2 40 8 63 4 92 2

21、20.6 2 40 8 63 4 92 2 2q3-0.1 7 57 7 74 0 61 1 70.1 7 57 7 74 0 61 1 7尺度系数1.0 0 00 2 78 2 77 4 91.0 0 00 2 78 2 77 4 9平移参数/mm x03 1 6.6 2 893 1 6.6 2 89 y0-8 6 6.7 3 24-8 6 6.7 3 24 z0-10 5 8.2 8 55-10 5 8.2 8 55 R=0.1 5 92 3 70 6 44 2 60.5 2 08 4 08 9 78 6 4-0.8 3 86 7 05 6 48 9 70.0 0 65 6 90 3 87

22、 0 00.8 4 89 3 21 9 64 0 80.5 2 84 6 09 4 80 6 80.9 8 72 1 85 1 93 9 9-0.0 8 96 5 98 2 94 3 10.1 3 17 6 00 4 68 3 9(4 0)奇异值分解算法(S V D)计算出的旋转矩阵、尺度系数及平移参数如表3所示。表3 奇异值分解算法(S V D)计算的坐标转换参数S V D法旋转矩阵R0.1 5 92 3 70 6 44 2 60.5 2 08 4 08 9 78 6 4-0.8 3 86 7 05 6 48 9 70.0 0 65 6 90 3 87 0 00.8 4 89 3 21 9

23、64 0 80.5 2 84 6 09 4 80 6 80.9 8 72 1 85 1 93 9 9-0.0 8 96 5 98 2 94 3 10.1 3 17 6 00 4 68 3 9尺度系数1.0 0 00 2 78 2 77 4 9平移参数/mm x03 1 6.6 2 89 y0-8 6 6.7 3 24 z0-10 5 8.2 8 55 对比表2和表3可以看出,本文算法和S VD法计算的结果高度一致,说明本文算法是正确的。算例二:以文献3中算例为例,计算坐标转换参数。首先将文献3中设计坐标系转换成左手系,与测量坐标系一致;根据本文两种算法,计算单位四

24、元数、尺度系数、平移参数及旋转矩阵。因本文两种算法计算结果完全一致,故只展示第一种算法计算结果。计算结果如表4所示。82现代测绘第4 6卷表4 文献3算例本文算法计算结果本文算法单位四元数q0-0.9 9 99 9 85 7 07 9 2q10.0 0 02 4 60 8 51 6 2q2-0.0 0 01 4 60 5 16 7 2q30.0 0 16 6 62 9 07 8 8旋转矩阵R0.9 9 99 9 44 0 42 8 80.0 0 33 3 25 0 49 3 10.0 0 02 9 29 2 30 2 6-0.0 0 33 3 26 4 86 9 60.9 9 99 9

25、 43 2 58 3 40.0 0 04 9 16 8 28 9 2-0.0 0 02 9 12 8 28 2 8-0.0 0 04 9 26 5 63 5 0 0.9 9 99 9 98 3 62 2 2尺度系数1.0 0 20 2 53 7 34 4 5平移参数/mm x0-1 0 91 1 0.1 4 71 y0-9 64 9 6.6 8 20 z0-1 0 13 3 4.6 4 87 本文算法与文献3和文献4计算的坐标较差数据如表5所示,可发现本文算法与文献4的坐标较差数据完全一致。表5 坐标较差数据(单位/mm)点号文献3坐标较差文献4坐标较差本文算法坐标较差 X Y Z X Y Z

26、 X Y Z1-1 9.51 3.4-3.0-1 7.61 3.0-3.1-1 7.61 3.0-3.151.43.3-4.43.02.2-4.43.02.2-4.46-7.11 1.23.3-4.81 1.33.2-4.81 1.33.27-7.01.35.1-5.91.45.0-5.91.45.08-0.6-4.5-1.91.0-5.8-1.81.0-5.8-1.890.3-6.50.62.8-5.90.52.8-5.90.51 01.9-0.81.32.6-0.31.22.6-0.31.21 11 1.6-9.29.61 3.0-1 0.99.71 3.0-1 0.99.71 27.6-

27、2 3.60.91 0.3-2 2.70.91 0.3-2 2.70.91 38.8-2.3-0.59.0-1.5-0.59.0-1.5-0.51 42.9-0.73.24.3-1.83.34.3-1.83.31 51.7-6.7-5.34.1-5.9-5.44.1-5.9-5.41 64.4-2.0-7.74.9-1.2-7.74.9-1.2-7.71 7-5.78.86.8-4.38.36.9-4.38.36.91 8-5.18.6-3.6-3.29.4-3.6-3.29.4-3.61 9-3.0-2.3-9.9-2.3-1.5-9.8-2.3-1.5-9.82 3-1 8.21 1.25

28、.5-1 7.01 1.85.6-1 7.01 1.85.6 根据表5坐标较差数据,采用单位权中误差计算公式0=VTP V3n-7(式中V为残差,P为权阵,n为点个数),计算得到文献3的单位权中误差为8.2 5mm,本文算法与文献4的单位权中误差为8.1 6mm,说明本文算法精度与文献4相当,略优于文献3。4 结语本文基于单位四元数矩阵实表示的方式推导并证明了利用单位四元数进行空间三维坐标转换的两种算法,两种算法论证过程清晰,适用性强,不用进行迭代,方便编程,适合大角度的空间坐标转换。参考文献1 潘国荣,周跃寅.两种坐标系转换计算方法的比较

29、J.大地测量与地球动力学,2 0 1 1,3 1(3):5 8-6 2.2 张卡,张道俊,盛业华,等.三维坐标转换的两种方法及其比较研究J.数学的实践与认识,2 0 0 8,3 8(2 3):1 2 1-1 2 8.3 陈义,沈云中,刘大杰.适用于大旋转角的三维基准转换的一种简便模型J.武汉大学学报(信息科学版),2 0 0 4,2 9(1 2):1 1 0 1-1 1 0 5.4 姚宜斌,黄承猛,李程春,等.一种适用于大角度的三维坐标转换参数求解算法J.武汉大学学报(信息科学版),2 0 1 2,3 7(3):2 5 3-2 5 6.5 姚吉利,韩保民,杨元喜.罗德里格矩阵在三维坐标转换严密

30、解算中的应用J.武汉大学学报(信息科学版),2 0 0 6,3 1(1 2):1 0 9 4-1 0 9 6,1 1 1 9.92第6期秦锋等:基于单位四元数矩阵实表示的坐标转换算法研究6 陶武勇,鲁铁定,吴飞,等.罗德里格矩阵坐标转换模型的结构总体最小二乘估计J.工程勘察,2 0 1 5,4 3(4):5 6-5 9,6 5.7 纪超,丁克良,张春禄,等.基于罗德里格矩阵的整体最小二乘三维坐标转换模型J.北京测绘,2 0 1 6(4):1-5.8 韩梦泽,李克昭.基于罗德里格矩阵的空间坐标转换J.测绘工程,2 0 1 6,2 5(4):2 5-2 7.9 胡亚江,杨晓梅,沙月进.大欧拉角的

31、空间直角坐标转换方法探讨J.现代测绘,2 0 0 6(6):1 0-1 2.1 0 张捍卫,李明艳,李克昭.四元数理论及其在坐标转换中的应用J.大地测量与地球动力学,2 0 1 5,3 5(5):8 0 7-8 1 0.1 1 王可伟,岳东杰,王性猛.基于单位四元数的三维坐标转换新方法J.测绘与空间地理信息,2 0 1 4,3 7(1 1):2 1 6-2 1 8.1 2 李志伟,李克昭,赵磊杰,等.基于单位四元数的任意旋转角度的三维坐标转换J.大地测量与地球动力学,2 0 1 7,3 7(1):8 1-8 5.1 3 吕继兵,朱建军,伍雅晴.基于单位四元数的三维空间坐标转换直接解法

32、 J.资源信息与工程,2 0 1 7,3 2(2):9 4-9 6,9 8.1 4 赵双明,郭秋燕,罗研,等.基于四元数的三维空间相似变换结算J.武汉大学学报(信息科学版),2 0 0 9,3 4(1 0):1 2 1 4-1 2 1 7.1 5 周拥军,寇新建.正交P r o c r u s t e s分析及其在旋转矩阵估计中的应用J.武汉大学学报(信息科学版),2 0 0 9,3 4(8):9 9 6-9 9 9.1 6 吴继忠,王安怡.空间直角坐标转换的统一模型J.大地测量与地球动力学,2 0 1 5,3 5(6):1 0 4 6-1 0 4 8,1 0 5

33、2.1 7 潘国荣,汪大超,周跃寅.两种大转角空间坐标转换模型研究J.山东科技大学学报(自然科学版),2 0 1 5,3 4(1):6 1-6 7.1 8 张贤达.矩阵分析与应用M.北京:清华大学出版社,2 0 1 3.1 9 连德忠.四元数向量和矩阵的实表示J.厦门大学学报(自然科学版),2 0 0 3,4 2(6):7 0 4-7 0 8.C o o r d i n a t eT r a n s f o r m a t i o nA l g o r i t h mB a s e do nM a t r i xR e a lR e p r e s e n t a t i o no fU n

34、i tQ u a t e r n i o nQ I NF e n g1,L US o n g1,Z H A N GZ h e n-h u21.C NN CS a n m e nN u c l e a rP o w e rP l a n t,T a i z h o uZ h e j i a n g3 1 7 1 1 2,C h i n a;2.S h a n g h a iR e s e a r c hI n s t i t u t eo fS u r v e ya n dD e s i g n(G r o u p)C o.L t d.,S h a n g h a i 2 0 0 0 9 3,C

35、 h i n aA b s t r a c t T h eq u a t e r n i o nm e t h o dc a nb eu s e df o r l a r g e-a n g l es p a t i a l t h r e e-d i m e n s i o n a l c o o r d i n a t ec o n v e r s i o n,b u t i t s t h e o r y i sc o m p l i c a t e d,a n dt h ec a l c u l a t i o na n dp r o o fa r ei n c o n v e n i

36、 e n t.W i t ht h eh e l po fa m a t r i xr e a lr e p r e s e n t a t i o no fq u a t e r n i o n,o p e r a t i o n so nt h eq u a t e r n i o nf i e l dc a nb e t r a n s f o r m e d i n t oo p e r a t i o n so nv e c t o r sa n dm a t r i c e so nt h er e a l n u m b e r f i e l d.A i m i n ga tt

37、 h ep r o b l e m o ft h r e e-d i m e n s i o n a lc o o r d i n a t ec o n v e r s i o ni nl a r g e-a n g l es p a c e,t h eq u a t e r n i o no p t i m i z a t i o nf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e d,a n dt h e nt h es o l u t i o no f t h eq u a t e r n i o np r o b l e mi sc o n v e r t e

38、 d i n t ot h es o l u t i o no f t h em a t r i xp r o b l e mb a s e do nt h er e a l r e p r e s e n t a t i o no ft h eu n i tq u a t e r n i o n m a t r i x,a n dt h ed e t a i l e dp r o o fo ft h et w oa l g o r i t h m so fs p a t i a lt h r e e-d i m e n s i o n a lc o o r d i n a t ec o n

39、v e r s i o nu s i n gt h eu n i tq u a t e r n i o n i sg i v e n.T h ea n a l y s i so f t h et w oa l g o r i t h m ss h o w st h a t t h er e s u l t so f t h et w oa l g o r i t h m sa r ec o n s i s t e n tw i t ht h es i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o na l g o r i t h m,w h i c h

40、v e r i f i e st h ec o r r e c t n e s sa n de f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m s,a n dt h et w oa l g o r i t h m so n l yn e e dt od e c o m p o s et h ee i g e n v a l u eo ft h em a t r i xw i t h o u t l i n e a r i z a t i o n,w h i c hi ss i m p l e t oc a l c u l a t ea n de a s yt op r o g r a m,a n d i ss u i t a b l e f o r s o l v i n gt h ep r o b l e mo f l a r g e-a n g l ec o o r d i n a t ec o n v e r s i o n.K e yw o r d s u n i tq u a t e r n i o n;m a t r i x;r e a l r e p r e s e n t a t i o n;c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n03现代测绘第4 6卷

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