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竞赛中的数学归纳法
（一）数学归纳法的基本形式
（1）第一数学归纳法
设是一个与正整数有关的命题，如果:
①当（）时，成立；
②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整
数时，成立．
例1 （07江西理22）设正整数数列满足：，且对于任何，有
．
（1）求，； （2）求数列的通项．
解：（1）据条件得 ① 当时，
由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．
（2）由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明:
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，，则时由①得,
,因为时，
，所以．，所以．
又，所以,故，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值又两个，即和。

（2）第二数学归纳法
设是一个与正整数有关的命题，如果
① 当（）时，成立；
② 假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正
整数时，成立．
例2 已知对任意的且，求证：.
证：（1）当时，因为且，所以，，命题成立；
（2）假设时命题成立，即,当时，因为
，
所以，且，于是，因为，
∴,从而，解得，（舍），即时
命题成立.
由（1）、（2）知，对一切自然数都有成立.证毕.
这两种数学归纳法，是运用次数较多的方法，大家也比较熟悉，在这里就不赘述了。下面介绍一下数学归纳法的其它形式。

（二）数学归纳法的其他形式
（1）跳跃数学归纳法
① 当时，成立，
② 假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数
时，成立．
例3 证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形.
证：（1）对于可按如图进行分割,
假设当成立,当时，只要将其中一个正方形分割为4个正方形，即可得到个正方形.由（1）（2）对一切的自然数都成立.

例4求证用面值3分和5分的邮票可支付任何n(n≥８)分邮资．
证明显然当n=8,n=9,n=10时，可用3分和5分邮票构成上面邮资（n=8时，用一个3分邮票和一个5分邮票，n=9时，用3个3分邮票，n=10时，用2个5分邮票）．
下面假定k=n时命题正确，这时对于k=n+3，命题也正确，因为n分可用3分与5分邮票构成，再加上一个3分邮票，就使分邮资可用3分与5分邮票构成．由跳跃归纳法知命题对一切n≥８都成立．
下面我们介绍双归纳法，所谓双归纳法是所设命题涉及两个独立的自然数对(m,n),而不是一个单独的自然数n．

（2）反向数学归纳法
设是一个与正整数有关的命题，如果
①对无限多个正整数成立；
② 假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整
数时，成立．
例4 设都是正数，证明：
证：（1）先证明有无限多个正整数，使命题成立.当（对任意的时），不等式成立，
对用数学归纳法.
① 当时，即，因为，所以即不等式成立.
② 假设时成立，即；
则当时

因此时，不等式成立,故对于（对任意的时）命题成立.
（2）假定时成立，即，于是当时，
有 对此式两边同时次方得,即成立，此为时不等式成立.
由（1）、（2）知对一切自然数都有.
(3) 螺旋数学归纳法
设、是两串与自然数有关的命题，如果
① 命题成立；
② 对任何自然数，命题成立，则命题成立；若命题成立，则命题成立.
那么根据①②对一切自然数，命题与都成立．

最后，我们给出跷跷板归纳法．
有两个与自然数有关的命题An与Bn，若
(1)A1成立；
(2)假设Ak成立，就推出Bk成立，假设Bk成立就推出Ak+1成立．
则对一切自然数n, An与Bn都成立．
A1 B1

A2 B2

Ak Bk

Ak+1

这里我们只给出一个例子说明上述归纳法．
例　已知

求证

证明　令 ，

(1)当n=1时，

所以A1成立．
(2)

所以A2成立．
设Ak成立，则

即Ｂk成立．
若Ｂk成立，则

即Ak+1成立．由跷跷板归纳法知，一切An和Bn都成立．

例5 已知数列定义如下：,求证：数列的前项和为
.
证：将命题记作，将命题 记作.
（1）当时，有即成立.
（2）证假设成立，即有
于是故成立.
（3）再证假设成立，即有
于是
即成立.
综上，由螺旋归纳法原理，命题、对一切均成立.

（4）二重数学归纳法（两个变量）
设命题是与两个独立的自然数有关的命题，如果
①对一切自然数成立，对一切自然数成立；
② 假设和成立时，可推证命题成立．则对所有自然数，命题都成立.
例6 设满足，其中是正整数，，且
,求证：.
证：（1）因为对于一切正整数与（），成立.即此命题为真.
（2）假设成立，即成立.
则,则命题成立，由二重数学归纳法知，对任意自然数都有

（三）数学归纳法在高考中应用
例1 （05江西卷）已知数
（1）证明 （2）求数列的通项公式an.
解：（1）用数学归纳法证明：
1°当n=1时，∴，命题正确.
2°假设n=k时有则

而又∴时命题正确.
由1°,2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，∴；
2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1
时成立，所以对一切.
（2）下面来求数列的通项：所以
又bn=－1，所以
.
例2 （07湖北卷）已知为正整数，
（I）用数学归纳法证明：当时，；
（II）对于，已知，求证，求证，；
（III）求出满足等式的所有正整数．
解：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得
，所以．即当时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．
（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，
于是，．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，
，
．即．即当时，不存在满足该等式的正整数．故只需要讨论的情形：
当时，，等式不成立；当时，，等式成立；
当时，，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的只有．
解法二：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当，且时，，．　　①
（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；
（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，因为，所以．又因为，所以．于是在不等式两边同乘以得
，所以．即当时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（Ⅱ）当，时，，，而由（Ⅰ），
，．
（Ⅲ）假设存在正整数使等式成立，
即有．　　②
又由（Ⅱ）可得
，与②式矛盾．故当时，不存在满足该等式的正整数．
下同解法1．
（四）数学归纳法在组合中应用
例1 有64块边长为1的正方体木块，每块有一面为红色，其余5面为白色，把这64块立方体放在一个的国际象棋盘上（棋盘每格是边长为1的正方形，每格上恰放一块），然后将木块“转动”，转动的规则是将同一行（或同一列）的8个木块同时朝一个方向一起转动.问能否经过有限次转动，把所有木块的红色面都转到上面？
解：将问题一般化，考虑块木块放入的棋盘的问题，答案是肯定的.现用数学归纳法加以证明如下：
时，结论显然成立.
设时，结论成立.那么时，由归纳假设，左上角位置上可经过有限次转动，使每个木块的红色面朝上.再将左方第一列的格木块逆时针（向外）旋转，使该列前个木块的红色面转到棋盘左侧.这时由归纳假设可经过有限次转动将右上角位置上每个小块的红色面朝上，且列的转动不影响第一列的木块，行的转动不改变第一列前行红色面朝左的状态.完成上述转动后，再将第一列顺时针转动，使前行上的红色表面朝上.再将上方第一行朝后转动，使第一行的红色面朝后方，同上可将下方棋盘中所有方块的红色面转到上面，而不改变第一行红色面朝后状态.再将第一行转回使第一行的红色面朝上，于是所有棋盘中各小块的红色面都朝上，故时结论成立.
因此，对任何正整数结论成立，特别时结论成立.
例2 设是2002个元素组成的集合，为整数，满足，证明：可将的所有子集染成黑色或白色，使下列条件成立：
(1) 任何两个白色子集的并集是白色； (2) 任何两个黑色子集的并集是黑色；
(3) 恰好存在个白色子集.
证：考虑中有个元素的一般情形，这时为满足的整数，并且
设，对用数学归纳法证明.
当时，若，则将及都染成黑色，符合题目要求；若，则将染成黑色，染成白色，符合题目要求；若，则将及都染成白色，符合题目要求.设对元集合，及整数，存在满足题目条件（1）（2）（3）的染色方法，考虑元集.
(1) 若，则由归纳假设，存在一种染色方法将的所有子集染成黑色或白色使得满足题目条件（1）（2）（3），这时再将中所含有的子集全染成黑色，于是仍满足题目条件.
(2) 若，不妨设则由归纳假设知存在的子集的一种染色方法使满足题目条件（1）（2）且恰有个子集被染成白色，再将中包含的所有子集（共个）染成白色，于是题目条件（1）（2）仍然满足，且一共有个子集被染成白色，即条件（3）也满足，于是对完成了归纳证明，特别取便知题目结论成立.
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