必修五3.2.一元二次不等式及其解法(教案).doc

(完整word)必修五3.2.一元二次不等式及其解法(教案)

3.2 一元二次不等式及其解法
教案 A

第1课时

教学目标
一、知识与技能
1。 正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。
2. 熟练掌握一元二次不等式的解法。
二、过程与方法
1。 通过看图象找解集，培养学生从“从形到数"的转化能力,“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。
2.通过对问题的思考、探究、交流,培养学生良好的数学交流能力，增强其数形结合的思维意识.
3.在教学中渗透由具体到抽象,由特殊到一般、类比猜想、等价转化的数学思想方法。
三、情感、态度与价值观
1。 通过具体情境,使学生体验数学与实践的紧密联系，激发学生学习研究一元二次不等式的积极性和对数学的情感，使学生充分体验获取知识的成功感受.
2. 在探究、讨论、交流过程中培养学生的合作意识和团队精神，使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯。
教学重点和难点
教学重点：一元二次不等式的解法。
教学难点:一元二次方程,一元二次不等式与二次函数的关系.
教学关键：使学生明白三个二次之间的关系,规范学生解题的步骤。
教学突破方法:采用表格的形式,把“三个二次”关系表制成幻灯片，答案逐个播放，把节省大量的板书时间转化成学生的思考时间；在引导学生结合图象写解集时用白板笔做标记帮助学生分析，突破难点.例题讲解、方法总结环节中，白板演示例题、黑板板书步骤，黑板、白板交替使用既节省了板书例题时间又起到了规范解题步骤的作用,也符合学生接受新事物时的心理.教学小结环节展示整节课的教学导图.
教法与学法导航
教学方法:选择观察、探究、发现、类比、总结的教学模式.重点以引导学生为主,让他们能积极、主动的进行探索，获取知识.
学习方法：结合本节内容和学生实际,适当引入研究性学习，采用讲练结合方法,通过阅读发现问题，分析探索,合作交流最终形成技能.使学生在观察、思考、交流中体验数学学习的乐趣.
教学准备
教师准备：把书上的引例、发现“三个一次”联系的过程及教材第77页“三个二
次"关系、第78页程序框图制成课件。
学生准备：完成预习作业（用不等式表是引例中的不等关系），复习一元二次函数的图象和一元二次方程的解。
教学过程
一、创设情境，导入新课
引例： 某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司（网络服务公司)可供选择，公司A每小时收费1。5元（不足1小时按1小时计算)；公司B的收费原则是:在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1。7元，第2小时内收费1。6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算).
分析：一般说来，一次上网时间不会超过17小时，所以不妨假设一次上网时间总小于17小时。 此时比较一次上网在多长时间内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需费用。
假设一次上网x小时,则公司A收取的费用为1。5x（元）,
公司B收取的费用为.
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少,则
。
整理得
这是一个关于x的一元二次不等式，只要求出满足这个不等式的解集，就可以得到问题的答案.
按照我们的命名习惯这个不等式应该叫什么不等式？依据是什么?
学生得出一元二次不等式定义.求出不等式中x的范围，问题就迎刃而解了，一元二次不等式如何解呢？这节课我们将学习如何解一元二次不等式.
板书课题：一元二次不等式及其解法.
y
二、主题探究，合作交流
以前解过一次不等式,
2.5
x
（1)2x-5〉0的解是什么?
o
（2）根据图象回答。
—5
不等式2x—7>0的解集为：{x｜ x>2。5｝；
不等式2x—7<0的解集为:｛x｜ x<2。5｝;
不等式2x-7≥0的解集为：{x| x≥2.5}；
不等式2x-7≤0的解集为：{x｜ x≤2.5}。
（3）思考：一元一次不等式 2x—5〉0、一元一次方程 2x-5=0、
一元一次函数 y=2x－5这“三个一次”之间有什么联系？
(4）结论推广：对于一元一次方程 ax+b=0、一元一次函数 y=ax+b、一元一次不等式ax+b〉0，“三个一次”的关系成立吗?
观察要解得不等式x2—5x≤0,
左边代数式是哪个函数的解析式?
左边代数式的值是0是不等式变成了什么形式？
你能借助由“三个一次"的联系解一次不等式的方法尝试找到“三个二次”的联系,求解一元二次不等式吗？
请同学们自己亲自动手试一试.
三、拓展创新，应用提高
1. 探讨求不等式x2—5x≤0的解集。
解：令 f（x）=x2-5x，
方程x2—5x=0的解为x1=0,x2=5.
即函数f(x)=x2-5x与x轴的交点坐标为(0，0）、（5,0），由于二次项系数大于0,所以二次函数的图象抛物线开口向上.
由图象易知当0£x£5时,函数值f（x）£0，
即不等式x2—5x≤0的解集为{x｜0£x£5}.
点评：显然这里不等式的求解用了一元二次函数、一元二次方程，体现了用函数和方程来求解一元二次不等式解集的思想和方法。
练习:求解 x2—5x+6〉0的解集.
解：不等式的解集为。
2. 讨论一般情况下一元二次不等式的解集.
任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式：

一般地，怎样确定一元二次不等式>0与〈0的解集呢?
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
（1）抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况.
（2）抛物线的开口方向,由a的符号确定.
总结：(l)抛物线 （a〉 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ〉 0,Δ=0,Δ<0)来确定。因此，要分三种情况讨论.
（2）a<0可以转化为a>0。
分△〉0，△=0，△<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集。
=b2-4ac

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

Æ
Æ
教师多媒体演示表格，白板笔做标记。学生观察、分析、交流、探究.
例1 求不等式 4x2-4x+1>0 的解集.
解:因为。
所以，原不等式的解集是。
例2 求不等式－x2+2x—3>0的解集。
教学安排：学生自主完成，教师巡视指导,纠正错误，最后教师有针对性的演板,规范学生解题格式.
解：先把二次项系数化为正数 x2—2x+3〈0。
因为无实数解，所以原不等式的解集为空集。
学生总结解不等式的步骤.
随堂练习:
（1）解不等式x2-7x +12≥0； 答:
（2)解不等式 —2x2+x —5<0； 答：R
(3）解不等式 4x2-4x +1〈0。 答：Æ
四、小结
1. 从实际问题中建立一元二次不等式,解一元二次不等式；
2. 应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；
3. 解一元二次不等式的步骤:
（1） 将二次项系数化为“+”:A=〉0(或<0）（a〉0）
（2）计算判别式△，分析不等式的解的情况：
①当△>0时，求根〈，
②当△=0时，求根＝＝，
③当△〈0时，方程无解，
（3）写出解集。
五、课堂作业
教材第80页习题3。2 A组 第1、2题；第81页 B组 第1题。

第2课时

教学目标
一、知识与技能
巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；会处理简单的实际问题。
二、过程与方法
培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力.
三、情感、态度与价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神,同时体会从不同侧面观察同一事物思想.
教学重点和难点
教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法。
教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系，含参数一元二次不等式的解法.
教学关键：掌握一元二次不等式的解题步骤，领会分类讨论的思想。
教学突破方法：通过一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，学习含有参数的一元二次不等式的解法.通过例题的讲解和学生的练习,不断地发现、深入、探究,步步为营、层层铺垫既有利于一元二次不等式解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系等知识的巩固和延伸,更有利于学生的自主学习。
教法与学法导航
教学方法：采用探究与合作相结合的教学方式，进行启发式教学.
学习方法:以学生自主探究为主，充分体现学生的主体作用,新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.
教学准备
教师准备：多媒体及课件。
学生准备：直尺、计算器.
教学过程
一、创设情境，导入新课
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
2．一元二次不等式的解法步骤.
二、主题探究，合作交流
例1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车车速 x km/h有如下的关系：
.
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少是多少（精确到0。01km/h）？
解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h，根据题意,我们得到

移项整理得.
显然△〉0,方程有两个实数根，即.
然后画出二次函数y=x2+9x－7 110的图象，由图象可知不等式的解集为
。
在这个实际问题中，x〉0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79。94km/h.
例2 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆)与创造的价值y(元）之间有如下的关系：
。
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
.
移项整理,得
。
因为D=100〉0，所以方程有两个实数根
。
由二次函数y=x2－110x+3 000的图象，得不等式的解为
50<x<60.
因为x只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时,这家工厂能够获得6 000元以上的收益.
三、拓展创新，应用提高
教材第80页练习第1、2题。
补充例题：
1. 已知，求；
解：当时，;
当时，；
当时，．
2. 已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集。
解：由解集，得一元二次不等式 〉0.
即 6x2-5x+1〉0 与已知条件对应可变为 —6x2+5x-1〈0，
可取a=—6, b=5,c=—1, 则所求不等式为 ，
即 。
解得 。
四、小结
1。 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法.
2。 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系.
3。 能用一元二次不等式解决一些综合性问题或实际问题.
五、课堂作业
教材第80页习题3。2 A组 第3、5题.

教案 B

第1课时

教学目标
1．深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.
2．通过含参数不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论.由于字母多又要讨论,所以往往成为学生的薄弱环节。要通过借助数轴的直观效果，熟练掌握，并通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观。
3．通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力.
教学重点
从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数列结合的思想。熟练地掌握一元二次不等式的解法。
教学难点
深刻理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系。
课时安排
2课时。
教学过程
一、导入新课，问题情境
让学生阅读课本的上网计时收费问题.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，收费标准不一样.让学生计算并比较两种不同的收费方式,由此抽象出不等关系，引出一元二次不等式的概念，由此引入新课.
提出问题：
①阅读课本回忆并回答怎样从实际问题抽象出不等式?
②什么是一元二次不等式？
③可以回忆一元一次方程、一元一次不等式及一次函数三者之间有什么联系？
④类比“三个一次”之间的关系，怎样探究一元二次不等式的解法？
可利用多媒体课件，让学生填写相关内容:

一次函数的图象

一元一次方程的解集

一元一次不等式的解集

一元一次不等式的解集

从以上的回顾我们发现，一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系，利用这种联系(集中反映在图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集.
类比以上，我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系，并从中找出解决一元二次不等式的求解方法。
在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数当为何值时，？
二次函数的对应表与图象如下：

—1
0
1
2
3
4
5
6

6
0
—4
—6
-6
—4
0
6
图省略
二、学生活动
如图，观察函数y=x2—5x的图象，可以看出，一元二次不等式x2-5x〈0的解集就是二次函数y=x2-5x的图象(抛物线)位于轴下方的点所对应的值的集合．一元二次不等式x2—5x<0的解集就是二次函数y=x2-5x的图象（抛物线)位于轴上方的点所对应的值的集合．
因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集．
第一步：解方程，得或；
第二步：画出抛物线的草图；
第三步：根据抛物线的图象,可知的解集为．
三、知识探究
探究一：a＞0时(或＜0)的解法。
思考1：方程x2－x－6＝0的根是什么？对于函数y＝x2－x－6，x取何值时，函数值大于0？ x取何值时，函数值小于0？
思考2：一元二次不等式x2－x－6＞0的解集是什么？ 一元二次不等式x2－x－6＜0的解集是什么?
｛x｜x＜－2或x＞3};{x｜－2＜x＜3｝。
思考3:一般地，当a＞0时，通过什么手段可以确定一元二次不等式 与的解集？
思考4：二次函数的图象与x轴的相对位置关系有哪几种可能?其判定原理是什么？
思考5：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，将教材第77页表格填充完整.
探究二：当a＜0时，（或＜0）的解法。
思考1：二次函数的图象有什么特点？它与x轴的相对位置关系有哪几种可能？
思考2：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系,下表中空格内的相应内容分别是什么？

二次函数

（）的图象
x
y
o
x1
x2

x
y
o
x1=x2

x
y
o

一元二次方程
有两相异实根

有两相等实根

无实根

Æ
Æ

R
思考3：不等式(x＋2)(x－3）＜0和（x－2)（x＋3)＞0的解集分别是什么？
思考4：一般地，若a＜b，则不等式（x－a)(x－b）＜0和(x－a)（x－b)＞0的解集分别是什么？
四、数学运用
例1 解下列不等式：
(1） ; （2） ；　
（3） ;　 （4） ．
解:（1）方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是．
（2)不等式两边同乘以，原不等式可化为．
方程的解为．
根据的图象，可得原不等式的解集是．
(3）方程有两个相同的解．
根据的图象，可得原不等式的解集为Æ．
(4）因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为Æ．
归纳解一元二次不等式的步骤：
（1）二次项系数化为正数；　　　　　　　　　　
（2)解对应的一元二次方程；
(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
（4）写出不等式的解集．
思考：（1）求解一元二次不等式的过程，怎样用流程图来描述?
（2)求解一元二次不等式的过程，怎样用流程图来描述？
（3）不等式和的解法？
说明：对于例1（１),还可将其转化为一次不等式（组）来求解，这种求法不仅体现了化归思想，而且更有一般性．
练习：课本第80页 练习第1、2题．
例2 (补充）（1）解不等式（若改为呢？）；
（2)解不等式；
（3）解不等式（若改为：如何？）．
解：（1)原不等式
(）。
（2）,即.
（3)分析：根据实数运算的符号法则,可以化为不等式组求解。
原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：
① ②
解①得；解②得
所以原不等式的解集是或．
说明:本题是将一个比较复杂的不等式转化为不等式组进行求解，在解的过程中应注意何时取交集，何时取并集．在这里，集合知识得到了进一步应用．
五、回顾小结
1．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法。
2．掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用.
3．掌握将分式不等式转化为一元二次不等式求解．
六、课外作业
教材第80页习题3.2 A组第1、2、4题； B组第1题。

第2课时

教学目标
1．深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系,对给定的一元二次不等式，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力。
2．通过含参数不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论.由于字母多又要讨论,所以往往成为学生的薄弱环节。要通过借助数轴的直观效果，熟练掌握，并通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观。
3．通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力。
教学重点
从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数列结合的思想.熟练地掌握一元二次不等式的解法.
教学难点
深刻理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系。
教学过程
一、问题情境
1.复习
一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间有什么关系？
2．归纳解一元二次不等式的步骤：
(1）二次项系数化为正数；
（2）解对应的一元二次方程；
（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图;
（4)写出不等式的解集．
二、数学运用
1．实际应用：
例1 在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：．问:甲、乙两车有无超速现象？
分析:根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．
解：由题意知，对于甲车有，即，解得或（不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30km/h．但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h．
对于乙车,有，即，解得或（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速．
例2 已知关于的不等式的解集是，求实数之值．
解：不等式的解集是,
是的两个实数根，
由韦达定理知:．
2. 综合提高
例3 已知不等式的解集为，求不等式的解集．
解：由题意 即
代入不等式，得: ．
即,所求不等式的解集为．
例4 已知一元二次不等式的解集为R，求的取值范围．
解：为二次函数，.
二次函数的值恒大于零,即的解集为．
即，解得：
的取值范围为(适合）．
归纳：一元二次不等式恒成立情况小结:
（）恒成立．
（）恒成立
例5 若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围．
解：已知不等式可化为．
设，这是一个关于的一次函数（或常数函数),要使在时恒成立，其等价条件是：

即　解得．
所以，实数的取值范围是．
练习
1 已知：，求A、B
的解集
2．若方程只有正根,则的取值范围是（ )．
A．或 B．
C． D．
3．不等式组（）的解集是( ）.
A． B．
C．当时，；当时，
D．当时,;当时，
参考答案：
1。 解：由题意 ，当a≥1时，
当a<1时,

2．B
3．C
三、回顾小结
1．有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型；
2．利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式．
四、课外作业
1。 教材第80、81页 A组第3、5、6题；B组第4题.
2。 教材第103页复习参考题 A组第2、3题；第104页B组第3题.

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