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(完整word)导数中证明不等式技巧+分类讨论
导数中的不等式证明
导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题,由于不等式证明的灵活性,多样性，该考点也备受命题者的青睐。本专题通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段

命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
基础自测 已知函数．求的导函数；

命题角度1 构造函数
【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试)已知函数，若曲线与曲线的一个公共点是,且在点处的切线互相垂直．
（1）求的值;
（2）证明：当时，．
【解析】（1）;
（2）
命题角度2 放缩法
【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数，在处的切线方程为.
(1）求；
（2)若，证明：.
【解析】(1），；
（2）由（1）可知，，
由，可得
令,则,
思考：错哪？
【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标。

【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数。
(1)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时,证明：
【解析】(1）;
（2）设数列的前项的和分别为，则
由于,解得；
同理，，
所以只需证明（文,右边选证)

命题角度3 切线法
【典例4】(2018届安徽省太和中学三模）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程;
(2）求证：当时，.

【解析】（1），，
由题设得，
所以曲线在处的切线方程为，即；
【审题点津】1、切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题。2、大小关系，往往与曲线的凹凸性相关。
命题角度4 二元或多元不等式的解证思路
【典例5】(2018年湖北省高三4月调考）设，其中，则的最小值为

【解析】由于表示点与点之间的距离，而点的轨迹是曲线，点的轨迹是曲线，
如图所示，又点到直线的距离为，
自然想到转化为动点到抛物线准线的距离，
结合抛物线的概念可得
,所以，当且仅当共线,
又以为圆心作半径为的圆与相切,切点是，此时的公切线与半径垂直，,即，所以,故。正确答案为C。

【典例6】（2018年安庆市二模）已知函数，设
求证：。

【典例7。1】浙江2018，先看一个我们做过的题目
22。 已知函数f（x)=−lnx．
（Ⅰ）若f（x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f（x1）+f(x2）〉8−8ln2;
(Ⅰ)函数f（x）的导函数，
由得,因为，所以．
由基本不等式得．因为，所以．
由题意得．
设，则，所以
x
（0，16）
16
(16，+∞）

—
0
+

2-4ln2

所以g（x）在［256，+∞）上单调递增，
故,即．

【典例7】已知函数有两个极值点 (为自然对数的底数）。
（1)求实数的取值范围;
(2）求证：（本题是浙江高考的升级版，建议关注)

；
【答案速得】函数有两个极值点实质上就是其导数有两个零点，亦即函数与直线有两个交点，如图所示，显然实数的取值范围是.(注:考试不能这样写，要扣分的）
(2）由(1）知，为的两个实数根,，在上单调递减。
下面先证,只需证。
由于，得,
所以.
设，则，
所以在上单调递减，
所以，，所以。
由于函数在上也单调递减,所以。
要证,只需证，
即证。 设函数，则。
设，则，
所以在上单调递增，,即。
所以在上单调递增,.
故当时，，则，
所以，亦即。
【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，拐点的偏移，
依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决。只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的,如果“脑中有‘形’”，如图所示,并不难得出。
拐点偏移与极值偏移类似
解题步骤1:借助原图分析（或证明）的大致范围和大小关系;2：将待证不等式转化到某个单调区间上，利用原函数的单调性+题干条件（或隐含条件）将双变量变单变量;3：构造新函数解决相关最值问题即可。

命题角度5 函数切线的应用
【典例8】（安徽省太和中学2018届5月质检）已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求证：时，；
(2）求证：．
【解析】(1）函数的定义域为,,
又，，所以该切线方程为．

设，
（2）由（1)知：当时，。
令，则,
所以
【方法归纳】本题,其，，说明函数为凹函数，因此有.此类问题实质上,第(1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点.
反思:将结论作差式,即证
这个大小关系是否成立不说，就是求导都显得麻烦，主要原因是题目将放缩的结论进行了再放缩，将结构变得难以直接寻找。利用第一问，就成了最佳选择

【典例9】(成都市2018届高中毕业班二诊文科)已知函数。
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围;
(2）当时,证明：.
【解析】（1)由，得恒成立，

的取值范围是；
（2）有（1）知时，有，（这里也是切线）
所以。
Error! Reference source not found.要证，可证，只需证，
易证（证明略这里也是切线），所以；这里也是切线
Error! Reference source not found.要证，可证,这里还是切线
易证（证明略）,由于，所以，
所以,
综上所述，当时，证明：.
【方法归纳】，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩,此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法.
【能力提升】结合函数的凸凹性应用切线放缩法证明不等式,必须做到“脑中有形”，脑海中有示意图，我们的思路不就清晰了吗?

切线综合
【典例10】(2018天津)已知函数，,其中．
(1）求函数的单调区间；
(2）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；
高难预警
（3）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．

【解析】（1）由已知,，有．
令，解得．
由，可知当变化时，，的变化情况如下表：

0

0
+

极小值

所以函数的单调递减区间，单调递增区间为．
（2）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为．由，可得曲线在点处的切线斜率为．因为这两条切线平行，故有,即．
两边取以a为底的对数，得，所以．
（3)证明:曲线在点处的切线：．
曲线在点处的切线：．
要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线,只需证明当时,存在，，使得l1和l2重合．
即只需证明当时，方程组有解,
由①得，代入②，得． ③
因此,只需证明当时，关于的方程③有实数解．
设函数，
即要证明当时，函数存在零点．
，可知时，;时,单调递减，又，，
故存在唯一的,且，使得，即．
由此可得在上单调递增，在上单调递减．
在处取得极大值．
因为，故，
所以
．
下面证明存在实数，使得．
由(1)可得，
当时，
有
,
所以存在实数,使得
因此，当时，存在,使得．
所以，当时，存在直线,使是曲线的切线，也是曲线的切线．

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