导数中证明不等式技巧+分类讨论.doc

(完整word)导数中证明不等式技巧+分类讨论导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题,由于不等式证明的灵活性,多样性，该考点也备受命题者的青睐。本专题通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度1 构造函数命题角度2 放缩法命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路命题角度5 函数凹凸性的应用基础自测 已知函数求的导函数；命题角度1 构造函数【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试)已知函数，若曲线与曲线的一个公共点是,且在点处的切线互相垂直（1）求的值;（2）证明：当时，【解析】（1）;（2）命题角度2 放缩法【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数，在处的切线方程为.(1）求；（2)若，证明：.【解析】(1），；（2）由（1）可知，由，可得 令,则,思考：错哪？【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标。【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数。(1)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时,证明：【解析】(1）; （2）设数列的前项的和分别为，则由于,解得；同理，所以只需证明（文,右边选证)命题角度3 切线法【典例4】(2018届安徽省太和中学三模）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程;(2）求证：当时，.【解析】（1），由题设得， 所以曲线在处的切线方程为，即；【审题点津】1、切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题。2、大小关系，往往与曲线的凹凸性相关。命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例5】(2018年湖北省高三4月调考）设，其中，则的最小值为 【解析】由于表示点与点之间的距离，而点的轨迹是曲线，点的轨迹是曲线，如图所示，又点到直线的距离为，自然想到转化为动点到抛物线准线的距离，结合抛物线的概念可得 ,所以，当且仅当共线,又以为圆心作半径为的圆与相切,切点是，此时的公切线与半径垂直，,即，所以,故。正确答案为C。【典例6】（2018年安庆市二模）已知函数，设求证：。【典例7。1】浙江2018，先看一个我们做过的题目22。 已知函数f（x)=lnx（）若f（x)在x=x1，x2(x1x2)处导数相等，证明：f（x1）+f(x2）88ln2;()函数f（x）的导函数，由得,因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以x（0，16）16(16，+）0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故,即【典例7】已知函数有两个极值点 (为自然对数的底数）。（1)求实数的取值范围;(2）求证：（本题是浙江高考的升级版，建议关注)；【答案速得】函数有两个极值点实质上就是其导数有两个零点，亦即函数与直线有两个交点，如图所示，显然实数的取值范围是.(注:考试不能这样写，要扣分的）(2）由(1）知，为的两个实数根,，在上单调递减。下面先证,只需证。 由于，得,所以.设，则，所以在上单调递减，所以，所以。由于函数在上也单调递减,所以。要证,只需证，即证。 设函数，则。设，则，所以在上单调递增，,即。所以在上单调递增,.故当时，则，所以，亦即。【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，拐点的偏移，依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决。只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的,如果“脑中有形”，如图所示,并不难得出。拐点偏移与极值偏移类似解题步骤1:借助原图分析（或证明）的大致范围和大小关系;2：将待证不等式转化到某个单调区间上，利用原函数的单调性+题干条件（或隐含条件）将双变量变单变量;3：构造新函数解决相关最值问题即可。命题角度5 函数切线的应用【典例8】（安徽省太和中学2018届5月质检）已知函数，曲线在处的切线方程为（1）求证：时，；(2）求证：【解析】(1）函数的定义域为,又，所以该切线方程为 设，（2）由（1)知：当时，。 令，则,所以【方法归纳】本题,其，说明函数为凹函数，因此有.此类问题实质上,第(1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点.反思:将结论作差式,即证这个大小关系是否成立不说，就是求导都显得麻烦，主要原因是题目将放缩的结论进行了再放缩，将结构变得难以直接寻找。利用第一问，就成了最佳选择【典例9】(成都市2018届高中毕业班二诊文科)已知函数。（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围;(2）当时,证明：.【解析】（1)由，得恒成立，的取值范围是； （2）有（1）知时，有，（这里也是切线）所以。 Error! Reference source not found.要证，可证，只需证，易证（证明略这里也是切线），所以；这里也是切线Error! Reference source not found.要证，可证,这里还是切线 易证（证明略）,由于，所以，所以,综上所述，当时，证明：.【方法归纳】，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩,此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法.【能力提升】结合函数的凸凹性应用切线放缩法证明不等式,必须做到“脑中有形”，脑海中有示意图，我们的思路不就清晰了吗?切线综合【典例10】(2018天津)已知函数，,其中(1）求函数的单调区间；(2）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；高难预警（3）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线【解析】（1）由已知,，有令，解得由，可知当变化时，的变化情况如下表：00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为（2）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为由，可得曲线在点处的切线斜率为因为这两条切线平行，故有,即两边取以a为底的对数，得，所以（3)证明:曲线在点处的切线：曲线在点处的切线：要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线,只需证明当时,存在，使得l1和l2重合即只需证明当时，方程组有解,由得，代入，得 因此,只需证明当时，关于的方程有实数解设函数，即要证明当时，函数存在零点，可知时，;时,单调递减，又，故存在唯一的,且，使得，即由此可得在上单调递增，在上单调递减 在处取得极大值因为，故，所以下面证明存在实数，使得由(1)可得，当时，有,所以存在实数,使得因此，当时，存在,使得所以，当时，存在直线,使是曲线的切线，也是曲线的切线- 10 -