山东省临沂市莒南县第三中学2023届高一上数学期末含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．下列函数中，与的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）
A. B.
C. D.
2．设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称是函数的一个不动点，下列函数存在不动点的是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知 , , , 则a,b,c的大小关系是
A. B.
C. D.
4．某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是（参考数据：取，）（）
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
5．C，S分别表示一个扇形的周长和面积，下列能作为有序数对取值的是（ ）
A. B.
C. D.
6．把11化为二进制数为
A. B.
C. D.
7．设函数（），，则方程在区间上的解的个数是
A. B.
C. D.
8．已知点，点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为
A.（－3，0，0） B.（0，－3，0）
C.（0，0，3） D.（0，0，－3）
9．已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）

A. B.
C. D.
10．某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（）

A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．的值为______.
12．函数满足，则值为_____.
13．若数据的方差为3，则数据的方差为__________
14．函数是定义在R上的奇函数，当时，2，则在R上的解析式为________.
15．已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的．现有函数.
（1）当时，判断函数在上是否“友好”；
（2）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围
17．已知函数，（，且）.
（1）求的定义域，并判断函数的奇偶性；
（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.
18．已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
19．函数的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象向右平移个单位，得函数的图象，求在的单调增区间
20．已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域
21．已知函数.
（1）若函数的图象关于直线x＝对称，且，求函数的单调递增区间.
（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数b的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
【解析】先求得函数的奇偶性和单调性，结合选项，利用函数的性质和单调性的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，
当时，可得，
结合指数函数的性质，可得函数为单调递增函数，
对于A中，函数为奇函数，不符合题意；
对于B中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于C中，函数的定义域为，
且满足，所以函数为偶函数，
设，且时，
则
，
因为且，所以，
所以，即，
所以在为增函数，符合题意；
对于D中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意.
故选：C.
2、D
【解析】把选项中不同的代入，去判断方程是否有解，来验证函数是否存在不动点即可.
【详解】选项A：若，则，即，方程无解.故函数不存在不动点；
选项B：若，则，即，方程无解.故函数不存在不动点；
选项C：若，则，即或，两种情况均无解.故函数不存在不动点；
选项D：若，则，即
设，则，
则函数在上存在零点.即方程有解.函数存在不动点.
故选：D
3、A
【解析】根据对数函数的性质，确定的范围，即可得出结果.
【详解】因为单调递增，所以，又，
所以.
故选A
【点睛】本题主要考查对数的性质，熟记对数的性质，即可比较大小，属于基础题型.
4、D
【解析】设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n，进而得，再结合对数运算解不等式即可得答案.
【详解】解：设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n，
则，得，
因为
，所以
故选：D
5、B
【解析】设扇形半径为，弧长为，则，，根据选项代入数据一一检验即可
【详解】设扇形半径为，弧长为，
则，
当，有，则无解，故A错；
当，有得，故B正确；
当，有，则无解，故C错；
当，有，则无解，故D错；
故选：B
6、A
【解析】11÷2=5…1
5÷2=2…1
2÷2=1…0
1÷2=0…1
故11(10)=1011(2)
故选A.
7、A
【解析】由题意得，方程在区间上的解的个数即函数与函数的图像在区间上的交点个数
在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当时，恒成立，易得交点个数为.选A

点睛：函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错
8、D
【解析】设点，根据点到两点距离相等，列出方程，即可求解.
【详解】根据题意，可设点，
因为点到两点的距离相等，可得，
即，
解得，所以
整理得点的坐标为.
故选：D.
9、B
【解析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项.
【详解】由图1可知为偶函数，为奇函数，
A选项，，所以是偶函数，不符合图2.A错.
C选项，，所以是偶函数，不符合图2.C错.
D选项，，所以的定义域不包括，不符合图2.D错.
B选项，，所以是奇函数，符合图2，所以B符合.
故选：B
10、A
【解析】根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案
【详解】第1次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第2次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；
第3次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；
第4次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第5次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；
前5次累计画线；
第6次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线；
第7次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第8次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计5次；
第9次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计6次，累计画线，故选项A正确
故选：A
另解：由前三次规律可发现，每画三次，与l产生两个交点，故要产生6个交点，需要画9次；每一次画的圆弧长度是以为首项，为公差的等差数列，所以前9项之和为：﹒
故选：A﹒

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、11
【解析】进行对数和分数指数幂的运算即可
【详解】原式
故答案为：11
12、
【解析】求得后，由可得结果.
【详解】，，.
故答案为：.
13、12
【解析】所求方差为，填
14、
【解析】由是定义域在上的奇函数，根据奇函数的性质，可推得的解析式.
【详解】当时，2，即，
设，则，
，
又为奇函数， ，
所以在R上的解析式为 .
故答案为：.
15、
【解析】
由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以 ，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，,所以，所以球的表面积
点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题．其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）当时，函数在，上是“友好”的
（2）
【解析】（1）当时，利用函数的单调性求出和，由即可求得结论；
（2）化简原方程，然后讨论的范围和方程的解即可得答案
【小问1详解】
解：当时，，
因为单调递增，在单调递减，
所以在上单调递减，
所以，，
因为，
所以由题意可得，当时，函数在上是“友好”的；
【小问2详解】
解：因为，即，且，①
所以，即，②
当时，方程②的解为，代入①成立；
当时，方程②的解为，代入①不成立；
当且时，方程②的解为或
将代入①，则且，解得且，
将代入①，则，且，解得且
所以要使方程的解集中有且只有一个元素，则，
综上，的取值范围为
17、（1）定义域为；奇函数;（2）时，；时，.
【解析】（1）由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；运用奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）对a讨论，，，结合对数函数的单调性，以及参数分离法，二次函数的最值求法，可得m的范围
【详解】（1）由题意，函数，由，
可得或，即定义域为；
由，
即有，可得为奇函数；
2对于，恒成立，
可得当时，，由可得的最小值，
由，可得时，y取得最小值8，则，
当时，，由可得的最大值，
由，可得时，y取得最大值，则，
综上可得，时，；时，
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
18、（1）2（2）
【解析】（1）依据三角函数诱导公式化简后去求解即可解决；
（2）转化为求三角函数齐次式的值即可解决.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
19、（1）；（2）
【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；
（2）根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数y＝f2（x）的解析式，由，得到函数的单调增区间.
【详解】（1）如图，由题意得，的最大值为2，
又,∴,即 ∴.
因为的图像过最高点，则
即
（2）.依题意得：
∴由
解得：
，则的单调增区间为.
【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由函数图象顶点求出，再根据周期求出，根据点五点中的求出，即可得函数解析式；
（2）先根据平移得出，由，得出，再根据三角函数图形及性质即可求出值域
【详解】（1）由题设图象可知，
∵周期，又，
∴，
∵过点，
∴，即，
∴，即
∵，
∴，
故函数的解析式为；
（2）由题意可知，
∵，
∴，
∴，故，
∴在上的值域为
【点睛】本题主要考查由的部分图象求解析式，以及求三角函数的值域的应用，属于中档题．
21、（1）
（2）或
【解析】（1）先求得函数的解析式，再整体代入法去求函数单调递增区间即可；
（2）依据函数的单调性及零点个数列不等式组即可求得实数b的取值范围.
【小问1详解】

由，可得
又函数的图象关于直线x＝对称，则，则
故
由，可得
则函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由（1）可知
当时，，
由得，由得
则函数在上单调递增，在上单调递减，

由函数有且只有一个零点，
可得或，解得或