数列的概念及简单表示方法.doc

(完整word)数列的概念及简单表示方法6。1数列的概念及简单表示法1 数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项2 数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中nN递减数列an1_an.求实数k的取值范围思维启迪（1)求使an0的n值;从二次函数看an的最小值（2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f（n）n2kn4.f（n）在N上单调递增，但自变量不连续从二次函数的对称轴研究单调性规范解答解(1）由n25n40，解得1n4.nN，n2,3。数列中有两项是负数，即为a2，a3。4分ann25n42的对称轴方程为n。又nN，当n2或n3时，an有最小值，其最小值为a2a32。8分(2）由an1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4,可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN，所以3.12分温馨提醒（1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性,得到实数k的取值范围，使问题得到解决（2）在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位置的选取（3）易错分析：本题易错答案为k2。原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数。方法与技巧1 求数列通项或指定项通常用观察法（对于交错数列一般用(1）n或(1)n1来区分奇偶项的符号）;已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2 强调an与Sn的关系：an。3 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式失误与防范1 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf（n)和函数yf(x)的单调性是不同的2 数列的通项公式不一定唯一A组专项基础训练（时间:40分钟)一、选择题1 数列0，1,0，1，0，1,0，1,的一个通项公式是an等于(）A. Bcos Ccos Dcos 答案D解析令n1,2，3，逐一验证四个选项，易得D正确2 数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn（n1)，则a6等于（)A344 B3441C45 D451答案A解析当n1时，an13Sn,则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列又a23S13a13,an当n6时,a63462344。3 若数列an的通项公式是an（1)n（3n2)，则a1a2a10等于(）A15 B12 C12 D15答案A解析由题意知，a1a2a1014710(1)10(3102）(14）(710）(1)9(392)(1)10(3102)3515。4 已知数列an的通项公式为an()n1()n1,则数列an（)A有最大项，没有最小项B有最小项，没有最大项C既有最大项又有最小项D既没有最大项也没有最小项答案C解析数列an的通项公式为an（)n1()n1，令t（)n1，t(0，1,t是减函数，则ant2t(t)2,由复合函数单调性知an先递增后递减故有最大项和最小项，选C。5 若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则等于(）A. B。C。 D30答案D解析当n2时，anSnSn1,所以5630.二、填空题6 已知数列，则0.98是它的第_项答案7解析0。98，n7.7 数列an中,a11,对于所有的n2，nN，都有a1a2a3ann2，则a3a5_。答案解析由题意知：a1a2a3an1（n1)2，an（）2(n2),a3a5（）2()2。8 已知an是递增数列，且对于任意的nN,ann2n恒成立,则实数的取值范围是_答案（3，)解析方法一(定义法）因为an是递增数列，所以对任意的nN,都有an1an，即(n1）2(n1)n2n，整理,得2n10,即(2n1)（*）因为n1，所以（2n1)3，要使不等式（）恒成立，只需3.方法二（函数法)设f（n）ann2n，其图象的对称轴为直线n,要使数列an为递增数列,只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数,故只需满足f（1)f(2），即3.三、解答题9 数列an的通项公式是ann27n6.（1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3)该数列从第几项开始各项都是正数？解（1)当n4时,a4424766。(2）令an150，即n27n6150，解得n16或n9（舍去），即150是这个数列的第16项(3）令ann27n60,解得n6或n8时，an1an0，即an1an。则a1a2a3,故数列an有最大项，为第8项和第9项,且a8a9.B组专项能力提升(时间：30分钟)1 跳格游戏:如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为（）A8种 B13种 C21种 D34种答案C解析设跳到第n个格子的方法种数有an，则到达第n个格子的方法有两类：向前跳1格到达第n个格子,方法种数为an1；向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an2，则anan1an2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5，8,13,21。跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2 数列an满足anan1 （nN),a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为(）A5 B。 C。 D。答案B解析anan1(nN)，a1a22，a22，a32，a42,，故a2n2，a2n12.S2110a152.3 若数列n(n4)（)n中的最大项是第k项，则k_.答案4解析由题意得，所以，由kN可得k4.4 已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn。(1)求数列bn的通项公式;(2）判断数列cn的增减性解（1）a12，anSnSn12n1（n2)bn。（2）cnbn1bn2b2n1，cn1cn0，cn是递减数列5 设数列an的前n项和为Sn。已知a1a，an1Sn3n，nN.（1)设bnSn3n,求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN，求a的取值范围解（1）依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n）即bn12bn,又b1S13a3,因此,所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN。（2)由(1）知Sn3n（a3）2n1，nN，于是，当n2时，anSnSn13n（a3）2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2,an1an43n1（a3)2n22n212（）n2a3，当n2时，an1an12（）n2a30a9.又a2a13a1。综上，所求的a的取值范围是9，）.