拉格朗日中值定理教学设计.doc

(完整版)拉格朗日中值定理教学设计
教 学 设 计
第六章 微分中值定理及其应用
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
题目：罗尔定理与拉格朗日定理
一、教学目的：
1. 知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义,掌握三个推论。
2. 能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）,然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学,爱上数学。
二、教学重点与难点：
1. 重点：罗尔定理和拉格朗日定理,定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。
2. 难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法:教师启发讲授和学生探究学习的教学方法
四、教学手段:板书与课件相结合
五、教学基本流程：
类比学习，理解定理
引出定理，探究案例
知识回顾

课堂小结作业
升华、理解新知

六、教学情境设计（1学时)：
1、知识回顾
费马定理：设函数在的某领域内有定义，且在可导。若为的极值点，则必有。它的几何意义在于：若函数在可导，那么在该点的切线平行于轴。

2、引出定理，探究案例
微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理,先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。

定理6。1 (罗尔（)中值定理) 若函数满足如下条件：
（i）在闭区间上连续;
(ii)在开区间内可导；
(iii），
则在内至少存在一点,使得
.

罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线（图6—1)．

证 因为在上连续，所以有最大值与最小值，分别用与表示，现分两种情况来讨论：
（1)若，则，在上必为常数，从而结论显然成立．
(2）若，则因，使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点．由条件（ii），在点处可导，故由费马定理推知
．

注 定理中的三个条件缺少任何一个,结论将不一定成立(图6—2）。

例1 设为R上可导函数，证明：若方程没有实根，则方程至多有一个实根．
证 这可反证如下：倘若有两个实根和（设)，则函数在上满足罗尔定理三个条件，从而存在，使，这与的假设相矛盾，命题得证．

3、类比学习，理解定理

定理6.2 （拉格朗日（)中值定理） 若函数满足如下条件：
在闭区间上连续；
在开区间内可导，
则在内至少存在一点，使得
.

显然，特别当时，本定理的结论（2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形．

证 作辅助函数
．
显然，，且在上满足罗尔定理的另两个条件．故存在 使

移项后即得到所要证明的（2)式。
拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB，（如图6—3所示 ）.

定理的结论称为拉格朗日公式。

4、升华、理解新知
注解
Note 1。定理的几何意义:在上至少存在一点，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB。

Note 2.定理只论证了的存在性，，不知道的准确数值，但并不妨碍它的应用.

Note 3.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：

（3)
(4）
(5）
值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点表示成了,使得不论为何值，总可为小于1的某一正数。

例题讲解
例2 证明对一切成立不等式
。
证 设，则

当〉0时,由0〈〈1可推知
1〈.
当—1<〈0时，由0〈〈l可推得
1〉
从而得到所要证明的结论.

推论
推论1 若函数在区间上可导，且，则为上一个常量函数．
证 任取两点 （设），在区间［]上应用拉格朗日定理，存在，使得

这就证得在区间上任何两点之值相等．
由推论1又可进一步得到如下结论:

推论2 若函数和g均在区间上可导，且,，则在区间上与只相差某一常数，即
（c为某一常数）．

推论3 (导数极限定理) 设函数在点的某邻域U（）内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且
. （6)
证 分别按左右导数来证明(6）式成立．
(1） 任取，在［］上满足拉格朗日定理条件，则存在，使得
(7)

由于，因此当 时,随之有 ，对 （7）式两边取极限,得到

(2） 同理可得 ．
因为存在，所以 从而

导数极限定理适合于用来求分段函数的导数

例题讲解

例3 求分段函数

的导数。
解 首先易得

进一步考虑在 处的导数．在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理．由于

因此在处连续，又因

所以依据导数极限定理推知在处可导，且

5、 课堂小结与作业
1、罗尔中值定理的条件及几何意义。
2、拉格朗日中值定理的条件及几何意义。
3、加深定理理解的几个注解。
4、三个推论.
5、预习函数的单调性.
作业：习题2，4

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