重点高中自招必备-九年级-专题24-平面几何的定值问题.doc

初中自招必备领先一步专题24 平面几何的定值问题【阅读与思考】 所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）. 几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值.解答定值问题的一般步骤是：1.探求定值；2.给出证明.【例题与求解】【例1】 如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值.解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等. 【例2】 如图，AB为O的一固定直径，它把O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CDAB，OCD的平分线交O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ） A.到CD的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C点的移动而移动（济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论. 【例3】 如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，SPM是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST滑到什么位置，SOT的度数是定值.从探寻SPM与SOT的关系入手. 【例4】 如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角AOB=90.点C是上异于A，B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E.连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD2+3CH2是定值. （广州市中考试题）解题思路：延长OG交CD于N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON转化成线段CH的倍分关系，再以RtOND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决. 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为（-2，0），AE=8.（1）求点C的坐标；（2）连接MG，BC，求证：MGBC；（3）如图2，过点D作M的切线，交x轴于点P.动点F在M的圆周上运动时，的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题） 解题思路：对于（3）从动点F达到的特殊位置时入手探求定值. （图1） （图2）【例6】 如图，已知等边ABC内接于半径为1的圆O，P是O上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2为定值. 解题思路：当点P与C点重合时，PA2+PB2+PC2=2BC2为定值，就一般情形证明.【能力训练】A级1.如图，点A，B是双曲线上的两点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1，则_.（牡丹江市中考试题） （第1题图） （第3题图） （第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是_.（全国初中数学联赛试题）3.如图，OA，OB是O任意两条半径，过B作BEOA于E，又作OPAB于P，则定值OP2+EP2为_.4.如图，在菱形ABCD中，ABC=120，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于点E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（ ）A.30 B.40 C.50 D.60（武汉市竞赛试题）5.如图，在O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AB，且=AP，=BP.连接，当点P从点A移动到点B时，的中点的位置（ ）A在平分AB的某直线上移动 B.在垂直AB的某直线上移动C.在弧AMB上移动 D.保持固定不移动（荆门市中考试题） （第5题图） （第6题图）6.如图，A，B是函数图象上的两点，点C，D，E，F分别在坐标轴上，且分别与点A，B，O构成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6，则长方形OEBF的面积是（ ）A.3 B.6 C.9 D.12（海南省竞赛试题）7.（1）经过O内或O外一点P作两条直线交O于A，B和C，D四点，得到如图所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，PA，PB，PC，PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.（2）已知O的半径为一定值r，若点P是不在O上的一个定点，请你过点P任作一直线交O于不重合的两点E，F. PEPF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.（济南市中考试题）8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线于点M，BC边交x轴于点N.（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转度数；（3）设MBN的周长为P，在正方形OABC旋转的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9.如图，AB是半圆的直径，ACAB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DECD，交直线AB于点E，BFAB，交线段AD的延长线于点F.（1）设弧AD是x的弧，若要点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是_.（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除ABAC外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题） （第9题图） （第10题图） （第11题图）10.如图，内接于O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设O的半径为R.求证：（1）是定值；（2）是定值.11.如图，设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点，求证：的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B 级1. 等腰ABC的底边BC为定长2，H为ABC的垂心.当顶点A在保持ABC为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积SABCSHBC的值保持不变，则SABCSHBC=_.2.已知A，B，C，D，E是反比例函数（x0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是_（用含的代数式表示）.（福州市中考试题）3.如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记CDEF，则下列结论一定正确的是（ ） A. 129002 B. 1210802 C. 12720 D. 12360（武汉市竞赛试题）（第3题图） （第4题图）4.如图，正ABO的高等于O的半径，O在AB上滚动，切点为T，O交AO，BO于M，N，则弧MTN（ ） A.在0到30变化 B.在30到60变化 C.保持30不变 D.保持60不变5.如图，AB是O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则h1-h2等于（ ） A.5 B.6 C.7 D.8（黄石市中考试题）（第5题图） （第6题图）6.如图，已知ABC为直角三角形，ACB=90，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D.（1）求点A的坐标（用m表示）（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.（株洲市中考试题）7.如图，已知等边ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.（湖北省选拔赛试题） （第7题图） （第8题图）8.如图，设H是等腰三角形ABC两条高的交点，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积SABCSHBC的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动.点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段OC，PQ相交于点D，过点D作DEOA，交CA于E，射线QE交x轴于点F.设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）.（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当时，PQF的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，PQF为等腰三角形，请写出解答过程.（黄冈市中考试题）（第9题图） （第10题图）10.已知抛物线C1：，点F（1,1）.（1）求抛物线C1的顶点坐标；（2）若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：.（3）抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0xP1），连接PF，并延长交抛物线C1于点Q（xQ，yQ），试判断是否成立？请说明理由.11.已知A，B是平面上的两个顶点，C是位于AB一侧的一个动点，分别以AC，BC为边在ABC外作正方形ACDE和正方形BCFG.求证：不论C在直线AB同一侧的任何位置，EG的中点P的位置不变.专题24平面几何的定值问题例1 延长PC至E，使CEAP，连结BE，则BCEBAP，及PBE为等腰直角三角形，故 例2 B 提示：连结AC，BC，可以证明P为的中点 例3 SPOP，OMST，S，M，O，P四点共圆，于是SPMSOMSOT为定角 例4 (1)连结OC交DE于M，则OMCM， EMDM，而DG HE，则HMGM故四边形OGCH是平行四边形 (2)DG不变DEOCOA3 .DGDE31 (3)设CDx，延长OG交CD于N，则CNDN x， ， .，而ONCH，故CD23CH2x23(4x2)x212x2为定值例5 C(0，4) 先求得AMCM5，连接MC交AE于N，由AOGANM，得，OG，又BOCGOM，GOMCOB，GMOCBO，得MGBC连结DM，则DMPD，DOPM，DO2OMOP，OP动点F在M的圆周上运动时，从特殊位置探求的值当F与点A重合时，；当点F与点B重合时，；当点F不与点A，B重合时，连接OF、PF、MF，DM2MOMP，FM2MOMP，即，又OMPFMP，MFOMPF，故的比值不变，比值为例6 BPC120，在BPC中，由余弦定理得BC2PB2PC22PBPCBC2，又由上托勒密定理得BCPAPCAB，而ABBCAC，PAPBPC，从而PA2 PB2 PC2 (PBPC)2 PB2 PC22 (PB2PC2PBPC)2BC226故PA2PB2PC2为定值A级 14 提示：S1S阴 S2S阴xy3，S1S22xy2S阴624 2提示：1359是等边三角形的高3r2提示：先考查OB与OA垂直的情形4D 提示：延长BF交DE于点M，连接BD，则BCD为等边三角形，BF平分CBDF为CD中点，且ADCE，ADF与ECF关于点F中心对称CEADCD，CEM=30，DMF=60，5D 提示：AB的中点均在O的上半圆的中点处 6B 提示：S正方形OCADODOC6，SOEBFOEOFxByB6 7略 当点P在O内时，过P作直径CD，则PEPFPDPCr2OP2为定值；当点P在O外时，PEPF为定值结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值 8 22.5 P值无变化理由如下：如图，延长BA交y轴于E点，可证明OAEOCN，得OEON，AECN，又MOEMON45，OMON，OMEOMN，得MNMEAMAEAMCNPMNBNBMAMCMCNBNBMABAC490x90 BEBF 提示：连接BD，可证明BDFADB，BDEADC 10作OPBD于P，OQAC于Q，连接AO，则AO2，又AKCKBKDK，得AK2BK2CK2DK24R2为定值 作直径DE，连接AE，BE，CE，AB2CD24R2，AD2BC24R2，故AB2BC2CD2DA28K2为定值 11设正方形的边长为a，根据托勒密定理，对于四边形APBC和四边形APBD，有CPaAPaBP，DPaBPaAP，两式相加并整理得(CPDP)a(APBP)(a)，从而为定值B级11 提示：不妨设A为锐角，AD，BE，CF为ABC的三条高，H为垂心，由ABAC知HBDHCDHAE，HDCCDA90，故RtCHDRtACD，即ADHDDC2BC21SABCSHBC 1当A90时，结论成立21326 提示：A，B，C，DE是反比例函数y(x0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1这五人橄榄形的面积总和是5108161326 3B 提示：如图，设FA的延长线与CB的延长线交于点P，GA的延长线与HB的延长线交于点P由对称性可知12APP，22BPP122APBAPB540，1210802 4D 5B 提示：如图，设AB与MN交于点C，过点O作ODMN于D，连接FO并延长交EB于G由垂径定理，得OD3由AFOBGO，得AFBG，即h1BG由AFMN，BEMN，得FODFGEEG2OD6，EG6 6A(3m，0) yx22x1 过点Q作QMAC于M，过点Q作QNBC于N，设Q点的坐标为(x，x22x1)，则QMCN(x1)2，MCQN3xQMCE，PQMPEC，即，得EC2(x1)QNCF，BQNBFC，即，得FC又AC4，FC(ACEC) 8为定值 7提示：易证ABKBNA，故AKBNAB2为定值，即AK与BN的乘积与M点的选择无关 8提示：SABCSHBC BC4，由于BC是不变的，所以当点A至BC的距离变小时，乘积SABCSHBC保持不变 9A(18，0)，B(0，10)，顶点坐标为(4，) 若四边形PQCA为平行四边形，由于QCPA，故只要QCPA即可，而PA184t，CQt，故184tt，得t 设点P运动ts，则OP4t，CQt，0t4.5说明P在线段OA上，且不与点O，A重合由于QCOP知QDCPDO，故同理QCAF，故，即，AF4tOPPFPAAFPAOP18又点Q到直线PF的距离d10，SPQFPFd181090于是SPQF的面积总为定值90 由前面知道，P(4t，0)，F(184t，0)，Q(8t，10)，0t4.5构造直角三角形后易得PQ2(4t8t)2102，FQ2(184t8t)2102(5t10)2100若FPFQ，即182(5t10)2100，故25(t2)2224，(t2)22t26.5，t2t 2 若QPQF，即(5t8)2100(5t10)2100，即(5t8)2(5t10)2，无0t4.5的t满足 若PQPF，即(5t8)2100182，(5t8)2224由于15，又05t22.5，85t814.5，14.52224故没有t(0t4.5)满足此方程综上所述，当t 2时，PQR为等腰三角形 10C1的顶点坐标为(1，). 略 作PMAB于M，作QNAB交AB延长线于N，PM1yP，FM1xP在RtPMF中，PF2(1yP)2(1xP)212yPyP212xPxP2，又点P在抛物线上，yPxP2xP1，PF21xP22xP2yP212xPxP2yP2，PFyP，同理，QFyQ，易证PMFQNF，则，即，2 11先从特殊情况出发当ABC是等腰直角三角形时，点P与点C重合，此时点P的位置在AB的中垂线上，且到AB的距离为AB，如图所示下面就一般情况来证明上面的结论(结论所示)过C，E，G分别作直线AB的垂线CH，EM，GN，垂足分别是H，M，N容易证明AEMACH，BGNBCH从而有AMCHBN，EMAH，GNBH这样，线段AB的中点O也是线段MN的中点，连接OP，则OP是梯形EMNG的中位线，从而OPAB，OP(EMGN) (AHBH)AB无论点C在AB同一侧的位置如何，EG中点P的位置不变（四川省竞赛试题）12