2016年北京市海淀区高三一模文科数学考试含答案.docx

2016年北京市海淀区高三一模文科数学考试含答案

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海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习
数学试卷（文科） 2016.4
本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合A＝，B＝，则＝（ ）
A．+ ¥ B．+ ) C．+ D．
2、已知向量，若，则t ＝（ ）
A．1+ ¥ B．2+ ) C．3+　　　 D．4
3．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（ ）

A．－1 B．1 C．－I D．i
4．若x，y 满足，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）

A． B． C． D．
6、已知点P在抛物线W：上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知函数，则“”是“函数是偶函数“的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）

A．甲只能承担第四项工作 　　B．乙不能承担第二项工作
C．丙可以不承担第三项工作 　D．获得的效益值总和为78

二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．函数的定义域为_________
10．已知数列的前n项和为，且，则＝_______．
11．已知l 为双曲线C：的一条渐近线，其倾斜角为，且C 的右焦点为（2,0），点C的右顶点为_________，则C 的方程为_______．
12．在这三个数中，最小的数是_______．
13．已知函数，若，则函数的单调增区间为_________
14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M＝，均满足，使得直线，则k的所有可能取值是_________

三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13 分）
在△ABC 中，∠C＝，．
（Ⅰ）若c＝14，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．

16．（本小题满分13 分）
已知数列是等比数列，其前n项和为，满足，。
（I）求数列的通项公式；
（II）是否存在正整数n，使得＞2016？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由。

17．（本小题满分14 分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M ，N
分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．
（Ⅰ）求证： 平面PBC⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD；
（Ⅲ）当AB＝3，PA＝4时，求点A到直线MN距离的最小值。

18．（本小题满分13 分）
一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。
（I）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（II）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；
（III）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。（注：成绩大于等于75分为优良）

19．（本小题满分14 分）
已知椭圆C：的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由。
20．（本小题满分13 分）
已知函数f (x) ＝
（Ⅰ）求曲线f (x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值；
（Ⅲ）若对任意，都有成立，求实数的最小值。
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学（文科） 2016.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
C
A
B
A
B

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
9．
10．
11.
12．
13．
14．

说明：1.第9题,学生写成 的不扣分
2.第13题写成开区间 的不扣分,
没有写的,扣1分
3. 第14题有错写的，则不给分
只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分
写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分

三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.解：(Ⅰ) 方法一：
在中，因为，
即
所以.
方法二：过点作线段延长线的垂线，垂足为

因为，所以
在中，
在中，
（Ⅱ）方法一：
因为.
所以，解得.
又因为.
所以,
所以.方法二：过点作线段延长线的垂线，垂足为
因为 , 所以.

又因为,
即 ,
所以.
在中，.
所以
16.解：
(Ⅰ) 设数列的公比为，
因为，所以.
因为所以
又因为，
所以,
所以（或写成）

说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n项和公式正确写出的，都给2分

(Ⅱ)因为.
令, 即，整理得.
当为偶数时，原不等式无解；
当为奇数时，原不等式等价于，解得，
所以满足的正整数的最小值为11.
17解：（Ⅰ）证明：在正方形中，.
因为平面，平面，所以.
又，平面，
所以平面.
因为平面, 所以平面平面.

（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知, 平面，平面，所以.
在中，，， 所以，
又平面，平面，
所以//平面.
（Ⅲ）解：因为, 所以平面，
而平面，所以，
所以的长就是点到的距离，
而点在线段上
所以到直线距离的最小值就是到线段的距离，
在中，所以到直线的最小值为.
18.解:
（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为 .
则

（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差.
（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件，
男生按成绩由低到高依次编号为，
女生按成绩由低到高依次编号为，
则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
其中两名同学均为优良的取法有12种取法
，，，，
，，，，，，，，
所以，
即两名同学成绩均为优良的概率为.
19. 解：
（Ⅰ）由已知，得知，,
又因为离心率为，所以.
因为，所以
所以椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）解法一：假设存在.
设
由已知可得，
所以的直线方程为，
的直线方程为，
令，分别可得，，
所以，
线段的中点，
若以为直径的圆经过点，
则,
因为点在椭圆上，所以，代入化简得，
所以， 而，矛盾，
所以这样的点不存在.

解法二：
假设存在，记.
设
由已知可得，
所以的直线方程为，
的直线方程为，
令，分别可得，，
所以
因为为直径，所以所以
所以 因为点在椭圆上，所以，
代入得到
所以 ，这与 矛盾
所以不存在
法三 ：
假设存在，记 ,
设
由已知可得，
所以的直线方程为，
的直线方程为，
令，分别可得，，
所以
因为, 所以
所以
所以因为点在椭圆上，所以，
代入得到,
解得或
当时，这与 矛盾
当时，点在轴同侧，矛盾
所以不存在
20.解：（Ⅰ）因为，
所以.
因为，所以曲线在处的切线方程为.
（Ⅱ）令，解得，
所以的零点为.
由解得，
则及的情况如下：

2

0

极小值

所以函数在 时,取得极小值
（Ⅲ）法一：
当时，.
当时，.
若，由（Ⅱ）可知的最小值为，的最大值为，所以“对任意，有恒成立”等价于
即，
解得.
所以的最小值为1.
法二：
当时，.
当时，.
且由（Ⅱ）可知，的最小值为，
若，令，则
而，不符合要求，
所以.
当时，,
所以，即满足要求，
综上，的最小值为1.

法三：
当时，.
当时，.
且由（Ⅱ）可知，的最小值为，
若，即时，
令则任取,
有
所以对成立，
所以必有成立，所以，即.
而当时，,
所以，即满足要求，
而当时，求出的的值，显然大于1，
综上，的最小值为1.