2019届青浦区高三二模数学Word版(附解析).doc

上海市青浦区2019届高三二模数学试卷
2019.4

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 不等式的解集是
2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则
3. 在平面直角坐标系中，在轴、y轴正方向上的投影分别是、4，则的单位向量是
4. 在的二项展开式中，含有项的系数为 （结果用数值表示）
5. 在平面直角坐标系中，若双曲线经过抛物线（）的焦
点，则
6. 已知、是互斥事件，，，则
7. 函数的最大值为
8. 若实数、y满足条件，则的最小值为
9. 已知、b、都是实数，若函数的反函数的定义域是，
则的所有取值构成的集合是
10. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

11. 已知函数（），在区间内有两个零点，则的取
值范围是
12. 已知O为△ABC的外心，，，则的最大值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
14. 已知△ABC是斜三角形，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
15. 已知曲线（是参数），过点作直线与曲线有且仅有一个
公共点，则这样的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
16. 等差数列（，）满足
，则（ ）
A. 的最大值为50 B. 的最小值为50
C. 的最大值为51 D. 的最小值为51

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，圆柱是矩形绕其边所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点.
（1）求三棱锥体积与圆柱体积的比值；
（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段
的中点，求异面直线CM与所成角的大小.

18. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上
的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方
向1km的点C处，用测角器测得，现有两种铺设方案：① 沿线段AB在水下
铺设；② 在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算
地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km.
（1）求A、B两点间的距离；
（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.

19. 已知，函数.
（1）求的值，使得为奇函数；
（2）若且对任意都成立，求的取值范围.

20. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式：
（，），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆
变换为一个单位圆；
（2）在同一直角坐标系中，△（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换
（，）得到△，记△和△的面积分别为S与，
求证：；
（3）若△的三个顶点都在椭圆（），且椭圆中心恰好是△
的重心，求△的面积.

21. 已知函数（），且不等式对任意的
都成立，数列是以为首项，公差为1的等差数列（）.
（1）当时，写出方程的解，并写出数列的通项公式（不必证明）；
（2）若无穷数列满足对任意的都成立，求证：数
列是等差数列；
（3）若（），数列的前项和为，对任意的，求
的取值范围.

参考答案

一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 4 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.

二. 选择题
13. B 14. C 15. B 16. A

三. 解答题
17.（1）；（2）
18.（1）5；（2），最低费用
19.（1）1；（2）
20.（1），；（2）用行列式表示面积，略；（3）由前两问，
21.（1），，，；（2）略；（3）