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第三章 复变函数的积分

§1. 复积分的概念
一. 复积分的定义与计算
设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向）, 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线， 称为有向曲线.
如果A到B作为曲线C的正向， 那么B到A就是曲线C的负向,
定义： 设C为z平面上一条以A为起点，以B为终点的简单光滑曲线,复变函数在C上有定义.在曲线C上任取将C分为n个小弧段,(，）在每个小弧段上任取一点，作和式

设若当时，该式的极限存在，且与小弧段的分法及的取法无关，则称此极限值为复变函数在C上从A到B的复积分,记作 ；若曲线方向改为由B到A，则积分记作;当C为简单闭曲线时,则此积分记作.（规定逆时针方向为C的正向）
定理1 设在光滑曲线C上连续,则积分存在，且为

（注:上式在形式上可看做函数与微分相乘后得到的，这样便于记忆）
特别地，若C的参数方程为：
(），则有
y
例1 计算,其中C是如图所示：
x
0
1
i

(1）从点1到点i的直线段；
（2)从点1到点0的直线段,再从点0到点的直线段i的直线段所连接成的折线段=+.
例2 计算，其中n为任何整数，C为以为中心，r为半径的圆周。

例3 计算其中C为从原点到点3+4i的直线段.
二. 复积分的基本性质
（1） ;
(2） ；
(3） ;
(4) , 其中；
(5） 。(积分估值）
例4 设C为从原点到点3+4i的直线段，试求积分模的一个上界。
例5 试证:。

§2. 柯西积分定理
定理2 （柯西定理）设函数在单连通域D内解析,则在D内任一简单闭曲线C上的积分一定为零,即
。
注:当积分曲线C为一般闭曲线时结论依然成立.
定理3 设函数在单连通域D内解析，
为D内任意两点，为连接的
且完全含于D内的两条简单曲线,则
。
例6 计算积分其中C是圆周
的上半圆周从0到2.

例7

定理4 （闭路变形原理）设是两条简单
闭曲线，含于的内部。 在
所围成的二连通域内解析,且在闭域上连续，则
。
其中均按逆时针方向取向。

推论(复合闭路定理）设C为多连通域D 内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，且以为边界的区域全部含于D。如果在D内解析,则有
，
其中均按左手法则取正向。

例8 计算其中C为包含0与1的简单闭曲线。

定义： 若函数在单连通域D内解析, 为D内任意定点,为D内任意动点，C为以为起点,以为终点，且全部含于D内的简单曲线，由积分所确定的复变函数称为在单连通域D内以为起点的变上限积分（或不定积分)，即
。

定理5 若函数在单连通域D内解析，那么,变上限积分所确定的函数

也在D内解析,且。

定义： 设在单连通域D内，若函数恒满足，则称是的一个不定积分或原函数。

定理6 （复积分的牛顿——莱布尼兹公式）
设函数在单连通域D内解析， 是的一个原函数，则
,
其中为D内的点.

例8 计算积分均为有限复数。
例9 计算其中C是从—i到i的直线段。

§3. 柯西积分公式
问题：

根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变， 求这个值。
定理7 (柯西积分公式） 设函数在简单闭曲线C所围成的区域内解析，在上连续,为D内任意一点，则
.
关于柯西积分公式的说明：
（1） 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示。 （这是解析函数的又一特征）
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具）
（3） 在复积分中，称为柯西积分.
推论1 (平均值公式）设函数在圆域内解析，在圆周上连续,则
。
即在圆心的值等于它在圆周上的算术平均值。
推论2 设函数在简单闭曲线所围成的二连域D内解析,并在上连续，在的内部，为D内任意一点，则
.
其中均取逆时针方向.

例10 求下列积分的值：
（1） （2）
例11 计算积分其中C为不经过0及1点的简单闭曲线.

例12

定理8 （最大模原理）设函数在区域D内解析，又在区域D内不为常数，则在D内,没有最大值。
推论1 在区域D内解析的函数，若其模在D的内点达到最大值,则此函数必为常数.

推论2 若函数在区域D内解析，在上连续，则必在D的边界上达到最大值.
最大模原理说明了解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模。这也是解析函数所特有的性质。

例13 设函数f(z)在全平面解析,又对任意r〉0，令 求证：M(r）是r的单调上升函数。

§4。 解析函数的高阶导数
定理9 设函数在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在上连续，则的各阶导函数均在D内解析，且对为D内任意一点，有

说明: 定理9的作用通常不在于通过积分来求导， 而在于通过求导来计算某种类型的积分。
例14 求下列积分的值:
(1） , （2)

例15

定理10 （柯西不等式)设函数在圆域
内解析，又
,则有不等式

恒成立。
在整个复平面解析的函数称为整函数，根据柯西不等式可以得到一个关于整函数的结论.
刘维尔定理 有界整函数必为常数。
例16（代数学基本原理）在z平面上,n次多项式

至少有一个零点.