空间解析几何及向量代数测试题及答案.doc

军教院 第八章空间解析几何测试题
一、填空题（共7题，2分/空，共20分）
1.四点,,,组成的四面体的体积是___16___.
2.已知向量,,,则=__(-2,-1,0)____.
3.点到直线的距离是______________.
4.点到平面的距离是_____________.
5.曲线C:对xoy坐标面的射影柱面是_______,
对yoz坐标面的射影柱面是___________,对xoz坐标面的射影柱面是______________.
6.曲线C:绕轴旋转后产生的曲面方程是_______，曲线C绕轴旋转后产生的曲面方程是__________________.
7.椭球面的体积是_____40π____________.

二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）
1. 过点作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里是3个非零实数.
解: 设点在平面上的射影点为，在平面上的射影点为，在平面上的射影点为，则，
于是，，所确定的平面方程是
即 .
2.已知空间两条直线,.
(1)证明和是异面直线;(2)求和间的距离;(3)求公垂线方程.
证明：(1) 的标准方程是，经过点，方向向量
的标准方程是，经过点，方向向量，于是
，所以和是异面直线。

(2) 由于，
和间的距离
(3)公垂线方程是，即。

3.求曲线绕x轴旋转产生的曲面方面.
解：设是母线上任意一点,则过的纬圆方程是，（1）
又 ，（2）
由（1）（2）消去得到.

4.已知单叶双曲面,为腰椭圆上的点,
(1)求经过点两条直母线方程及其夹角;
(2)求这两条直母线所在的平面的方程及平面与腰椭圆所在平面的夹角.
解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是与
把点分别代入上面两方程组，求得代入直母线方程，得到过点的两条直母线与，即与

两直母线的方向向量可分别取和，设两直母线的夹角是，则有，.
（2）两直母线所在平面的方程是，即
显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0.

四、证明题(共2题,第一题10分,第二题15分,共25分)
1.求证:曲线在一个球面上,这里的.
证明:设，则有，即
所以曲线在球心为,半径为的球面上。

2.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:
(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.

证明: (1) 双曲抛物面的u族直母线中任一条直母线都平行于平面,
v族直母线中任一条直母线都平行于平面,
因而结论成立.---------5分

(2)不妨取u族直母线来证明，任取u族直母线中两条直母线
：①和 ：②
其中.由于①的第一个方程表示的平面平行于②的第一个方程表示的平面,即和在两个平行平面上,因而和不会相交.
又由于直线的方向向量为
直线的方向向量为
由于,因此和不会平行,从而证明了双曲抛物面的同族的两条直母线异面.