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浅谈高中学生运算求解能力的培养
运算求解能力是大家比较熟悉的一种基本数学能力，也是历年来高考重点考查的知识点。根据高考年报数据显示，在每年的数学高考试题中有百分之八十左右的试题都与运算有关.考查的知识载体几乎涉及所有数学分支。因此，运算能力的高低、运算速度的快慢，直接关系到每个考生的成绩.从高考评卷场上反馈的信息来看,当前高中学生运算能力是比较差的，出现这种状况的原因是多方面的。有的学生不能对简单的公式、公理、定理进行记忆、理解，不能进行灵活运用；有的学生不注意观察、不进行联想、不进行比较,缺乏合理选择简捷运算途径的意识，在计算练习中出现错误是常有的事。因此，在教学中，应把培养学生的运算求解能力放在重要的位置上，帮助他们找出错误，分析错误的原因，有针对性地指导，提高教学效果，用科学的方法提高学生的计算能力。本文结合具体的实例分析，提出培养学生运算求解能力的方法。
一、运算求解能力的实质
中学数学运算求解能力主要是指：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算。运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.运算求解的实质就其过程来说是根据运算定义、性质、原理、法则，按照运算的顺序从已知算式及数据推导出结果的过程，实际上是一个推理过程。
二、运算求解能力的层次
学生运算求解能力的高低与其观察能力、理解能力、抽象归纳能力、表达能力、推理能力等是分不开的，是和各种基本能力相互作用,相互渗透的一种综合性的数学能力，因此，运算求解能力的提高不能孤立地存在和发展，应和各种基本能力相互促进，逐步发展。运算求解能力一般可分为三个层次：①机械应用概念、性质、公式、法则得出运算结果，这是一种较为简单的运算求解能力。②熟练地运用各种运算的技巧，熟记某些运算结论，大量化简运算过程则是运算求解能力的中层次的表现，特点是体现了运算的灵活性和技巧性。③运用各种数学思想，通过各种类比、联想、归纳等方法，找到更加合理快捷的解题方法，是运算求解能力的较高层次的体现。
三、提高学生运算求解能力的实例分析
(一）熟悉掌握概念、公式、法则
充分理解概念、定理、性质,牢记公式法则，熟悉公式的结构及各种变形,掌握公式的作用，明确算理。一些学生在运用概念或运算法则时,往往不注意附加条件，盲目套公式，导致错误。也有在代数式的变形中,不注意原式隐含的条件,导致式的变形为非等价变形，从而出错。
例1、 A、B为定点且|AB|＝4，点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝4,则点P轨迹为（ ）
A、椭圆 B、双曲线 C、直线 D、线段
分析：很多同学错选A。这是对椭圆定义理解不清，忽略了“到两定点的距离之和大于常数4"的条件。事实上，“到两定点的距离之和等于常数4"时,点的轨迹是以定点为端点的线段,故应选D。而“到两定点的距离之和小于常数4”时，不表示任何图形。
例2、正三棱柱三视图如下，求此三棱柱体积。（其中AC＝3，CD＝）

A
C
D
B
正视图
左视图
F
E
俯视图

错解：∵底面积S＝＝，高h＝AB＝3
∴三棱柱体积V＝Sh＝·3＝（体积单位）
分析:学生出错的原因在于没有考虑到三视图隐含的条件，即图中俯视图所表示的正三角形高EF的长应等于左视图矩形CD的长，故正三角形边长不是，而是2，所以三棱柱体积V＝Sh＝(2)2·3＝（体积单位) 。
例3、判断函数f（x)＝的奇偶性。
错解：f（x）＝＝＝＝tanx
∵f（—x）=—f（x)，∴f(x）为奇函数.
分析:此题应引导学生对函数奇偶性判断应注意哪些问题。事实上，在解题过程中,学生忽略了两个问题：①对函数的定义域没有作出判断，②化简过程中由原式分子分母约去1+cosx，是对代数式的非等价变形导致扩大了原函数的定义域.因为一个函数若是奇函数或为偶函数，其定义域关于原点对称是其必要条件，应该首先作出判断。
（二）熟练运用运算法则，简化运算步骤，避免走回头路
如整体代入法、逆用公式法、换元法、估值法、验证法、排除法等。同时记住一些基本结论、基本数据，在运算中直接应用，对运算求解速度，确保运算结果准确性起着重要作用。
例4、设A＋B＝，求tanA+tanB+tanAtanB的值。(A>0,B〉0）
分析：本题若对求值式直接进行切化弦，必然陷入困境,切化弦是解决三角问题的通性、通法，但不是唯一方法。引导学生分析式子特点，式中存在tanA+tanB、tanAtanB且
A＋B＝，联想到两角和的正切公式tan(A+B）= ，公式能否逆用？经过这样分析，能迅速得出结果。
解：由tan（A+B)= ，tanAtanB≠1 ∵ A＋B＝， ∴ ＝，tanA+tanB＝－tanAtanB，故得tanA+tanB＋tanAtanB＝.
逆用公式是逆向思维的重要表现方式，也是打破思维定向的重要手段,平时应注意这方面的训练，重视对公式的式变和图形的形变的探究，为学生灵活联想运用公式和知识打好基础。
此外，等“量"转换在一些问题的求解中,能起到非常大作用。如平面几何中面积等量转换、立体几何中体积的等量转换等。
例5、棱长为a的正四面体有一内切球，求内切球的半径r。
分析：因为球和面相切，故球心和切点的连线垂直于这个面,因此,正四面体的体积等于以球心为顶点，四面体的面为底面的四个三棱锥的体积之和，这样不难求出内切球的半径r=a 。
整体代换在运算求解中也起到重要作用,不但能使运算大大简化，还可避免走回头路，提高运算速度，特别是在解方程组、代数式的求值、求函数定义域、值域、数列求和等方面运用得比较多。
例6、在等比数列{an｝中，S4=1,S8=3，求a17＋a18＋a19＋a20的值。
解:设数列｛an｝首项为a1公比为q，得明显q≠1,
则=1 ……①
＝3 ……②
②①得q4＝2，
∴ a17＋a18＋a19＋a20=S20—S16
=-=•q16=1•（q4）4=16
此题由于运用了整体代入法，将①=1,②q4＝2整体代入算式，使得计算简捷，若求出a1、q再代入计算，虽然可求但解法繁杂，缺乏计算的合理性。解题中应充分认识已知数值与待求代数式的关系,采用整体思考，避免运算中走回头路的现象.
例7、求函数y=（x2+2x+3)(x2+2x+5）的值域。
解：设x2+2x+3＝t,则(t≥2)，函数可变为y=t（t+2）=(t+1）2-1， （t≥2), 函数在t∈[2，＋∞]上为增函数，∴ y≥2（2+2)=8,故原函数值域为y∈[8，＋∞].
（三）运用数学思想方法、分析问题、解决问题
通过运用数学思想方法、分析问题、解决问题,使解题思路清晰，推理严谨。不要把运算求解能力理解为仅对代数式的简单运算,随着年级的升高，知识点的联系变得更加错踪复杂，因此运算求解方法的选择显得尤为重要。数学思想是解决数学问题的重要思想，也是提高运算求解能力的重要手段。如函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想是数学的四大思想方法，在历年高考试题中都有相应数量的题目。因此在平时的教学中应不断地、反复地渗透这些思想方法,以致使学生能够自觉应用，达到运算能力的较高层次.

y
0
x
A
B
x2
x1
例8、函数f（x)=x3和g（x）=2x的图象如图所示，两个函数图象的交点为A(x1，y1)，B（x2，y2)且x2>x1，x1∈(a,a+1),x2∈（b,b+1)，
a,b∈{1，2,3，4，5,6，7,8,9,10，11,12},求a，b的值.
分析：解答此题的关键是①把“形"的语言转化为“数”的语言，②把方程问题转为函数问题。事实上，x1， x2为方程f（x）－g（x）＝0即x3－2x＝0的根，设Q(x)= x3－2x则x1，x2为函数Q（x)的零点。
∵Q（1）<0, Q(2)>0,Q(9)〉0， Q（10)〈0
根据二分法知识可知，x1∈(1，2）,x2∈(9,10)
故整数a＝1，b＝9。
上面解题过程充分体现了函数与方程数学思想，即把方程难于解决的近似根的问题转化为函数零点问题，再根据二分法知识,求出方程根范围进而求出整数a，b之值，解题方法合理，运算简单，思维巧妙。此外,函数与导数、函数与不等式的结合在解题中应用较广。
例9、对于满足0≤P≤4的所有实数P，求使不等式x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围。
分析：本题实质是求参数的取值范围，不过此时的参数为x,而P作为已知变量。利用函数思想，设计出一个关于P的函数来求解。对不等式变形为（x-1)P+x2-4x+3〉0,设f(p)= （x—1）P+x2—4x+3， （x≠1），它是关于P的一次函数,当p∈［0，4］时f（p)>0恒成立的充要条件为f（0)>0且f(4)〉0,可求得x∈(—∞，—1)∪（3，+∞）
函数思想用途广泛,在求值域、求最值、求参数的取值范围、实际应用问题、立体几何、解析几何等方面均有应用，应加以重视和训练.
化归思想是在处理问题时把待解决或难解决的问题通过某种转化、归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答.一般可分为函数与方程的转化、等与不等的转化、数与形的转化、正与反的转化、坐标系的转化等等，往往当学生感到无从下手时，其实质就是不能将问题进行等价转化。
例10、求函数y=+的最值.
分析：函数可化为y=•＋•，联想到向量坐标运算的数量积,可把它转化为向量来解决。
解：设＝（,），=(,),其中O为直角坐标系中原点，

x
y
0
A(,)
(3,0)
则y=•=•＋• ,
且|｜＝，|｜＝3，向量的终点B在
圆弧x2+y2=9,（x≥0，y≥0）上.又设，成的
角为θ(00≤θ≤900),
则y=•=|｜｜｜cosθ=3cosθ
当θ＝00即,共线时,ymax=3
当＝(3，0)时cosθ最小（如图所示）
∴ ymin=(,）（3,0）=3
求函数最值问题转化为向量解决，解法新颖，运算简捷。细分析之下,此题还可转化为判别式法，三角代换法，求导法，数形结合法等来求解。转化思想的主要特点是它的灵活性和多样性，所以没有统一的模式去遵循，这需要我们要根据问题本身提供的信息,去寻找有利于问题解决的变换途径和方法,并从中进行选择。
四、提高学生运算求解能力的途径
综合上述案例分析，根据平时的教学实践,笔者认为提高学生的计算能力,让学生正确迅速的进行计算，总的来说可从以下几方面入手:
（一）加强数学基础知识训练，提高数学的计算能力
长期坚持不懈地进行严格的训练，日积月累,就能为提高学生的计算能力打下良好的基础，切实有效地提高了学生的计算能力。在高一年级，特别是指数、对数、三角函数是计算重点，也是难点。只要将基本算法和技巧的计算掌握得非常熟练，那么更难一些的计算就没有多大的问题了.在计算练习时，采取形式多样的方法，才能充分调动学生学习的热情.在教学中,笔者就比较注意采用多种方法来进行计算练习,例如黑板演算,还有如自算、互算、计算竞赛等形式,以提高学生的计算能力。
（二）计算题练习要做到持之以恒
计算要做到正确熟练,必须坚持做到天天练,课课练。我的做法就是每天利用课堂三至五分钟的时间让学生速算有关题或有关步。相信只要持之以恒、坚持不懈的练习，日积月累总会有进步的.四是掌握算法、理解算理、形成技巧、养成良好习惯，才能达到提高运算能力的目的。
(三)注意观察，合理联想，善用比较意识
比较意识是解决问题的一个重要方向，一题多解时，这就要求我们善于选优而从，如果教师在平时的教学活动中能够给予学生更多运算方面的指点，学生在自己独立完成某个运算量较大的题目时就会尝试观察题目本身具有的特征，不会一拿到题目就不管不顾的开始计算，特别是解析几何中的直线与椭圆、直线与双曲线的有关问题，需要大量计算,这就更加要求学生在运算前对题目有一个清楚分析,从而选择合适的解题方法.
（四)提倡解后反思，提升运算能力
解题后的反思是指学生在数学学习完成(阶段性)之后对自己的数学学习行为、解题思路、解题方法和结果等的反思，波利亚指出“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答,并且很干净利落地写下论证后,就会合上书本，找点别的事情来做，这样他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面”,通过反思解题思路,可总结解题规律，形成通式通法;探求多种解题方法，可强化比较思想；进一步做力所能及的推广,可培养探索能力，激发创造性，课堂上所获得的知识是有限的，许多问题的解决要通过学生对信息的联想、创造，通过反思，可以深刻理解数学知识，最终达到合理、简捷运算的目.
(五）重视概念学习,培养严谨思维
数学概念、公式、法则等基础知识是算理的依据，对运算具有指导意义，基础知识混淆、模糊、不过硬，往往是引起运算错误的根本原因.因此,在学习过程中，要求学生重视数学概念、定义、运算法则的学习，做到咬文嚼字．如：在学习函数奇偶性、单调性定义时,必须理解“任意”两字，否则是后患无穷,在做运算题时,既要让学生知道“怎样运算",更应明确“为什么这样运算”，做到步步有据，理由充分，老师讲过的便是要做到真懂，即将题目适当变换后还会做,能举一反三。要求学生牢记一些通式通法，用来解决一些常见题型，确保运算的正确以及格式的规范
总之，运算求解能力的培养是长期的过程，不可能一蹴而就，既要注意平时训练，又要注重运算求解方法，既要掌握通性通法，又要注重技能技巧,同时还要与数学的其它各种基本能力的培养相互结合才能既算得准又算得快，达到运算求题能力的较高水平.