纵观解析几何中的轨迹方程的求法1.doc

纵观解析几何中的轨迹方程的求法
河北省河间市第四中学 张美丽 062451
求曲线的轨迹方程，实际上就是寻找： 动点与解析坐标之间的关系.求轨迹问题是我
们在学习解析几何常见的题型,它综合考查学生分析问题解决问题的能力.关于轨迹的求法，
常用的几种方法有；直接法,代入法,定义法，参数法,交轨法,等等.
一． 直接法
直接法是求轨迹方程最基本的方法，它是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式,建立x、y之间的关系，化简即得动点轨迹方程f（x，y）=0．主要用于动点具有的几何条件比较明显时．
例1：已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，注
明轨迹是什么曲线
解 建立坐标系如图所示，设｜AB|=2a，则A(－a，0），B(a，0）
设M（x,y）是轨迹上任意一点
则由题设，得=λ,坐标代入,得=λ,
化简得:(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a（1+λ2)x+（1－λ2)a2=0
(1)当λ=1时，即|MA｜=|MB｜时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线（y轴)
（2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0，
点M的轨迹是以(－，0)为圆心，为半径的圆
总结评述：采用直接法求动点的轨迹方程，先设出动点的坐标为，然后利用题目所给的关系式，直接找出等量关系，从而求得动点的轨迹方程.其步骤可按照求轨迹方程的一般步骤来求。
二． 代入法
根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．其特点是：动点M（x，y）的坐标取决于已知曲线C上的点（x′，y′）的坐标，可先用x，y来表示x′，y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．
例2:、已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为 ( ）
A． B． C． D．
解析：设P（x,y）为所求圆C上任一点，则P关于直线对称的点P/（x/,y/）必在已知圆上。 从而所求的圆C的方程为：
故选C
总结评述：：对于已知曲线C：F(x,y）=0上的各点M，按照某种法则，同一平面上的点P与它对应，当点M在曲线C上移动时,点P的轨迹是曲线,则称为C的伴随曲线。求伴随曲线的方程一般用转移代换法。其步骤如下:设点P,M的坐标分别为(x,y）,（x1,y1)，则F(x1,y1)=0。由点M与点P的关系，求得x1=f（x,y)，y1=g（x，y),然后用代入法，即可得到点P的轨迹方程为F(f（x，y，），g(x,y））=0。
三． 定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．
例3：已知B为圆上的一个动点,A（2，0），△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形（A，B，C按顺时针排列)，如图1，求点C的轨迹方程。
解析：如图1，作PA⊥轴于A，且|PA|＝2,连结OB，则|OA|＝|PA|，由∠BAC＝∠PAO＝900，得∠PAC＝∠OAB，又|BA|＝|CA|，于是△OAB≌△PAC，从而｜PC｜＝|OB|＝1,故C点轨迹是以P为圆心，1为半径的圆，由于P点坐标为（2，2），因此点C的轨迹方程为．

总结评述:用定义法求动点的轨迹方程，先需判断动点运动的几何条件满足某种已知曲线的轨迹,然后根据已知曲线的定义求出所求动点的轨迹.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线定义的特征.
四． 参数法。
如果动点的横纵坐标之间的关系不易找到时，可以将x，y用一个或几个参数来表示，然后消去参数即可。注意参数的取值范围。参数通常有斜率参、角参、点参等
例5．设点A和B为抛物线 =2px(p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，求AB
中点P的轨迹方程
解 设AB中点P的坐标为：(x，y)，lOA:y=kx，
由y=kx及y2=2px联立得：A点坐标 ( ，)，
又OA⊥OB ,∴lOB：，同理得:A (,）
∴x=+┈①；y=┈②
将②式两边平方联立①得:P的轨迹方程为

总结评述：若所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，然后消掉参数，即可求出所求动点的轨迹方程。参数法求轨迹方程的关键是引参和消参。在学习此法时一定要注意以下几点：
1。用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。
2.用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
3。要特别注意消参前后保持范围的等价性。
4。多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程,才能消参（特殊情况下，能整体处理时,方程个数可减少)
五．交轨法。
一般用于求两动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程．
例1：已知抛物线y2=4x,过顶点的两弦OA,OB互相垂直,求以OA，OB为直径的两圆的另一交点的轨迹方程
分析:通过解方程组得出交点的坐标，然后消去参数即可得到所求轨迹方程
解析：设OA的直线方程为y=kx,OB的直线方程为y=-x

∴以OA为直径的圆的方程为;（x2+y2）—4x-4yk=0
以OB为直径的圆的方程为；x2+y2—4k2x+4ky=0
两式相加得：（1+k2)(x2+y2—4x)=0
∵1+k2≠0∴x2+y2-4x=0即为所求
总结点评:当动点P是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点P的轨迹方程,可选择适当的参数，表示这两条动直线（或动曲线）的方程,从而解方程组消去参数，便得动点P的轨迹方程
六．待定系数法
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程
例1求过直线x-2y+4=0与直线2x-y—1=0的交点M，且与两点A(0，4）,B(4，0)距离相等的直线方程。
分析:已知所求曲线为直线，依题意，先求出交点，再用待定系数法设直线方程为点斜式。要注意斜率不存在时要予以考虑.
解：设所求直线为l，由解得x=2，y=3，即点M的坐标为(2,3)
① 若斜率不存在，则l方程为x=2，A、B到l的距离均为2，满足条件；
② 若斜率存在，设l的方程为y-3=k(x—2）,即kx—y+3-2k=0，由A、B到的距离相等，有=，解得k=—1,∴l方程为y-3=—(x—2)，即x+y—5=0
综上，所求直线方程为x=2或x+y—5=0 .
总结点评：已知所求直线方程的形式或能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，可用此法.前面我们刚刚学过的求直线方程，多用此法。
以上是求动点轨迹方程的主要方法,也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系,还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．