复数的基本概念和几何意义.doc

(完整word)复数的基本概念和几何意义 复数一、 考点、热点回顾1.复数的有关概念（1）复数定义：形如abi（a，bR）的数叫做复数,其中i叫做虚数单位，满足i21.表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR）,这一表示形式叫做复数的代数形式.a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.注意：复数mni的实部、虚部不一定是m、n,只有当mR，nR时，m、n才是该复数的实部、虚部.（2）复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集。表示：通常用大写字母C表示。2.复数的分类（1)复数zabi（a,bR）（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则abicdiac且bd，abi0ab0。注意:（1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为zabi(a，bR）的形式,即分离实部和虚部。（2）只有当ac且bd的时候才有abicdi，ac和bd有一个不成立时,就有abicdi。（3)由abi0,a，bR,可得a0且b0.4。复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义（1）复数zabi(a,bR）复平面内的点Z（a，b）。(2)复数zabi(a，bR）平面向量.6。复数的模复数zabi（a，bR）对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作z|,且|z| 。注意：复数abi(a,bR）的模|abi|,两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小。二、典型例题考点一、复数的概念例1、下列命题：若aR,则(a1）i是纯虚数；若a,bR,且ab，则aibi；若（x24）（x23x2)i是纯虚数,则实数x2;实数集是复数集的真子集。其中正确的是(）A.B. C。 D.【解析】对于复数abi（a,bR），当a0且b0时，为纯虚数.对于,若a1，则（a1)i不是纯虚数,即错误。两个虚数不能比较大小，则错误.对于，若x2，则x240，x23x20，此时（x24)（x23x2）i0,不是纯虚数，则错误.显然，正确.故选D。【答案】D变式训练1、1.对于复数abi（a，bR）,下列说法正确的是（）A.若a0，则abi为纯虚数B。若a(b1）i32i，则a3，b2C。若b0，则abi为实数D.i的平方等于1解析：选C.对于A，当a0时，abi也可能为实数；对于B，若a(b1）i32i,则a3，b1；对于D，i的平方为1.故选C。2.若43aa2ia24ai，则实数a的值为(）A.1 B.1或4C.4 D.0或4解析:选C.易知解得a4.考点二、复数的分类例2、已知mR,复数z（m22m3）i，当m为何值时,(1)z为实数？（2)z为虚数？（3）z为纯虚数?【解】（1）要使z为实数，m需满足m22m30,且有意义，即m10，解得m3。（2）要使z为虚数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3。（3)要使z为纯虚数，m需满足0,且m22m30,解得m0或2。变式训练2、当实数m为何值时,复数lg（m22m7）（m25m6）i是(1)纯虚数；（2）实数。解:（1)复数lg(m22m7）（m25m6）i是纯虚数，则解得m4。（2)复数lg（m22m7）(m25m6）i是实数,则解得m2或m3。考点三、复数相等例3、（1）若（xy)yi（x1）i,求实数x，y的值；（2)已知a2（m2i）a2mi0(mR)成立,求实数a的值;（3）若关于x的方程3x2x1（10x2x2）i有实根，求实数a的值。【解】(1）由复数相等的充要条件，得解得(2)因为a，mR,所以由a2am2（2am）i0，可得解得或所以a。（3)设方程的实根为xm，则原方程可变为3m2m1（10m2m2)i，所以解得a11或。变式训练3、已知A1，2，a23a1(a25a6）i,B1,3，AB3，求实数a的值.解：由题意知，a23a1（a25a6）i3（aR），所以即所以a1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z(a21）（2a1）i，其中aR。当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）.（1)在实轴上；（2）在第三象限.【解】（1）若对应的点在实轴上，则有2a10，解得a。(2)若z对应的点在第三象限，则有解得1a.故a的取值范围是.变式训练4、求实数a取什么值时，复平面内表示复数za2a2（a23a2)i的点（1）位于第二象限;(2）位于直线yx上。解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2（a23a2）i的点就是点Z(a2a2，a23a2）。（1）由点Z位于第二象限，得解得2a1.故满足条件的实数a的取值范围为(2，1）.（2)由点Z位于直线yx上，得a2a2a23a2,解得a1。故满足条件的实数a的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M（1，3），N(4，1），P（0，2)，Q(4，0),O为复平面的原点,试写出，所表示的复数;(2）已知复数1，12i,3i,67i，在复平面内画出这些复数对应的向量；(3）在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是23i，32i，23i，求点D对应的复数。【解】（1）表示的复数为13i；表示的复数为4i；表示的复数为2i;表示的复数为4。(2)复数1对应的向量为，其中A(1，0)；复数12i对应的向量为，其中B（1，2）；复数3i对应的向量为，其中C（0，3）；复数67i对应的向量为，其中D（6，7）。如图所示。（3）记O为复平面的原点,由题意得（2，3），(3,2），（2，3).设（x，y)，则（x2，y3），（5,5）.由题知，,所以即故点D对应的复数为32i。变式训练5、在复平面内,把复数3i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是_.解析：3i对应向量为（3,）,与x轴正半轴夹角为30，顺时针旋转60后所得向量终点在y轴负半轴上，且模为2。故所得向量对应的复数是2i。答案：2i考点六、复数的模例6、（1)设（1i）x1yi,其中x，y是实数，则|xyi|（）A。1B.C。 D.2（2)已知复数z满足zz28i，求复数z。【解】（1）选B。因为xxi1yi，所以xy1,所以|xyi|1i.（2)法一：设zabi（a,bR)，则z，代入原方程得abi28i，根据复数相等的充要条件，得解得所以z158i。法二:由原方程得z2|z8i（*）.因为z|R，所以2|z为z的实部,故z|，即z|244|zz264，得z17.将z17代入(）式得z158i。变式训练6、已知复数z3ai（aR)，且z|4，求实数a的取值范围.解：法一：因为z3ai(aR），所以z|,由已知得32a242，所以a23。答案：D5。已知复数z满足z|22z|3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B。线段C。两点D.两个圆解析:|z2-2z3=0,(|z|-3)（z|+1)=0,z|=3,表示一个圆，故选A.答案：A6.已知在ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i，则对应的复数为_。解析：因为对应的复数分别为-1+2i，2-3i,所以=(-1,2)，=（2,-3)。又=（-2,-3)(-1，2）=（1，5),所以对应的复数为15i.答案：1-5i7.在复平面内,若复数z=（m2-m2)+(m2-3m+2)i的对应点，(1）在虚轴上,求复数z;（2)在实轴负半轴上，求复数z.答案:（1）若复数z的对应点在虚轴上,则m2m-2=0，所以m=1或m=2。此时z=6i或z=0.（2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-20，m=1能力提升8。若复数z=cos+(m-sin-cos)i为虚数,则实数m的取值范围是_.解析:z为虚数,m-sincos0,即msin+cos.sin+cos,m（，-)(,+）.答案:(-,）(，+）9。若复数（a2a-2)+（a1|-1）i(aR）不是纯虚数,则a的取值范围是_。解析:若复数为纯虚数,则有a2-a2=0，|a1|-10即a=1.故复数不是纯虚数时a1.答案：a|a110。已知向量与实轴正向夹角为135，向量对应复数z的模为1，则z=_。解析：依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上，设z=a+ai(a0）。|z=1,a2=.而a0，a=。z=答案：z=11.已知复数z满足z+|z=2+8i,则复数z=_.解析:设z=a+bi(a,bR），则|z|=，代入方程得，a+bi+=2+8i，解得a=-15z=15+8i.答案:15+8i12。已知M=1,(m22m）+(m2+m-2）i,P=1,1，4i,若MP=P，求实数m的值。解析:MP=P，MP,即（m2-2m)+（m2+m2)i=-1或（m2-2m）+(m2+m2)i=4i。由(m22m）+（m2+m2)i=-1,得解得m=1;由（m22m)+(m2+m-2）i=4i，解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案：m=1或m=213.已知复数z=2+cos+(1+sin)i（R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线。解析：设复数z=2+cos+（1+sin)i对应的点为Z(x，y）,则x=2+cos，y=1+sin即cos=x-2,sin=y1所以（x2)2+（y1）2=1.所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以（2，1）为圆心，1为半径的圆。答案：复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14 已知复数zm(m1）(m22m3)i(mR）（1)若z是实数，求m的值；（2)若z是纯虚数，求m的值；（3)若在复平面C内,z所对应的点在第四象限，求m的取值范围答案： (1）z为实数，m22m30，解得m3或m1。（2)z为纯虚数，解得m0。（3)z所对应的点在第四象限,解得3m0.