2017定义域乃函数“生命之域”.doc

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定义域乃函数“生命之域"
胡明健( 江苏扬州中学）

函数是高中数学的主线，贯穿于各章之中，因而函数复习是高三数学复习的重中之重，并贯穿于整个高三数学复习之始终，是高中数学复习的主线。
在函数学习中除了注重对函数基本性质的理解、注重函数与方程的思想、重视数形结合思想方法的掌握和应用之外，在函数学习中还应特别提醒大家，务必要加强函数定义域的意识：定义域是函数的“生命之域”，一定要崩紧这根弦.
对于一个函数问题,忽略了其定义域,就难免经常会犯错误。，下面略举几例以供借鉴、
例1:求函数y＝的单调区间.
常见错误解法一：仅注意了二次函数t=x2-2x-3的单调性, 忽略了对数的真数和底数的取值范围,而得错误答案:当x∈（-∞，1）时，y递减，当x∈（1，+∞）时，y递增
常见错误解法二：只考虑真数的取值范围,忽略底数的取值范围，而得错误答案：当x∈（—∞，-1）时,y递减,当x∈（3，+∞）时，y递增。

，正确解法:先考虑函数的定义域。x必须满足得x>3
由x>3可知底数x-1〉1，故当x∈(3，+∞）时，y递增
例2：判断函数y=的奇偶性.
常见的错误解法：不考虑定义域，把根号外的因式（x-1）移到根号内，把函数化成y＝,错误判断原来给出的函数为偶函数。
其实，这个函数y=的定义域为，这个函数的定义域关于原点不对称,因而这个函数不具备函数关于奇偶性的一个必要条件,因此它既不是奇函数又不是偶函数.
对应用题或解题过程中出现的函数问题也要注意函数的定义域，要根据题设及时求出定义域。
例3：设P1(x1，y1)， P1（x2,y2),…， Pn(xn,yn）（n≥3,n∈N） 是二次曲线C上的点， 且a1=2， a2=2， …, an=2构成了一个公差为d(d≠0） 的等差数列， 其中O是坐标原点。 记Sn=a1+a2+…+an。
若C的方程为(a>b>0）。 点P1（a,0）， 对于给定的自然数n, 当公差d变化时， 求Sn的最小值；（2004年高考上海卷（理)22题第（2）小题)
。解析:原点O到二次曲线C:(a>b>0）上各点的最小距离为b，最大距离为a.
∵a1=2=a2， ∴d<0,且an=2=a2+(n－1)d≥b2，
∴≤d〈0. ∵n≥3，>0
∴Sn=na2+d在［，0)上递增，
故Sn的最小值为na2+·=。
解本题时常见的问题是：不少同学会因未求出公差d的变化范围而致使解题搁浅。
以上所举例题都是看得见模得着的具体函数，还有一些问题中用抽象符号给出的函数，同样要考虑函数的定义域问题。
例4：是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则f（x）=0在区间（0,6)内解的个数的最小值是＿＿＿＿＿＿。
此题有以下解：
∵f（2）＝0，且f（x）是奇函数,∴f（x）＝－f（－x)，f（0）＝0且f（－2）＝0，
又∵f(x）是R上以3为周期的函数，
∴f(0）＝f(0＋3）＝f（3）＝0，即f（3）＝0，
∴f（－2）＝f（－2＋3）＝f（1）＝0,
∴f（2)＝f（2＋3）＝f（5)＝0，f（1)＝f(1＋3）＝f（4）＝0，
综上有f（1）=f(2）=f（3）=f（4）=f(5）=0，故是定义在R上的以3为周期的奇函数，且,则f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是5
以上的答案是错误的，问题还是出函数的定义域上。
尽管本题是求开区间（0，6）内f（x）=0的解的个数的最小值，但不能忽略一个大前提：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数。事实上
∵f（x）的周期为3，∴f（x＋3）＝f(x），x∈R，特别地令x＝－1．5，
则f（－1．5＋3）＝f(－1．5)，即f（1．5）＝f（－1．5），又∵f（x）是奇函数，
∴f(x)＝－f（－x）,
∴f（1．5）＝－f（1．5），∴f(1．5)＝0，
∴f（1．5＋3）＝f（4．5)＝0，因此x＝1．5，x＝4．5也是f（x）＝0的根。
.纵观以上的解题过程,由于忽略了f(x)的定义域为R，,导致遗漏了x=1。5，和x=4。5也必定是函数f（x）=0在区间（0,6）内的零点.因此，本题中方程f（x）＝0在区间（0，6）内，x＝1，x=1。5，x＝2，x＝3,x＝4，x=4.5,x＝5,必定是f（x）=0的解，即方程f（x）＝0在区间（0，6)解的个数的最小值是7个。
在数学学习、数学解题中，经常会碰到很多来自数学符号的困惑,我们不妨可试试从具体到抽象、从特殊到一般的研究方法，来化解符号的难点,当我们在解决了一个或二个或二个以上的具体问题后对此类问题的一般情况作一个思考和归纳，从而加深对这类问题的认识.
就例4而言，不难找到一些具体的函数模型，如y=sin2x是奇函数,T=π，在（0,2π)内x=，x=是函数y=sin2x的零点;如y=tanx是奇函数,T=π，在(0，π）内但x=，x=不是函数y=tanx的零点。因为tanx的定义域不是R,这里x=,x=不是函数y=tanx的零点.