数学建模--轧钢中的浪费.doc

轧钢中的浪费
一、摘要:
在轧钢厂内，把粗大的钢坯变成合格的钢材通常要经过两道工序，第一道是粗轧(热轧)，形成钢材的雏形；第二道是精轧（冷轧),得到规定长度的成品材。粗轧时由于设备、环境等方面的众多因素的影响，得到的钢材的长度是随机的，大体上呈正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧机调整，而均方差则由设备的精度决定，不能随意改变.如果粗轧后的钢材长度大于规定的长度，精轧时把多出的部分切掉，造成浪费；如果粗轧后的钢材已经比规定长度短，则整根报废，造成浪费。显然，应该综合考虑这两种情况,使得总浪费最小。
首先推算出热轧一根成品钢材的平均浪费J与钢材的期望值μ的关系式为J=μ/P-L，再由样本计算出钢材的均方差σ，就可以用Matlab画出J随μ的变化曲线图.然后对样本进行Z检验来判断均值是否调整到最佳值，也就是看样本的均值有没有设定到μ* 。最后我们取σ=0:0.0001：0.8进行数值求解,计算出，并作出钢材的平均浪费随设备精度的变化曲线.根据这条曲线可以用Matlab的cftool工具箱进行拟合，可以得到与曲线相符的函数,即为钢材的平均浪费与设备精度的关系式。
二、问题重述
我们对30根在同一热轧机A上得到的粗轧后的钢材长度如下表格1（单位:米，热轧过程中没对轧机进行调整）.热轧后的钢材再经过冷轧，得到规定长度的成品钢材。
I 为了得到规定长度为l的成品钢材，在热轧前应如何调整轧机轧制过程中的均值m，使得到成品材时浪费最小？
II 表1中数据是为了得到2.0m成品材时得到的，请分析此时轧机轧制过程中均值是否已调整到了最佳?
III 评估热轧机A为获得一根规定长度2。0m成品材时产生的平均浪费.为减少这一相当可观的浪费,应设法提高粗轧设备的精度。请给出平均浪费与设备精度之间的关系.

表格 1
三、问题假设
假设热轧过程中得到钢材的长度ξ是随机的服从正态分布。画出样本分布的直方图如下，直观上看ξ服从正态分布分。

图1 样本分布直方图
为了说明假设的正确性我们根据上面的假设我们对表1中的样本在Matlab中进行lillietest假设检验,假设ξ服方差和均值都未知的正态分布。
>>X= ［2。36 2.57 2.08 2.3 2.2 2。3 2。13 2。59 2.63 2.12 2。35 2。44 2。37 2。44 2。39 2。3 2。53 2。37 2。37 2.42 2。12 1。81 2。52 2。64 2。57 2.44 2。17 2。27 2。84 2.23];
>〉h=lillietest(X)
ans
=0
根据上述分析h=0我们可以认为样本ξ服从正态分布，说明我们的假设是正确的。因为热轧过程的精度是由轧机的精度决定的，所以我们假设热轧后得到钢材的均方差为σ不变。
四、问题分析
设热轧后钢材的长度为ξ，ξ的期望为μ，方差为σ，ξ~N（μ，σ），ξ的概率密度记做P（ξ) ，其中σ已知，μ待定。当成品材的长度L确定后，当ξ≥L时的概率为P，即P=P(ξ≥L)图中ξ≥L右面的面积。

图2 钢材长度ξ的概率密度图
轧制过程中的浪费有来那个部分组成。一是当ξ≥L时，精轧时要切掉ξ-L的钢材;二是当ξ≤L时，长度为ξ的钢材整根报废。由图看出当均值μ增大时曲线右移，P增大，第一部分浪费增大，第二部分浪费减少；当μ减小时曲线左移第二部分浪费增大，第一部分浪费减少，所以必然存在一个比较合适的μ使得两部分浪费综合起来最小.然而在实际生产中我们不是以每热轧一根钢材的浪费量最小为标目标,而应该以每生产一根成品钢材浪费的平均长度最小为目标.
五、建模与求解
1、问题一
根据问题分析我们以生产一根成品钢材平均浪费钢材长度最小为目标，设热轧一根钢材的总浪费为W，热轧一根成品钢材的平均浪费为J，则：
(1)
J=W/P （2)
利用,和可将(1）和（2)简化为 （3)
J=μ/P-L (4）
设μ=μ*时J取得最小值，那么热轧使得均值应该调节在μ*最佳.
2、问题二
a、由表1计算出样本的标准差sita，为了简便起见我们用sita代替σ。
〉>std(X)
ans
= 0。2074
然后把σ=0.2074，L=2。0m代入(4）中求解μ＊,为了求出μ*我们用图解法，做出（4)图形求解，规定长度L=2。0m一定在均值附近 σ原则我们做出μ在(0,3)图形.
>〉 miu=0：0.001：3;
>〉 sita=0。2074;
>> L=2；
>〉 P=1-normcdf（2，miu，sita);
>> J=miu。/P—L；
>〉 plot（miu，J)
Jmin =
0。4615
I =
2367
>〉μ(2367)
ans =
2.3660

图3 μ=0:0.001：3时J的随μ的变化曲线
根据上面的求解虽然我们得到μ在2。366附近时J取得最小值，但是从图形上看并不明显为了清楚地看到结果,我们取μ=(2.36,2。37)重新计算作图，得到图4。
〉> miu=2。36：0.0001:2.37;
>> P=1-normcdf(2,miu,sita）；
〉〉 J=miu。/P—L；
〉〉 plot(miu，J)
>〉 ［Jmin，I］=min(J)
Jmin =
0.4615
I =
58
>〉 miu（I)
ans =
2.3657

图4 μ=2.36:0.0001:2.37时J随μ的变化曲线
根据做图的结果我们可以确定当μ＊=2。3657时J取得最小值0。4615，当μ减小或者增大时J均增大。
b、判断均值是否已经调整到合适最佳
要判断均值是否调整到最佳就是看m有没有设定到μ*只需要对样本进行Z检验。
>〉［h,sig]=ztest(X，μ＊，σ）
h=0
sig=0。9439
h=0,sig=0.9439，所以我们接受假设认为设备已经调整到了最佳均值状态。
3、问题三
平均浪费与平均精度的关系就是要求与σ之间的关系，实际上当精度提高时最小浪费必然降低，当σ=0时我们只要设m=μ＊可以减小到0。
根据上面的分析，令=0解出，将μ*代入（4）可以得到，但是这个符号方程非常难解，Matlab下无法直接用。为此我们仍然使用上面的方法进行数值求解。我们取σ=0:0。0001:0。8,计算出，并做出图形如图5所示。由图可知随着精度的提高（σ逐渐减小),最小浪费也逐渐减小,当精度达到极限值即σ=0时，最小浪费也变为0。
>〉 sita=0：0.0001:0.8；
〉> i=1；
>> for s=sita;
u=2：0.0001:3；
P=1—normcdf（2，u,s）;
J=u./P-2；
[Jm，I］=min(J）；
Jmin(i)=Jm；
i=i+1;
end
〉〉 plot(sita,Jmin）

图5 最小浪费随设备精度的变化曲线
如果要更清楚更直观的描述Jmin与精度σ之间的关系,我们可以对Jmin，σ曲线进行拟合。根据曲线的趋势我们选择用Matlab的cftool工具箱进行拟合,得到如下结果：
General model Exp2：
f(x） = a*exp（b*x） + c＊exp(d＊x)
Coefficients （with 95% confidence bounds):
a = 0.9011 (0.8975, 0.9047)
b = 0。6271 (0.6236, 0。6306)
c = —0.8855 （—0.889, -0。882）
d = -2.169 (-2.18, -2.159)
Goodness of fit:
SSE: 0.04133
R—square: 1
Adjusted R—square: 1
RMSE： 0.002274
拟合后的曲线图如下图所示，由上面的分析我们求出Jmin与精度σ的函数关系为：

图6 拟合的曲线效果图及其二阶差分图
六、结果分析
在这个模型中，我们较好的分析了钢材的平均浪费与钢材的期望值之间的关系式,并可以对样本进行Z检验来判断均值是否调整到最佳值,也就是看样本的均值有没有设定到μ＊。最后通过曲线拟合所得到的函数与画出的曲线也很吻合，达到了预期的效果.