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数学思想方法的综合应用
一、高考动向：
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的慨括。高考对数学思想和方法的考查必然要结合数学知识考查进行，注重通性、通法，淡化技巧。在中学数学教学与高考考查中，共识的数学思想有：函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般等思想。数学基本方法有：待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法、数学归纳法等。
二、主干知识整合
1．函数与方程思想
(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；
(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；
(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．
2．数形结合思想
(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；
(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；
(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．
3．分类与整合思想
在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想．
4．化归与转化思想
在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想.
三、要点热点探究
探究点一　列方程（组）解题
例1 (1)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　　)
A．18 B．24
C．60 D．90
(2)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
【分析】 (1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于p的方程．
(1) C　(2)2　
【解析】 (1)由a＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋d＝32得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60.故选C.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－，联立有得x2－3px＋＝0.又|AB|＝x1＋x2＋p＝8，解得p＝2.
►　探究点二　使用函数方法解决非函数问题
例2 (1)已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5，则数列{an}前n项和Sn的最大值是________．
(2)长度都为2的向量，的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧(劣弧)上，＝m＋n，则m＋n的最大值是________．
【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立Sn关于n的函数；(2)将向量坐标化，建立m＋n关于动向量的函数关系．
(1)4　(2)　
【解析】 (1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2.
Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取到最大值4.
(2)建立平面直角坐标系，设向量＝(2,0)，向量＝(1，)．设向量＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤.由＝m＋n，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，n)，
即2cosα＝2m＋n,2sinα＝n，解得m＝cosα－sinα，n＝sinα.
故m＋n＝cosα＋sinα＝sin≤.
变式题
若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(，)
C．[，] D．(，)
B　【解析】 e2＝2＝＝1＋2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以2<e2<5，即<e<.
►　探究点三　联用函数与方程的思想
　　例3 已知函数f(x)＝x(x－a)2，g(x)＝－x2＋(a－1)x＋a(其中a为常数)．
设a>0，问是否存在x0∈，使得f(x0)>g(x0)？若存在，请求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由；
【解答】 假设存在，即存在x0∈，使得，
f(x0)－g(x0)＝x0(x0－a)2－[－x＋(a－1)x0＋a]
＝x0(x0－a)2＋(x0－a)(x0＋1)＝(x0－a)[x＋(1－a)x0＋1]>0，
当x0∈时，又a>0，故x0－a<0，
则存在x0∈，使得x＋(1－a)x0＋1<0，
①当>即a>3时，2＋(1－a)＋1<0得a>3或a<－，∴a>3；
②当－1≤≤即0<a≤3时，<0得a<－1或a>3，∴a无解．
综上：a>3.
►　探究点四　以形助数探索解题思路
例4 (1)不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
(2)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　)
A． B．
C．(1,2) D．(1，－2)
【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．
(1)A　(2)A　【解析】 (1)f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.正确选项为A.

(2)点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，PF＋PQ＝PS＋PQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，代入y2＝4x得x＝，故点P坐标为，正确选项为A.

►　探究点五　数量分析解决图形问题（以数助形）
例5 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是(　　)

图22－2
【分析】 B　
【解析】 根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地，故选B.
探究点五　分类与整合思想
例1 已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|＋|x－2|.
(1)写出函数的单调区间；
(2)设g(x)＝－x2＋bx，若对任意的x1，x2∈[－1,4]，f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数b的取值范围．
【分析】 (1)根据绝对值的概念，通过把实数集分割为四个子集，在各个子集上，函数解析式就可以去掉绝对值符号，转化为一般的一次函数，通过研究各个段上的函数单调性，把其整合为整个函数的单调性；(2)问题等价于在区间[－1,4]上，函数f(x)的最小值大于或者等于函数g(x)的最大值，根据函数g(x)的对称轴和单调性分类求解g(x)的最大值，通过最值的不等式，得出各个情况的结果，最后整合为一个整体结论．
【解答】 (1)函数f(x)＝由于这个函数的图象是连续不断的，在(－∞，0]和(0,1]上，函数是单调递减的，在(1,2]，(2，＋∞)上，函数是单调递增的，在x＝1处图象连续．所以函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)．
(2)由(1)知，函数f(x)在区间[－1,4]上的x＝1处取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝2.
当≤－1，即b≤－2时，函数g(x)在[－1,4]上单调递减，其最大值为g(－1)＝－1－b.由2≥－1－b得b≥－3.故此时－3≤b≤－2；
当－1<<4，即－2<b<8时，函数g(x)在x＝处取得最大值，其最大值为g＝.由2≥得－2≤b≤2.故此时－2<b≤2；
当≥4，即b≥8时，函数g(x)在[－1,4]上单调递增，其最大值为g(4)＝－16＋4b.由2≥－16＋4b，得b≤.故此时b无解．
综上所述，b的取值范围是[－3,2].
►　探究点六　化归与转化思想
例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是________．
(2) 若抛物线y＝x2＋4ax＋3－4a，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝
x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，则实数a的取值范围是________．
【分析】 (1)很显然，函数g(x)是二次函数，二次函数在一个开区间上存在零点，情况是很复杂的，但这个二次函数可以把参数分离出来，这样就把问题转化为求一个具体的函数的值域；(2)至少有一条与x轴相交情况，包括七种情况，直接求解比较困难，从其反面考虑．
(1)　(2)∪[－1，＋∞)
【解析】 (1)g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a，g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，等价于a的取值范围是函数y＝3x2＋4x在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是.故所求的a的取值范围是.
(2)由解得－<a<－1，再求它的补集，则a的取值范围是：a≤－或a≥－1.
例4 (1)若cos＝2sin，则sin(α－2π)sin(α－π)－sinsin＝________.
(2)函数f(x)＝sinx＋cosx＋sin2x的最小值是________．
【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sinx＋cosx看做一个整体，用这个整体表示已知函数．
(1)－　(2)－　【解析】 (1)已知条件即sinα＝2cosα，求解目标即cos2α－sin2α.已知条件转化为tanα＝2，求解目标转化为＝，把已知代入得求解结果是－.
(2)令t＝sinx＋cosx，则t2＝1＋sin2x，且t∈.此时函数化为y＝t＋t2－1＝2－，故所求函数的最小值为－.