数学思想方法综合应用.doc

数学思想方法的综合应用一、高考动向：数学思想和方法是数学知识在更高层次上的慨括。高考对数学思想和方法的考查必然要结合数学知识考查进行，注重通性、通法，淡化技巧。在中学数学教学与高考考查中，共识的数学思想有：函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般等思想。数学基本方法有：待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法、数学归纳法等。二、主干知识整合1函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系2数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野3分类与整合思想在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合分合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想4化归与转化思想在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想.三、要点热点探究探究点一列方程（组）解题例1 (1)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10等于()A18 B24 C60 D90(2)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.【分析】 (1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于p的方程(1) C(2)2【解析】 (1)由aa3a7得(a13d)2(a12d)(a16d)，得2a13d0，再由S88a1d32得2a17d8，则d2，a13，所以S1010a1d60.故选C.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为yx，联立有得x23px0.又|AB|x1x2p8，解得p2.探究点二使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知an是一个等差数列，且a21，a55，则数列an前n项和Sn的最大值是_ (2)长度都为2的向量，的夹角为60，点C在以O为圆心的圆弧(劣弧)上，mn，则mn的最大值是_【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立Sn关于n的函数；(2)将向量坐标化，建立mn关于动向量的函数关系(1)4(2)【解析】 (1)设an的公差为d，由已知条件，解出a13，d2.Snna1dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量(2,0)，向量(1，)设向量(2cos，2sin)，0.由mn，得(2cos，2sin)(2mn，n)，即2cos2mn,2sinn，解得mcossin，nsin.故mncossinsin.变式题若a1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(1，) B(，)C， D(，)B【解析】 e2212，因为是减函数，所以当a1时，01，所以2e25，即e0，问是否存在x0，使得f(x0)g(x0)？若存在，请求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由；【解答】 假设存在，即存在x0，使得，f(x0)g(x0)x0(x0a)2x(a1)x0ax0(x0a)2(x0a)(x01)(x0a)x(1a)x010，当x0时，又a0，故x0a0，则存在x0，使得x(1a)x01即a3时，2(1a)13或a3；当1即0a3时，0得a3，a无解综上：a3.探究点四以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)(2)已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A BC(1,2) D(1，2)【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离(1)A(2)A【解析】 (1)f(x)|x3|x1|画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.正确选项为A.(2)点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，PFPQPSPQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是1，代入y24x得x，故点P坐标为，正确选项为A.探究点五数量分析解决图形问题（以数助形）例5 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()图222【分析】 B【解析】 根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地，故选B.探究点五分类与整合思想例1 已知函数f(x)|x|x1|x2|.(1)写出函数的单调区间；(2)设g(x)x2bx，若对任意的x1，x21,4，f(x1)g(x2)恒成立，求实数b的取值范围【分析】 (1)根据绝对值的概念，通过把实数集分割为四个子集，在各个子集上，函数解析式就可以去掉绝对值符号，转化为一般的一次函数，通过研究各个段上的函数单调性，把其整合为整个函数的单调性；(2)问题等价于在区间1,4上，函数f(x)的最小值大于或者等于函数g(x)的最大值，根据函数g(x)的对称轴和单调性分类求解g(x)的最大值，通过最值的不等式，得出各个情况的结果，最后整合为一个整体结论【解答】 (1)函数f(x)由于这个函数的图象是连续不断的，在(，0和(0,1上，函数是单调递减的，在(1,2，(2，)上，函数是单调递增的，在x1处图象连续所以函数f(x)的单调递减区间是(，1，单调递增区间是1，)(2)由(1)知，函数f(x)在区间1,4上的x1处取得最小值，即f(x)minf(1)2.当1，即b2时，函数g(x)在1,4上单调递减，其最大值为g(1)1b.由21b得b3.故此时3b2；当14，即2b8时，函数g(x)在x处取得最大值，其最大值为g.由2得2b2.故此时2b2；当4，即b8时，函数g(x)在1,4上单调递增，其最大值为g(4)164b.由2164b，得b.故此时b无解综上所述，b的取值范围是3,2.探究点六化归与转化思想例3 (1)已知函数f(x)x32x2ax1.若函数g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是_(2) 若抛物线yx24ax34a，yx2(a1)xa2，yx22ax2a中至少有一条与x轴相交，则实数a的取值范围是_【分析】 (1)很显然，函数g(x)是二次函数，二次函数在一个开区间上存在零点，情况是很复杂的，但这个二次函数可以把参数分离出来，这样就把问题转化为求一个具体的函数的值域；(2)至少有一条与x轴相交情况，包括七种情况，直接求解比较困难，从其反面考虑(1)(2)1，)【解析】 (1)g(x)f(x)3x24xa，g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，等价于3x24xa在区间(1,1)上有解，等价于a的取值范围是函数y3x24x在区间(1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是.故所求的a的取值范围是.(2)由解得a1，再求它的补集，则a的取值范围是：a或a1.例4 (1)若cos2sin，则sin(2)sin()sinsin_.(2)函数f(x)sinxcosxsin2x的最小值是_【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sinxcosx看做一个整体，用这个整体表示已知函数(1)(2)【解析】 (1)已知条件即sin2cos，求解目标即cos2sin2.已知条件转化为tan2，求解目标转化为，把已知代入得求解结果是.(2)令tsinxcosx，则t21sin2x，且t.此时函数化为ytt212，故所求函数的最小值为.