2022-2023学年湖南师大附中高一上数学期末质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
2．设,则的值为
A. B.
C. D.
3．已知实数满足,那么的最小值为(   )
A. B.
C. D.
4．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）

A. B.8
C.6 D.
5．命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
6．命题“任意，都有”的否定为（）
A.存在，使得
B.不存在，使得
C.存在，使得
D.对任意，都有
7．下图是函数的部分图象，则（）

A. B.
C. D.
8．函数与（且）在同一坐标系中的图象可能是（）
A. B.
C. D.
9．函数是（ ）
A.奇函数，且上单调递增 B.奇函数，且在上单调递减
C.偶函数，且在上单调递增 D.偶函数，且在上单调递减
10．已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．调查某高中1000名学生的肥胖情况，得到的数据如表：

偏瘦
正常
肥胖
女生人数
88
175
y
男生人数
126
211
z
若，则肥胖学生中男生不少于女生的概率为_________
12．化简________.
13．若扇形AOB的圆心角为，周长为10+3π，则该扇形的面积为_____
14．已知，，，则的最小值___________.
15．在正三棱柱中，为棱的中点，若是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）用定义证明f（x）在（1，＋∞）上单调递增；
（3）求f（x）在[－2，－1]上的值域
17．计算：
（1）；
（2）已知，求.
18．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为-12
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式
19．已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2
（1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；
（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围
20．已知是方程的两根，且，求的值
21．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若当时，求的最大值和最小值及相应的取值.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、A
【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
2、A
【解析】先利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，再根据特殊角的三角函数值代值计算
【详解】解：由题意得，,
则，
故选：A
【点睛】本题主要考查诱导公式和特殊角的三角函数值，考查同角的平方关系，属于基础题
3、A
【解析】表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.
【详解】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.
【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
4、B
【解析】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长
【详解】由题意，所以原平面图形四边形中，，，，所以，
所以四边形的周长为：
故选：B

5、B
【解析】根据特称命题的否定为全称命题，将并否定原结论，写出命题的否定即可.
【详解】由原命题为特称命题，故其否定为“”.
故选：B
6、A
【解析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论，即得答案.
【详解】命题“任意，都有”的否定为“存在，使得”，
故选：A
7、B
【解析】由图象求出函数的周期，进而可得的值，然后逆用五点作图法求出的值即可求解.
【详解】解：由图象可知，函数的周期，即，所以，
不妨设时，由五点作图法，得，所以，
所以
故选：B.
8、B
【解析】分析一次函数的单调性，可判断AD选项，然后由指数函数的单调性求得的范围，结合直线与轴的交点与点的位置关系可得出合适的选项.
【详解】因为一次函数为直线，且函数单调递增，排除AD选项.
对于B选项，指数函数单调递减，则，可得，
此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的上方，合乎题意；
对于C选项，指数函数单调递减，则，可得，
此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的下方，不合乎题意.
故选：B.
9、A
【解析】根据函数奇偶性和单调性的定义判定函数的性质即可.
【详解】解：根据题意，函数，
有，所以是奇函数，选项C，D错误；
设，则有，
又由，则，，
则，则在上单调递增，选项A正确，选项B错误.
故选：A．
10、C
【解析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.
【详解】由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在上单调递减，且，
所以且，解得：.
故的取值范围是
故选：C.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】先求得，然后利用列举法求得正确答案.
【详解】依题意，
依题意，
记，则所有可能取值为，
，
，共种，
其中肥胖学生中男生不少于女生的为，，，共种，
故所求的概率为.
故答案为：
12、
【解析】观察到，故可以考虑直接用辅助角公式进行运算.
【详解】
故答案为：.
13、
【解析】设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，由已知可得l＝3π，r＝5，再结合扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，
∴，l+2r＝10+3π，
∴l＝3π，r＝5，
∴该扇形的面积S，
故答案为：.
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式及扇形的面积公式，重点考查了方程的思想，属基础题.
14、
【解析】利用“1”的变形，结合基本不等式，求的最小值.
【详解】，
当且仅当时，即等号成立，
，解得：，，
所以的最小值是.
故答案为：
15、
【解析】由题，设 ，截面是面积为6的直角三角形，则由 得，又
则
故答案为

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）f（x）为奇函数，理由见解析
（2）证明见解析（3）[－，－2]
【解析】（1）根据奇偶性的定义判断；
（2）由单调性的定义证明；
（3）由单调性得值域
【小问1详解】
f（x）为奇函数
由于f（x）的定义域为，关于原点对称，
且，所以f（x）为在上的奇函数
（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）
【小问2详解】
证明：设任意，，
有
由，得，
，
即，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增
【小问3详解】
由（1），（2）得函数f（x）在[－2，－1]上单调递增，
故f（x）的最大值为，最小值为，
所以f（x）在[－2，－1]的值域为[－，－2]
17、（1）；（2）.
【解析】（1）根据对数的运算法则和对数恒等式，即可求解；
（2）根据同角三角函数关系，由已知可得，代入所求式子，即可求解.
【详解】（1）原式；
（2）∵
∴
∴.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）根据不等式的解集是，令，然后由在区间上的最小值为-12，由求解.
（2）由（1）知函数的对称轴是，然后分，两种讨论求解.
【详解】（1）因为不等式的解集是，
令，
因为在区间上的最小值为-12，
所以，
解得，
所以.
（2）当，即时， ，
当，即时，
所以.
【点睛】方法点睛：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解
19、（1），；（2）
【解析】：（1）首先由两角和的正弦公式可得，进而即可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示；
对于（2），首先由的取值范围，求出的取值范围，再对已知进行恒等变形可得在区间上恒成立，据此即可得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围.
试题解析：
（1），
因为，所以，其中，
即，.
（2）由（1）知，当时，，
又在区间上单调递增，
所以，从而，
要使不等式在区间上恒成立，只要，
解得：.
点晴:本题考查是求函数的解析式及不等式恒成立问题.（1）首先，可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示;(2)先求二次函数，再解不等式.
20、
【解析】先计算出的值并分析的范围，再计算出的值，结合的范围求解出的值.
【详解】因为，，
所以，所以，
因为，
又因为，所以.
21、（1）最小正周期为，
（2）最小值为-1，的值为，最大值为2，的值为
【解析】（1）利用周期公式可得最小正周期，由的单调递增区间可得的单调递增区间；
（2）由得，当，即时，函数取得最大值，当，即时，函数取得最小值可得答案.
【小问1详解】
函数的最小正周期为，
令因为的单调递增区间是，
由 ，
解得，
所以，函数的单调递增区间是.
【小问2详解】
令，因为，
所以，即，
当，即时，函数取得最大值，
因此的最大值为，此时自变量的值为；
当，即时，函数取得最小值，
因此的最小值为，此时自变量的值为.