资源描述
数列的概念与简单表示法
【知识点讲解】
一、数列的概念：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中每一个数叫作这个数列的项.项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列，数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（也称为首项），依此下去，通常记为简记为.
二、数列的通项公式
1、定义：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式来表示，我们把这个公式叫作这个数列的通项公式.
2、数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法.
3、注意事项
通项公式是数列的一种重要表示方法，但并不是所有数列都有通项公式，并且有些数列的通项公式并非唯一.例如：的通项公式可写为 ，还可以写成
若已知通项公式，可将代入，求出数列各项，还可以判断某数是否为该数列的项及哪一项.
三、数列与函数的关系
在数列中，对于每一个正整数都有一个数与之对应，因此，在函数的意义下，数列可以看成是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，当自变量从1开始依次取自然数时，所对应的一列函数值为，简记为.
四、数列的分类
（1）根据项数是有限还是无限来分
有穷数列：项数有限的数列.
无穷数列：项数无限的数列.
（2）根据项的增减规律来分
递增数列：从第二项起每一项都大于它的前一项.
递减数列：从第二项起每一项都小于它的前一项.
常数列：各项均相等的数列.
摆动数列：从第二项起，有些项大于前一项，有些项小于前一项，如：
递增数列和递减数列统称为单调数列，非单调数列有摆动数列、常数列等.
（3）根据任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分
有界数列：若为常数）
无界数列：若使得.
五、数列的表示法
（1）列举法：如2，4，6，8，…….
（2）图像法：用表示函数图像上一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可是有限的.
（3）解析法：用通项公式表示，如
（4）递推公式法：用表示数列的后项与前项（前几项）关系的式子来表示数列.如，；
六、数列的前项和公式：
（1）前项和与通项的基本关系为:
七、数列的单调性
（1）根据定义：若，则为递增数列；若，则为递减数列；
（2）作商比较：（前提是各项均为正数，），若，则递增（或减）.
八、数列的最值
（1）若为最大项；若为最小项.
（2）构造函数，先确定单调性，再求最值.
【例题】
例1. 数列的一个通项公式是 。
1.提示：观察和对应项数的关系，不难发现
，…，
一般地，
例2. 数列的一个通项公式是 。
2. 。提示： 这类题应解决两个问题，一是符号,可考虑（-1）n或（-1），二是分式，分子是n，分母n+1。故.
例3.将正偶数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
…… …… 28 26
则2006在第 行，第 列。
3．第251行，第4列.提示：由题意知每列4个数，1003=4×250+3,故2006在第251行。又由奇数行的特点知应该是第4列。
例4.已知{an}是递增数列，且对任意nN+，都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是 。
4.。提示：常见的错解：an是一个特殊的
二次函数，要保证在n取自然数时单调递增，只须-1，
即-2。本题错误的原因在于机械地套用了函数的性质，
忽略了数列的离散性的特点。
正解 如图，只要-<,即>-3时就适合题意。
例5.观察下列不等式：，，，，，，由此猜想第个不等式为 ▲ .
5. 。提示：本题是归纳推理问题，注意到3=22-1，7=23-1，15=24-1，1=，2=，故猜想：。
点评：归纳推理的关键是找到式子变化的共同点和不同点。
例6.若数列{an}满足an+1=则a20的值是
6．.提示：。
∴数列是周期为3的数列，∴.
例7.已知数列{an}中，an=，求数列{an}的最大项.
解:考察函数,因为直线为函数图象的渐近线,且函数在上单调递减，在上单调递减，所以当且最接近15.6且时,最大,故最大,即第16项最大.
例8.设向量a =（），b =（）（），函数 a·b在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列{}满足：．
（1）求证：；
（2）求的表达式；
（3），试问数列{}中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立？证明你的结论.
解 （1）证明：a·b =，因为对称轴 ,
所以在[0，1]上为增函数，。
（2）解：由
得
两式相减得，
当时，
当≥2时，
即
（3）解：由（1）与（2）得
设存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立，
当时，
当≥2时，，
所以当时，，
当时，，
当时，
所以存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立．
例9. 数列的通项公式是 。
1.an=.提示
……因此，an=.
例10.数列{an}满足a1=2，an+1=-，求a2008。
2.解 由an+1=-，得an+2=-=-=-.
an+3= -=-=an，故a2008=a669×3+1=a1=2。
【巩固练习】
一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.数列，的通项公式的是 。
1. 或。提示：写成两种形式都对，an不能省掉。
2. 的一个通项公式是 。
2. 提示：若把换成，同时首项1换成，规律就明显了。其一个通项应该为：
3.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.
年龄（岁）
30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压（水银柱 毫米）
110 115 120 125 130 135 （ ）145
舒张压（水银柱 毫米）
70 73 75 78 80 83 （ ）88
3.140,85。提示：观察上表规律，收缩压每次增加5，舒张压相应增加3或2，且是间隔出现的，故应填140,85。
4．已知数列，，那么是这个数列的第 项.
4.10.提示：令=，即n2+2n-120=0,解得n=10.
5.已知数列{an}的图像是函数图像上，当x取正整数时的点列，则其通项公式为 。
5. an=.提示：数列{an}对应的点列为(n,an),即有an=。
6.已知数列，，它的最小项是 。
6.2或3项。提示：=2（n-）2-.故当n=2或3时，an最小。
7. 已知数列满足，，则 .
7. 。提示：=，，。
8.如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则 ．（答案用的解析式表示）
8.n×22.提示：f(2)-f(1)=4=1×4, f(3)-f(2)=8=2×4, f(4)-f(3)=3×4,……，猜想4n.
二．解答题(本大题共4小题，共54分)
9.已知满足，，试写出该数列的前项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
9. 解 ∵,,∴,,,,
注意到：3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，∴猜得。
10.已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
①求的通项公式，并求；
②若是由组成，试归纳的一个通项公式.
10.解:设,则,解得,
∴,∴.
又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴.
11.如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式an。
11.解：∵是等和数列，公和为7，a1=2，∴a2=5,a3=2,a4=5,……，
一般地，a2n-1=2，a2n=5，n∈N*.
∴通项公式an=
12. 已知不等式+++……+>a对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。
解 令f（n）=+++……+，
则f（n+1）-f（n）=+-=->0.
f（n+1）>f（n）, f（n）是递增数列， [f（n）]min= f（2）=。
a<.
【作业】
一、选择题
1．数列，，，，…的一个通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
答案 C
解析 观察知an＝＝.
2．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x应取( )
A．19 B．20 C．21 D．22
答案 C
解析 a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an
∴x＝8＋13＝21，故选C.
3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100的值是( )
A．9900 B．9902 C．9904 D．11000
答案 B
解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2
＝2·＋2＝9902
4．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an＝( )
A．2n B.n(n＋1) C．2n－1 D．2n－1
答案 C
解析 方法一 由已知an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)且a0＝1，得到a1＝a0＝1＝21－1，a2＝a0＋a1＝2＝22－1，
a3＝a0＋a1＋a2＝4＝23－1，
a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝8＝24－1.
由此猜想出an＝2n－1(n≥1)．
方法二 由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，
得an＋1＝a0＋a1＋…＋an－1＋an.
∴两式相减得an＋1－an＝an.
∴an＋1＝2an.∴＝2(n≥1)．
∴该数列{an}为一等比数列(n≥1)，其中a1＝a0＝1.
∴当n≥1时，an＝2n－1
5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项an为( )
A．2n－1 B．2n＋1 C. D.
答案 C
解析 ∵an＋1＝ ∴＝＋2
∴为等差数列，公差为2，首项＝1
∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝
二、填空题
6．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________.
答案 4
解析 ∵a1＝.
∴a2＝a1＋a1＝，a4＝a2＋a2＝，a8＝a4＋a4＝.
∴a36＝a18＋a18＝2a18＝2(a9＋a9)＝4a9＝4(a1＋a8)＝4(＋)＝4.
7．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于________．
答案 4
解 当n＝1时，由S1＝a1＝2(a1－1)，得a1＝2；当n＝2时，由a1＋a2＝2(a2－1)，得a2＝4.
8．(2010·南京质检)如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块．(用含n的代数式表示)
答案 4n＋8
解析 第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.
9．已知：f(x)＝x2＋3x＋2，数列{an}满足a1＝a，且an＋1＝f′(an)(n∈N*)，则该数列的通项公式an为________．
解析 f(x)＝x2＋3x＋2 ∴f′(x)＝2x＋3
∴an＋1＝f′(an)＝2an＋3.
∴an＋1＋3＝2(an＋3)．
∴{an＋3}是公比为2，首项为3＋a的等比数列
∴an＋3＝(3＋a)·2n－1
∴an＝(3＋a)·2n－1－3
10．已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.
解析 ∵Sn＋1＝2n＋1
∴Sn＝2n＋1－1
∴n＝1时，a1＝3
n≥2时，a1＝Sn－Sn－1＝2n
∴an＝
11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝______；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为Tn，则T4＝______.
答案 2n－1 10
解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故Sn＝＝2n－1.
当x＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1、4，第3次生成的数为1、2，－4、7，第4次生成的数为－1、4，－2、5,4、－1，－7、10.故T4＝10.
12．(2011·福州质检)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2011项为______．
答案
解析 ∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝.
∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝.
a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝…，
∴该数列周期为T＝4.
∴a2011＝a3＝
13．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为__________．
答案 an＝4n－2
三、解答题
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析 (1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.
∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列有两项是负数．
(2)∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－的对称轴方程为n＝，又n∈N*，∴n＝2或3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
15．2009年10月1日的国庆60周年阅兵式上，有n(n≥2)行、n＋1列的大学生方阵．
(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的大学生人数；
(2)说出(1)题中数列的第5、6项，并用a5，a6表示；
(3)把(1)中的数列记为{an}，求该数列的通项公式an＝f(n)；
(4)已知an＝9900，问an是第几项？此时大学生方阵有多少行、多少列？
(5)画an＝f(n)的图象，并利用图象说明方阵中大学生人数有可能是56,28吗？
解析 (1)该数列为6,12,20,30,42，…；
(2)a5＝42，a6＝56；
(3)an＝(n＋1)(n＋2)(n∈N*)；
(4)由9900＝(n＋1)(n＋2)解得n＝98，an是第98项，此时大学方阵有99行，100列；
(5)f(n)＝n2＋3n＋2，如图，图象是分布在函数f(x)＝x2＋3x＋2上的孤立的点，由图可知，人数可能是56，不可能是28
16．(2010·江苏四市)已知数列{an}满足a1＝1，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn＝p(2a＋an－1)(p为常数)．
(1)求p和a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析 (1)令n＝1得2S1＝p(2a＋a1－1)，又a1＝S1＝1，得p＝1；
令n＝2得2S2＝2a＋a2－1，又S2＝1＋a2，
得2a－a2－3＝0，a2＝或a2＝－1(舍去)，∴a2＝；
令n＝3得2S3＝2a＋a3－1，又S3＝＋a3，
得2a－a3－6＝0，a3＝2或a3＝－(舍去)，∴a3＝2.
(2)由2Sn＝2a＋an－1，得2Sn－1＝2a＋an－1－1(n≥2)，两式相减，得2an＝2(a－a)＋an－an－1，
即(an＋an－1)(2an－2an－1－1)＝0，
∵an>0，∴2an－2an－1－1＝0，即an－an－1＝(n≥2)，
故{an}是首项为1，公差为的等差数列，得an＝(n＋1)．
17、 (2010·辽宁卷，理)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
解析 (1)在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．
把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＝n2－n，∴an＝n2－n＋33，∴＝＝n＋－1≥2－1，当且仅当n＝，即n＝时取等号，而n∈N*，∴“＝”取不到．∵5＜＜6，∴当n＝5时，＝5－1＋＝，当n＝6时，＝6－1＋＝＝，∵＞，∴的最小值是.
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