吉林省长春市长春外国语学校2022年高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
2．有一组实验数据如下表所示：
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
3
8.01
15
23.8
36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（）
A. B.
C. D.
3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
30

2
乙
20

3
其中，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（ ）
A.2.2 B.2.6
C.2.5 D.2.4
4．已知,则的值是
A.0 B.–1
C.1 D.2
5．为了得到的图象，可以将的图象（ ）
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
6．已知，若，则（）
A. B.
C. D.
7．若，，则（）
A. B.
C. D.
8．已知，则=
A.2 B.
C. D.1
9．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）
A. B.
C. D.
10．将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点仍在函数的图象上，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
11．圆与圆的位置关系是（ ）
A.内含 B.内切
C.相交 D.外切
12．已知角的终边与单位圆相交于点，则=（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．设函数即_____
14．当时，函数取得最大值，则___________.
15．设是以2为周期的奇函数，且，若，则的值等于___
16．若一个扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求的值.
18．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，，，，分别是，，的中点
（）求四棱锥的体积
（）求证：平面平面
（）在线段上确定一点，使平面，并给出证明

19．已知函数（，且）.
（1）若函数在上的最大值为2，求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
20．已知函数的最小值为1.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期和单调递增区间.
21．已知函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）讨论在上的单调性.
22．已知函数
（1）试判断函数的奇偶性并证明；

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，
记为O，PO=AO=R，，=4-R，
在Rt△中，，
由勾股定理得，
∴球的表面积，故选A.

考点：球的体积和表面积
2、D
【解析】将各点分别代入各函数，即可求出
【详解】将各点分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是
故选：D
3、D
【解析】根据平均数和方差的计算性质即可计算.
【详解】设甲、乙两班学生成绩分别为，甲班平均成绩为，乙班平均成绩为，因为甲、乙两班的平均成绩相等，所以甲、乙两班合在一起后平均成绩依然为，
因为，
同理，
∴甲、乙两班合在一起后的方差为：
.
故选：D.
4、A
【解析】利用函数解析式，直接求出的值.
【详解】依题意.故选A.
【点睛】本小题主要考查函数值的计算，考查函数的对应法则，属于基础题.
5、A
【解析】根据左加右减原则，只需将函数向左平移个单位可得到.
【详解】，
即向左平移个单位可得到.
故选：A
【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，三角函数诱导公式，属于基础题.
6、C
【解析】设，求出，再由求出.
【详解】设，因为
所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
7、A
【解析】由不等式的性质判断A、B、D的正误，应用特殊值法的情况判断C的正误.
【详解】由，则，A正确；，B错误；，D错误.
当时，，C错误；
故选：A.
8、D
【解析】.故选.
9、D
【解析】函数分别是上的奇函数、偶函数,
，
由，得，
，
，
解方程组得，
代入计算比较大小可得.
考点：函数奇偶性及函数求解析式
10、B
【解析】作出函数和直线图象，根据图象，利用数形结合方法可以得到的最小值.
【详解】画出函数和直线的图象如图所示，
是它们的三个相邻的交点.
由图可知，当在点，在点时，的值最小，
易知的横坐标分别为,所以的最小值为，
故选：B.

11、D
【解析】根据两圆的圆心距和两半径的和与差的关系判断.
【详解】因为圆与圆的圆心距为：
两圆的半径之和为：，
所以两圆相外切，
故选：D
12、C
【解析】先利用三角函数的定义求角的正、余弦，再利用二倍角公式计算即可.
【详解】角的终边与单位圆相交于点，故，
所以，
故.
故选：C.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、-1
【解析】结合函数的解析式求解函数值即可.
【详解】由题意可得：，
则.
【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值
14、##
【解析】由辅助角公式，正弦函数的性质求出，，再根据两角和的正切和公式，诱导公式求.
【详解】（其中，），
当时，函数取得最大值
∴ ，，即，，
所以，.
故答案为：.
15、
【解析】先利用求得的值，再依据题给条件用来表示，即可求得的值
【详解】∵，∴，
又∵是以2为周期的奇函数，
∴
故答案为：
16、4
【解析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积
【详解】设扇形的半径为：R，所以2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为：4，半径为2，
扇形的面积为：4（cm2）
故答案为4
【点睛】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）-12；（2）12.
【解析】(1)按照向量的点积公式得到，再由向量运算的分配律得到结果；（2）根据向量垂直得到，按照运算公式展开得到结果即可.
【详解】（1）由题意得，
∴
（2）∵，∴，∴，
∴，∴
【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
18、（1）（2）见解析（3）当为线段的中点时，满足使平面
【解析】（1）根据线面垂直确定高线，再根据锥体体积公式求体积（2）先寻找线线平行，根据线面平行判定定理得线面平行，最后根据面面平行判定定理得结论（3）由题意可得平面，即，取线段的中点，则有，而，根据线面垂直判定定理得平面
试题解析：（）解：∵平面，
∴
（）证明：∵，分别是，的中点
∴，
由正方形，
∴，
又平面，∴平面，
同理可得：，
可得平面，
又，
∴平面平面
（）解：当为线段中点时，满足使平面，
下面给出证明：取的中点，连接，，
∵，
∴四点，，，四点共面，由平面，
∴，
又，，
∴平面，
∴，
又为等腰三角形，为斜边中点，
∴，
又，
∴平面，即平面

点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
19、 (1)或；(2)
【解析】(1)分类讨论和两种情况，结合函数的单调性可得：或；
(2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得，求解对数不等式可得的取值范围是.
试题解析：
（1）当时，在上单调递增，
因此，，即；
当时，上单调递减，
因此，，即.
综上，或.
（2）不等式即.
又，则，即，
所以.
20、（1）3；（2）
【解析】⑴将最小值代入函数中求解即可得到的值；
⑵根据正弦函数的图象和性质求得函数的最小正周期和单调递增区间
解析：（1）由已知得，解得.
（2）的最小正周期为.
由，解得，.
所以的递增区间是.
21、（1）最小正周期，最大值为；（2）在单调递增，在单调递减.
【解析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值；
（2）根据，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得的单调性.
【详解】（1）

，
则的最小正周期为，
当，即时，取得最大值为；
（2）当时，，
则当，即时，为增函数；
当时，即时，为减函数，
在单调递增，在单调递减.
【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.
22、（1）为奇函数；证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用奇函数的定义即证；
（2）由题可得当时，为增函数，法一利用对勾函数的性质可得，即求；法二利用函数单调性的定义可得成立，即求.
【小问1详解】
当时，，则，
当；
当时，，满足；
当时，，则，
，
所以对，均有，即函数为奇函数；
【小问2详解】
∵函数为R上的奇函数，且，，，
所以函数在上为增函数，则在定义域内为增函数，
解法一：因函数为奇函数，且在定义域内为增函数，
则当时，为增函数
当时，
因为，只需要，则；
解法二：因为函数为奇函数，且在定义域内为增函数，
则当时，为增函数
设对于任意，且，
则有

因为，则，又因为，则，
欲使当时，为增函数，则，所以，
当时，；；，
所以，为R上增函数时，