数列(含答案).doc

第四章 数列、推理与证明(A)一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)1. (2009福建卷理)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a14，则公差d=_.2. 在等比数列an中，已知a1a3a118，那么a2a8_.3. 在等差数列an中，若a2=2008,a2008=2,则a2010=_.4. (2009宁夏海南卷理)已知等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a11，则S4_.5. 在等差数列an中，若a25，a6=a4+6,则a1=_.6. 已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项和为85，偶数项和为170，则这个数列的公比等于_.7. 已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2_.8. 数列an中，a11，an13an2，则通项an_.9. (2009金陵中学三模)已知等差数列an中，a18，a26.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_.10. (2009威海市统考)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S515，S918.在等比数列bn中，b3a3，b5a5，则b7的值为_.11. (2010江苏姜堰期中卷)若等差数列an的公差d0.且.则数列an的前n项和Sn取最大值时，n=_.12. 数列的前n项和Sn=_.13. 观察下列不等式：由此猜测第n个不等式为_(nN*).14. (2009宿迁市一模)已知数列an的通项公式是an2n1，数列bn的通项公式是bn3n1.令集合Aa1，a2，an，Bb1，b2，bn，nN*.将集合AB中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为cn.则数列cn的前45项的和S45_.二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)(2009临沂一中模拟改编)数列an中，a18，a4(1i)(1i)，且满足an22an1an，nN*.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设Sn|a1|a2|an|，nN*，求Sn的解析式.16. (本小题满分14分)(2009全国卷理)设数列an的前 n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1) 设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2) 求数列an的通项公式.17. (本小题满分14分)等差数列an中，a13，前n项和为Sn.等比数列bn的各项均为正数，且b11，b2S212，bn的公比.(1) 求an与bn；(2) 求.18. (本小题满分16分)(2009陕西卷文)已知数列an满足：a11，a22，an2，nN*.(1) 令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2) 求an的通项公式.19. (本小题满分16分)(2009四川卷文)设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记(nN*).(1) 求数列an与数列bn的通项公式.(2) 设数列bn的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk4k成立？若存在，找出此正整数k；若不存在，请说明理由. 20. (本小题满分16分)观察数列：1,-1,1,-1,;正整数依次被4除所得余数构成的数列1,2,3,01,2,3,0,;an=tan,n=1,2,3,.(1)对以上这些数列所共有的周期特征,请你类比周期函数的定义,为这类数列下一个周期数列的定义;对于数列an,如果_,对于一切正整数n都满足_成立,则称数列an是以T为周期数列;(2)若数列an满足an+2=an+1-an,n,Sn为an的前n项和,且S2=2008,S3=2010,证明:an为周期数列,并求S2008;(3)若数列an的首项a1=p, p,且an+1=2an(1-an),n判断数列an是否为周期数列,并证明你的结论.第四章 数列、推理与证明(B)一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)1. (2009全国卷文)设等比数列an的前n项和为Sn.若a11，S64S3，则a4_.2. (2009四川卷文)已知等差数列an的公差不为零，首项a11，且a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项和是_.3. (2009浙江卷理)设等比数列an的公比，前n项和为Sn，则_.4. (2009山东卷文)在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.5. (2009陕西卷理)设等差数列an的前n项和为Sn，若a6S312，则_.6. 设等差数列an的前n项和为Sn.若6S55S35，则a4_.7. (2009全国卷理)设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9_.8. (2009江西卷文)设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10=_.9. (2009海南卷文)等比数列an的公比q0.已知a21，an2an16an，则an的前4项和S4_.10. (2009淮安市四调)已知等比数列an的各项均为正数.若a13，前三项和为21，则a4a5a6_.11. (2009浙江卷文)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列；类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列.12. 已知数列an满足(n为正整数)，且a26，则数列an的通项公式为an_.13. (2009扬州市第二学期调研)已知一个数列的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第k1个1之间有2k-1个2，即1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，2，1，则该数列前2009项的和S2 009_.14. (2009浙江卷理)观察下列等腰三角形式:由以上等式推测到一个一般的结论: 对于_.二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)(2009全国卷文)设等差数列an的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn.已知a11，b13，a3b317，T3S312，求an，bn的通项公式.16. (本小题满分14分)已知等比数列an的前n项和为Sn.若am， am2， am1(mN*)成等差数列.(1) 求数列an的公比；(2) 试判断Sm， Sm2， Sm1是否成等差数列？并证明你的结论.17. (本小题满分14分)(2009东莞市二模)设数列an的前项和为Sn，且.bn为等差数列，且a1b1，a2(b2b1)a1.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 设，求数列cn的前n项和Tn.18. (本小题满分16分)(2010宿迁市第一次学情调研)在等差数列an中，a1=1,a5=9.在数列bn中，b1=2,且bn=2bn-1-1(n2).(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设,求Tn.19. (本小题满分16分)数列an的前n项和为Sn，且1，2，3，.(1) 求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式；(2) 求a2a4a6a2n的值. 20. (本小题满分16分)(2009山东卷理)等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1) 求r的值；(2) 当b2时，记 (nN*)，证明:对任意的nN*,不等式成立.第四章数列、推理与证明（A）1. -2 2. 4 3. 0 4. 15 5. 2 6. 2 7. 6 8. 23n-11 9. 1 10. 11. 5或612. 13. (1)() 14. 2627 15. （1） an22an1an，nN*， an2an2an1， 数列an为等差数列. 又 a18，a4（1i）（1i）2， d2. an8（2）（n1）2n10. （2） 令an2n100，有n5. |an| 当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2an8n（2）n29n；当n6时，Sn|a1|a2|an|a1a2a3a4a5（a6a7an）2（a1a2a5）（a1a2an）2（5295）n29n40.16.（1）由Sn14an2，有Sn4an12，两式相减得an14an4an1，变形为an12an2（an2an1），即bn2bn1（n2）.由S2a1a24a12，得a25，于是b1a22a13. 所以数列bn是首项为3，公比为2的等比数列.（2） 由（1）得bn32n-1，即an12an32n-1.所以，且.所以是首项为，公差为的等差数列. 所以（n1）（3n1），所以an（3n1）2n-2（nN*）.17. （1） 由已知可得解得q3或q4（舍去），a26. an3（n1）33n，bn3n-1.（2） Sn， =18. （1） b1a2a11.当n2时，bnan1anan（anan1）bn1，所以bn是以1为首项，为公比的等比数列.（2） 由（1）知bnan1an.当n2时，ana1（a2a1）（a3a2）（anan1）111 1当n1时，1a1. 所以an（nN*）.19. （1） 当n1时，a15S11， a1. 又 an5Sn1，an15Sn11， an1an5an1，即 数列an是首项a1，公比q的等比数列. an，bn（nN*）.（2） 不存在正整数k，使得Rk4k成立.由（1）知bn4 b2k-1b2k8888. 当n为偶数时，设n2m（mN*）， Rn（b1b2）（b3b4）（b2m1b2m）8m4n；当n为奇数时，设n2m1（mN*）， Rn（b1b2）（b3b4）（b2m3b2m2）b2m18（m1）48m44n. 对于一切的正整数n，都有Rn4n. 不存在正整数k，使得Rk4k成立.20. （1） 存在正整数T；anTan.（2） 因为an2an1anan3an2an1=an+1anan1anan6an3an，所以数列an是以T6为周期的周期数列.由S22008，S32010知a1a22008，a1a2a32010a32，于是又akak1ak50，kN*，所以S2 008a1a2a3a4a2a31007.（3） 当p0时，an是周期数列.因为此时an0（nN*）为常数列，所以对任意给定的正整数T及任意的正整数n，都有anTan，符合周期数列的定义.当p时，an不是周期数列. 下面用数学归纳法进行证明： 当n1时，因为a1p，p，所以a22a1（1a1）2p（1p）,且a2a12a1（1a1）a1a1（12a1）p（12p）0，所以a1a2，且a2. 假设当nk时，akak+1，且ak+1，则当n=k+1时，ak2ak+12ak+1（1ak+1）ak+1ak+1（12ak+1）0，即ak+1ak2.且ak+2=2ak+1(1-ak+1)2=,即ak+2.所以当nk1时，ak+1ak+2，且ak+2也成立. 根据可知，an是递增数列，所以an不是周期数列. 第四章数列、推理与证明（B）1. 3 2. 100 3. 15 4. 13 5. 6. 7. 24 8. 60 9. 10. 168 11.12. 2n2n 13. 4007 14. 24n1（1）n22n115. 设an的公差为d，数列bn的公比为q，且q0，由题意得 解得 q2，d2. an12（n1）2n1，bn32n-1. 16. （1） 设等比数列an的首项为a1，公比为q，其中a10，q0.若am，am2，am1成等差数列，则 2am2amam1， 2a1qm+1a1qm-1a1qm. a10，q0， 2q2q10，解得q1，或q. （2） 当q1时， Smma1，Sm1（m1）a1，Sm2（m2）a1， 2Sm2Sm Sm1， Sm，Sm2，Sm1不成等差数列；当q时， （SmSm1）2Sm2（SmSmam1）2（Smam1am2）am12am2am12am1qam12am1=0， 2Sm2SmSm1， Sm，Sm2，Sm1成等差数列.17. （1） 当n1时，a1S11. 当n2时，anSnSn1，此式对n1也成立. an（nN*）. 从而b1a11，b2b12. 又因为bn为等差数列， 公差d2， bn1（n1）22n1. （2） 由（1）知cn（2n1）2n-1， 所以Tn1132522（2n1）2n-1， 2得2Tn12322523（2n-3）2n-1（2n1）2n.-得 Tn12（2222n-1）-（2n1）2n12（2n1）2n12n+14（2n1）2n 3（2n3）2n. Tn3（2n3）2n.18.（1） an=2n-1.由bn=2bn-1-1，得bn-1=2(bn-1-1)(n2), bn-1是以b1-1=1为首项，2为公比的等比数列， bn-1=12n-1, 故bn=2n-1+1.（2）Tn=则Tn-可得：Tn=.所以Tn=6-19. （1） 由a11，an1Sn，n1，2，3，得a2S1a1，a3S2（a1a2），a4S3（a1a2a3）.由an1an（SnSn1）an（n2），得an1an（n2）.又a2，所以an（n2）， 数列an的通项公式为（2） 由（1）可知a2，a4，a2n是首项为，公比为，项数为n的等比数列. a2a4a6a2n20. 因为对任意的nN*，点（n，Sn）均在函数ybxr（b0且b1，b，r均为常数）的图象上.所以Snbnr.当n1时，a1S1br；当n2时，anSnSn1bnr（bn-1r）bnbn-1（b1）bn-1.又因为an为等比数列，所以r1.（2） 当b2时，an（b1）bn-12n1，bn2（log2an1）2（log22n-11）2n，则，所以.下面用数学归纳法证明不等式成立. 当n1时，左边，右边，因为，所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立，即成立.则当nk1时, 左边所以当nk1时，不等式也成立. 由可得不等式恒成立. 18 / 8