数列(含答案).doc

第四章 数列、推理与证明(A)
一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)
1. (2009·福建卷理)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d=______.
2. 在等比数列{an}中，已知a1a3a11＝8，那么a2a8＝_______.
3. 在等差数列{an}中，若a2=2008,a2008=2,则a2010=_______.
4. (2009·宁夏海南卷理)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1＝1，则S4＝_________.
5. 在等差数列{an}中，若a2＝5，a6=a4+6,则a1=______.
6. 已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项和为85，偶数项和为170，则这个数列的公比等于________.
7. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝_________.
8. 数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝__________.
9. (2009·金陵中学三模)已知等差数列{an}中，a1＝－8，a2＝－6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________.
10. (2009·威海市统考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝15，S9＝18.在等比数列{bn}中，b3＝a3，b5＝a5，则b7的值为__________.
11. (2010·江苏姜堰期中卷)若等差数列{an}的公差d＜0.且.则数列{an}的前n项和Sn取最大值时，n=___________.
12. 数列的前n项和Sn=_________.
13. 观察下列不等式：由此猜测第n个不等式为_____(n∈N*).
14. (2009·宿迁市一模)已知数列{an}的通项公式是an＝2n－1，数列{bn}的通项公式是bn＝3n－1.令集合A＝{a1，a2，…，an，…}，B＝{b1，b2，…，bn，…}，n∈N*.将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}.则数列{cn}的前45项的和S45＝_______.
二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分14分)(2009·临沂一中模拟改编)数列{an}中，a1＝8，a4＝(1＋i)(1－i)，且满足an＋2＝2an＋1－an，n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，n∈N*，求Sn的解析式.
16. (本小题满分14分)(2009·全国卷Ⅱ理)设数列{an}的前 n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1) 设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2) 求数列{an}的通项公式.
17. (本小题满分14分)等差数列{an}中，a1＝3，前n项和为Sn.等比数列{bn}的各项均为正数，且b1＝1，b2＋S2＝12，{bn}的公比.
(1) 求an与bn；
(2) 求.
18. (本小题满分16分)(2009·陕西卷文)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.
(1) 令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2) 求{an}的通项公式.
19. (本小题满分16分)(2009·四川卷文)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，记(n∈N*).
(1) 求数列{an}与数列{bn}的通项公式.
(2) 设数列{bn}的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk≥4k成立？若存在，找出此正整数k；若不存在，请说明理由.
20. (本小题满分16分)观察数列：
①1,-1,1,-1,…;
②正整数依次被4除所得余数构成的数列1,2,3,01,2,3,0,…;
③an=tan,n=1,2,3,….
(1)对以上这些数列所共有的周期特征,请你类比周期函数的定义,为这类数列下一个周期数列的定义;对于数列{an},如果__________,对于一切正整数n都满足__________成立,则称数列{an}是以T为周期数列;
(2)若数列{an}满足an+2=an+1-an,n,Sn为{an}的前n项和,且S2=2008,S3=2010,证明:{an}为周期数列,并求S2008;
(3)若数列{an}的首项a1=p, p,且an+1=2an(1-an),n判断数列{an}是否为周期数列,并证明你的结论.
第四章 数列、推理与证明(B)
一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)
1. (2009·全国卷Ⅱ文)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝______.
2. (2009·四川卷文)已知等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，且a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项和是______.
3. (2009·浙江卷理)设等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，则_______.
4. (2009·山东卷文)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝_______.
5. (2009·陕西卷理)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则______.
6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若6S5－5S3＝5，则a4＝_______.
7. (2009·全国卷Ⅰ理)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝_____.
8. (2009·江西卷文)设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10=________.
9. (2009·海南卷文)等比数列{an}的公比q＞0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝_________.
10. (2009·淮安市四调)已知等比数列{an}的各项均为正数.若a1＝3，前三项和为21，则a4＋a5＋a6＝_______.
11. (2009·浙江卷文)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列；类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，_____，_____，成等比数列.
12. 已知数列{an}满足(n为正整数)，且a2＝6，则数列{an}的通项公式为an＝_____.
13. (2009·扬州市第二学期调研)已知一个数列的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第k＋1个1之间有2k-1个2，即1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，2，1，…则该数列前2009项的和S2 009＝__________.
14. (2009·浙江卷理)观察下列等腰三角形式:

…
由以上等式推测到一个一般的结论: 对于…_____.
二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分14分)(2009·全国卷Ⅰ文)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn.已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}，{bn}的通项公式.
16. (本小题满分14分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若am， am＋2， am＋1(m∈N*)成等差数列.
(1) 求数列{an}的公比；
(2) 试判断Sm， Sm＋2， Sm＋1是否成等差数列？并证明你的结论.
17. (本小题满分14分)(2009·东莞市二模)设数列{an}的前项和为Sn，且.{bn}为等差数列，且a1＝b1，a2(b2－b1)＝a1.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 设，求数列{cn}的前n项和Tn.
18. (本小题满分16分)(2010·宿迁市第一次学情调研)在等差数列{an}中，a1=1,a5=9.在数列{bn}中，b1=2,且bn=2bn-1-1(n≥2).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设,求Tn.
19. (本小题满分16分)数列{an}的前n项和为Sn，且＝1，2，3，….
(1) 求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
(2) 求a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.
20. (本小题满分16分)(2009·山东卷理)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.
(1) 求r的值；
(2) 当b＝2时，记 (n∈N*)，证明:对任意的n∈N*,不等式…成立.
第四章数列、推理与证明（A）
1. -2 2. 4 3. 0 4. 15 5. 2 6. 2 7. －6 8. 2×3n-1－1 9. －1 10. 11. 5或6
12. 13. ·(1＋＋＋…＋)≥·(＋＋＋…＋) 14. 2627
15. （1） ∵ an＋2＝2an＋1－an，n∈N*，∴ an＋2＋an＝2an＋1，∴ 数列{an｝为等差数列. 又∵ a1＝8，a4＝（1＋i）（1－i）＝2，∴ d＝＝－2. ∴ an＝8＋（－2）（n－1）＝－2n＋10.
（2） 令an＝－2n＋10＝0，有n＝5.∴ |an|＝
∴ 当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝8n＋（－2）＝－n2＋9n；当n≥6时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋（－a6－a7－…－an）
＝2（a1＋a2＋…＋a5）－（a1＋a2＋…＋an）
＝2（－52＋9×5）－＝n2－9n＋40.
16.（1）由Sn＋1＝4an＋2，有Sn＝4an－1＋2，两式相减得an＋1＝4an－4an－1，变形为an＋1－2an＝2（an－2an－1），即bn＝2bn－1（n≥2）.
由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，得a2＝5，于是b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn｝是首项为3，公比为2的等比数列.
（2） 由（1）得bn＝3·2n-1，即an＋1－2an＝3·2n-1.所以，且.
所以是首项为，公差为的等差数列. 所以＝＋（n－1）＝（3n－1），
所以an＝（3n－1）2n-2（n∈N*）.
17. （1） 由已知可得解得q＝3或q＝－4（舍去），a2＝6.
∴ an＝3＋（n－1）3＝3n，bn＝3n-1.
（2） ∵ Sn＝， ∴
∴ ＝
=·
18. （1） b1＝a2－a1＝1.
当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－（an－an－1）＝－bn－1，
所以{bn｝是以1为首项，－为公比的等比数列.
（2） 由（1）知bn＝an＋1－an＝.当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋1＋＋…＋
＝1＋ ＝1＋＝
当n＝1时，＝1＝a1. 所以an＝（n∈N*）.
19. （1） 当n＝1时，a1＝5S1＋1，∴ a1＝－. 又∵ an＝5Sn＋1，an＋1＝5Sn＋1＋1，
∴ an＋1－an＝5an＋1，即
∴ 数列{an｝是首项a1＝－，公比q＝－的等比数列.
∴ an＝，bn＝（n∈N*）.
（2） 不存在正整数k，使得Rk≥4k成立.
由（1）知bn＝＝4＋∵ b2k-1＋b2k
＝8＋
＝8＋
＝8－＜8.
∴ 当n为偶数时，设n＝2m（m∈N*），
∴ Rn＝（b1＋b2）＋（b3＋b4）＋…＋（b2m－1＋b2m）＜8m＝4n；
当n为奇数时，设n＝2m－1（m∈N*），∴ Rn＝（b1＋b2）＋（b3＋b4）＋…＋（b2m－3＋b2m－2）＋b2m－1＜8（m－1）＋4＝8m－4＝4n.
∴ 对于一切的正整数n，都有Rn＜4n. ∴ 不存在正整数k，使得Rk≥4k成立.
20. （1） 存在正整数T；an＋T＝an.
（2） 因为an＋2＝an＋1－anan＋3＝an＋2－an＋1=an+1－an－an＋1＝－anan＋6＝－an＋3＝an，
所以数列{an｝是以T＝6为周期的周期数列.
由S2＝2008，S3＝2010知a1＋a2＝2008，a1＋a2＋a3＝2010a3＝2，
于是
又ak＋ak＋1＋…＋ak＋5＝0，k∈N*，
所以S2 008＝a1＋a2＋a3＋a4＝a2＋a3＝1007.
（3） 当p＝0时，{an｝是周期数列.因为此时an＝0（n∈N*）为常数列，所以对任意给定的正整数T及任意的正整数n，都有an＋T＝an，符合周期数列的定义.
当p∈时，{an｝不是周期数列.
下面用数学归纳法进行证明：
① 当n＝1时，因为a1＝p，p∈，
所以a2＝2a1（1－a1）＝2p（1－p）＜,
且a2－a1＝2a1（1－a1）－a1＝a1（1－2a1）＝p（1－2p）＞0，
所以a1＜a2，且a2∈.
② 假设当n＝k时，ak＜ak+1，且ak+1∈，
则当n=k+1时，ak＋2－ak+1＝2ak+1（1－ak+1）－ak+1＝ak+1（1－2ak+1）＞0，即ak+1＜ak＋2.且ak+2=2ak+1(1-ak+1)＜2·=,即ak+2∈.
所以当n＝k＋1时，ak+1＜ak+2，且ak+2∈也成立.
根据①②可知，{an｝是递增数列，所以{an}不是周期数列.
第四章数列、推理与证明（B）
1. 3 2. 100 3. 15 4. 13 5. 6. 7. 24 8. 60 9. 10. 168 11.
12. 2n2－n 13. 4007 14. 24n－1＋（－1）n·22n－1
15. 设{an｝的公差为d，数列{bn｝的公比为q，且q＞0，由题意得 解得 q＝2，d＝2.
∴ an＝1＋2（n－1）＝2n－1，bn＝3·2n-1.
16. （1） 设等比数列｛an｝的首项为a1，公比为q，其中a1≠0，q≠0.
若am，am＋2，am＋1成等差数列，则 2am＋2＝am＋am＋1，
∴ 2a1qm+1＝a1qm-1＋a1qm. ∵ a1≠0，q≠0， ∴ 2q2－q－1＝0，解得q＝1，或q＝－.
（2） 当q＝1时， ∵ Sm＝ma1，Sm＋1＝（m＋1）a1，Sm＋2＝（m＋2）a1，
∴ 2Sm＋2≠Sm＋ Sm＋1， ∴ Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列；
当q＝－时， ∵ （Sm＋Sm＋1）－2Sm＋2＝（Sm＋Sm＋am＋1）－2（Sm＋am＋1＋am＋2）
＝－am＋1－2am＋2＝－am＋1－2am＋1q＝－am＋1－2am＋1=0，
∴ 2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1， ∴ Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列.
17. （1） 当n＝1时，a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，此式对n＝1也成立. ∴ an＝（n∈N*）. 从而b1＝a1＝1，b2－b1＝＝2.
又因为{bn｝为等差数列， ∴ 公差d＝2，∴ bn＝1＋（n－1）·2＝2n－1.
（2） 由（1）知cn＝＝（2n－1）·2n-1， 所以Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋（2n－1）·2n-1，① ①×2得2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋（2n-3）·2n-1＋（2n－1）·2n.②
①-②得 －Tn＝1＋2（2＋22＋…＋2n-1）-（2n－1）·2n
＝1＋2－（2n－1）·2n＝1＋2n+1－4－（2n－1）·2n ＝－3－（2n－3）·2n.
∴ Tn＝3＋（2n－3）·2n.
18.（1） an=2n-1.由bn=2bn-1-1，得bn-1=2(bn-1-1)(n≥2),
∴ {bn-1}是以b1-1=1为首项，2为公比的等比数列，∴ bn-1=1×2n-1, 故bn=2n-1+1.
（2）Tn=
①
则Tn②
①-②可得：
Tn
==.
所以Tn=6-
19. （1） 由a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3，…，得a2＝S1＝a1＝，a3＝S2＝（a1＋a2）＝，a4＝S3＝（a1＋a2＋a3）＝.
由an＋1－an＝（Sn－Sn－1）＝an（n≥2），得an＋1＝an（n≥2）.
又a2＝，所以an＝（n≥2），
∴ 数列｛an｝的通项公式为
（2） 由（1）可知a2，a4，…，a2n是首项为，公比为，项数为n的等比数列.
∴ a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝·
20. 因为对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y＝bx＋r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图象上.所以Sn＝bn＋r.当n＝1时，a1＝S1＝b＋r；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－（bn-1＋r）＝bn－bn-1＝（b－1）bn-1.又因为｛an｝为等比数列，所以r＝－1.
（2） 当b＝2时，an＝（b－1）bn-1＝2n－1，bn＝2（log2an＋1）＝2（log22n-1＋1）＝2n，
则，所以·…·＝··…·.
下面用数学归纳法证明不等式··…·＝··…·＞成立.
① 当n＝1时，左边＝，右边＝，因为＞，所以不等式成立.
② 假设当n＝k时不等式成立，即··…·＝··…·＞成立.
则当n＝k＋1时, 左边＝··…··
＝··…··＞·
＝＝
所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由①②可得不等式恒成立.
18 / 8