正方形背景下的等腰直角三角形问题.pdf

2024 年第 2 期(下)中学数学研究43正方形背景下的等腰直角三角形问题广东省中山市横栏中学(528478)齐彩霞摘要在期末综合复习课中,教师常会因为知识点的简单枯燥的讲解让学生厌烦,也会因为盲目让学生刷基础题忽略了学生探索思考问题的积极性,总是“讲练结合”,导致课程主体在老师而非学生,学生没有学习的内驱力,依旧是“知识不明,思路不清,错题照错,勤而不精”,所以到底该怎样调动学生去发现,探索,思考,归纳,总结呢?笔者以正方形为背景下的等腰直角三角形问题为例,通过一题一课的教学方法与学生共同学习正方形有关的等腰三角形问题.关键词 正方形;等腰直角三角形;一题一课1 教学设计过程1.1 题目设计如图 1,已知,正方形 ABCD 中,E 为线段 AD 上一动点,F 为 DC 延长线上一动点,若 AE=CF,BEF 为等腰直角三角形吗?1.1.1 主题设计意图此题图形简洁,正方形与等腰直角三角形以及全等相融合,通过转角可形成等腰直角三角形,在这种基本图形背景下还可发散学生思维,生成更多有效学习经验.问题 1同学们通过证明 AEB=BCF,再转边转角得证原题 1,你还能由此题联想到其他问题吗?比如,条件结论是否可以互换,在原题的基础上还可以引发哪些新问题?1.2 变式 1,变式 2 题目呈现变式 1如图 2,已知,正方形 ABCD 中,E 为线段 AD上一动点,F 为 DC 延长线上一动点,若 EBF=90,请问 AE=CF 吗?设计意图在问题 1 的思考下,学生应该可以顺其自然想到变式 1,或者其他类似变式,这种连贯的思考,更能引发学生潜在的动力,提高学习的兴趣,当然也为进一步的探索变形做准备.问题 2同学们在变式 1 与原题 1 证明中其实都是采用全等,两题其实“换汤不换药”,有了前面的经验,变式 2 还可以有哪些改编?比如 E,F 点一定要在正方形边上吗?如果在其他位置,结论是否成立?变式 2如图 3,正方形 ABCD 中,以点 B 为直角定点作等腰直角三角形 BEF,请问 AE=CF 吗?设计意图对比变式 1,弱化了“在正方形边上”的条件,强化了“等腰”条件,这样的变形学生们可以接受,也能领会深层的举一反三,更容易激发学生的内驱力,学生也会觉得利用上题的知识可以反馈到这道题中,但又不会像单纯的“无脑换数”变式那样无趣.1.3 变式 3,变式 4 题目呈现变式3 如图4,点E 为正方形ABCD外一点,BEC=45,连接 AE,(1)求 AEB 的度数.(2)求证:AE+CE=2BE设计意图变式 3 其实是变式 2 的拔高,前面 3 题还是学生能思考,能突破,变式 3 的条件更少,但仍然与前 3 题保持紧密联系,学生可以敏锐的发现“45”的特别之处,至于该如何处理,会引发学生的“头脑风暴”,充分调动学生的求知欲,再通过小组讨论,上台展示的方法会更好地引起学生的共鸣,从而把此题的思考方法真正由学生教给学生.解法补充 法一:根据变式 3 于 2 的共性 45,学生可猜测通过以 BE 为直角边构造等腰直角三角形(如图 5),再由全等证明 AEB=BFA=45.法二:BEC=45,相当于“定弦定角问题”,如图 6,以正方形中心 O 为圆心,OA 为半径构造圆,BEC 即为圆周角,由同弧所对的圆周角相等,故 AEB=BEC=45变式 4如图 7,在原题 1 的条件下,正如果方形的边长为 4,连接 BD,取 EF 的中点 M,连接 CM.(1)是否有 EBD=EFD?44中学数学研究2024 年第 2 期(下)(2)CM 是否为线段 BD 的垂直平分线?(3)点 M 的轨迹是?点 M 的轨迹长是多少?(4)若 DE=2,则 CM=?设计意图变式 1-3,层层深入,学生们会有一种意犹未尽的快感,这种求知欲会让学生自觉对原题进一步探索,因此变式 4 是笔者在原题 1 的基础上引申出其他的思考,关键在于“对角线 BD”的出现,对角线有很多很好的特征,利用对角线的“平分对角,对角线互相垂直”,可以引发变式 4 的4 小问思考,也可以突破学生的思维.解法补充学生讲解中:第(1)问可把图中的所证角抽离出(如图 8),通过图中的等角,可得出所求角相等.第(2)问:部分学生遗忘了“垂直平分线的判定”从而难以解题,因此可通过回顾垂直平分线的判定,找到所证垂直平分线上两点,去证明两点都在垂直平分线上:即求证 CB=CD,MD=MB,即可得证.第(3)问,即在第(2)问的基础上拔高,其实已经知道 M 在 BD 的垂直平分线上,故关键在于M 的起始位置,即可得证.第(4)问,学生主要想把 DE 的长度进行转移,通过转化已知长度把 CM 与已知长度联系起来,由于“M”中点的特殊性,可联系“直角三角形斜边中线或中位线”转移,这里“中位线”比较适合(如图 9).2 作业设计变式 5(如图 10)正方形 ABCD 中,以 B 为直角顶点作等腰直角三角形 BEF,其中 BE=BA,M 为线段 EF 的中点,连接 CM;(1)点 M 的轨迹是?CM 长度的最小值?设计意图前面都是点 E 在正方形边上,或在外部,自然会思考在正方形内部会发生什么变化,如果只是“以 B 为直角顶点作等腰直角三角形 BEF”,点 E 的位置太一般,考虑的价值不够高,故强化:BE=BA,相当于 BAC 绕着点 B 旋转,随着 BAC 的位置不同,此时 M 也会随 EF 的变化而变化,CM 的长度也在改变,自然想到最值问题,学生可以根据点 M 的特殊性求解(如图 11).变式 6(如图 12)正方形 ABCD 中,E 为线段 BC 上任意一点,连接 AE,过点 E 作 AE 的垂线交正方形外角的平分 CF 于点 F.求证 AE=AF变式 7(如图 14)如果把“E 为线段 BC 上一动点”改为“如果点 E 为 BC 延长线(除点 C 外)的任意一点,其他条件不变,求证 AE=EF”问题 8你还能想到那些正方形背景下的等腰直角三角形相关问题,解决此类问题的基本途径是什么?在解题和改编题目中你有什么启发与收获.设计意图变式 6,7 看似与 1-5 题联系不大,但“CF”是直角三角形的角平分线,由此 45 度出现,学生可以联想到“等腰直角”的特殊性质,学生观察到三角形 AEF 的等腰直角属性,可猜测通过全等证明对应边相等,而 AE,FE 在哪两个全等三角形中呢?优生可以猜想到固定 CEF,构造与之全等且含 AE 边的三角形,故在图中可在 BA 上截取BH=BE(如图 13).易证 AE=FE.问题 8 是开发性问题,中低层学生可以简单概括本节课的知识点,方法等,优生可以进一步拓展正方形背景下的等腰直角三角形问题,领会一题多变,从不同角度发现问题,解决问题的方法.3 反思与小结“正方形为背景下的等腰直角三角形问题”是比较常见的综合几何题,课堂上如果偶尔讲一题效果不太显著.讲的太深了学生也很难接受,因此合理高效的设计尤为重要,笔者认为题目的选取应由浅入深,由表及里,层层递进,一题多解,多解归一,一题多变,多题归一.一题多解不是仅仅追求解法多,更要通过解法发现问题的你本质,才是真正的理解题目的内涵,即题目的解法要有意义.而在一题多变中问题与问题的串联中应环环相扣,联系紧密,更容易激发学生的内驱力.在题型讲解过程中教师要学会把课堂的主人还给学生,给学生充分讨论与思考时间,每一道题不仅仅是讲解题2024 年第 2 期(下)中学数学研究45一道课本例习题变式探究湖北省武汉市鲁巷中学(430074)熊 燕摘要本文从初中数学人教版教材例习题出发,引导学生尝试由条件的变化引起结论的变化,而在求解过程中又存在解答过程的变化,通过对课本原题的再思考,以及多种变式探究拓展,旨在培养学生应用创新能力,注重变式思考的方向与模式,以期达到对其他题目的再思考起到借鉴作用,提高学生数学核心素养.现把它展示给读者,以期与广大同仁交流.关键词 习题;变式;探究;核心素养1 原题再现例题 1(人教版教材九年级上册 P87 例 4)如图 1,O 的直径 AB 为 10cm,弦 AC 为 6cm,ACB的平分线交 O 于点 D,求 BC,AD,BD 的长.解析如图 2,连接 OD.AB 是直径,ACB=ADB=90.在 RtABC 中,BC=AB2 AC2=102 62=8(cm).CD 平 分 ACB,ACD=BCD,AOD=BOD.AD=BD.又在 RtABD中,AD2+BD2=AB2,AD=BD=22AB=22 10=52(cm).图 1图 2图 3例题 2(人教版教材九年级上册 P90 第 14 题)如图 3,A,P,B,C 是 O 上的四个点,APC=CPB=60,判断 ABC 的形状,并证明你的结论.解 析ABC 是 等 边 三 角 形.证 明 如 下:在 O中,BAC 与 CPB 是 弧 BC 所 对 的 圆 周 角,ABC与 APC 是弧 AC 所对的圆周角,BAC=CPB,ABC=APC,又 APC=CPB=60,ABC=BAC=60,ABC 是等边三角形.2 变式探究变式 1 如图 1,O 的直径 AB,弦 AC,ACB 的平分线交 O 于点 D,连接 BC,AD,BD.求证:CA+CB=2CD.证法一:如图 4 所示,延长 CB 至 E,使得 BE=AC,AB 是直径,ACB=ADB=90.CD 平分ACB,ACD=BCD,AOD=BOD.AD=BD.又根据圆内接四边形对角互补,CAD+CBD=180,又 CBD+EBD=180,CAD=EBD,CAD v=EBD(SAS),CD=DE,CA=BE,ACD=BED.又 ACB=ACD+BCD=90,BED+BCD=90,即 CDE=90,ECD 是等腰直角三角形,CE=CB+BE=CB+CA=2CD.(也可以如图 5 所示,延长 CA 至 E,使得 AE=CB,可证明 CBD v=EAD,则 CB=AE,再证明 ECD是 等 腰 直 角 三 角 形,CE=CA+AE=2CD,即CA+CB=2CD.)评析:从几何图形的变化角度思考,旋转构造三角形全等;从等式的变化角度思考,线段的补短(线段 CB 往 B 端补短);从2 的数值角度思考,构造等腰直角三角形.图 4图 5图 6过程,更多的是分析,思考,总结.学生的总结往往站在学生的角度,他们的理解和发现可能会更精彩也更容易被学生所接受,在一道题的讲解中还要引导学生挖掘更多有价值的信息,发散思维.比如原题中还能求出哪些长度,角度,是否可以证明等边,等角,长度间的关系等.这些连贯易发现的问题,学生既容易提出问题,也容易理解思考.总之,教学本就是一个探索的过程,更是一个发现的过程,教师需要关注学生的学习背景,了解学生的知识理解程度和知识盲区,更要引导学生如何高效地学习,同时教师也要积极地提升自身的教学能力与自我修养.