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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知直线和互相平行，则实数等于（ ）
A.或3 B.
C. D.1或
2．下列说法不正确的是
A.方程有实根函数有零点
B.有两个不同的实根
C.函数在上满足，则在内有零点
D.单调函数若有零点，至多有一个
3．已知角的终边过点，则（）
A. B.
C. D.
4．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，，则
A. B.
C.1 D.
5．下列大小关系正确的是
A. B.
C. D.
6．平行线与之间的距离等于（ ）
A. B.
C. D.
7．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
8．已知，则的值为（ ）
A.3 B.6
C.9 D.
9．设函数，若关于方程有个不同实根，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（ ）
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．集合，用列举法可以表示为_________
12．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.现有两名剪纸艺人创作甲、乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第i名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点的横、纵坐标分别为第i名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，i=1，2.给出下列四个结论：
①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；
②该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少；
③该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少；
④该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少.
其中所有正确结论序号是___________.
13．若坐标原点在圆的外部，则实数m的取值范围是___
14．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
15．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知 cos (−α) =，sin (+β)= −，αÎ(，)，βÎ(，).
（1）求sin 2α的值；
（2）求cos (α + β )的值.
17．设函数，.
（1）若方程在区间上有解，求a的取值范围.
（2）设，若对任意的，都有，求a的取值范围.
18．已知函数，且
（1）求a的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断
19．已知函数.
（1）求的定义域；
（2）若角在第一象限且，求的值.
20．某行业计划从新的一年2020年开始，每年的产量比上一年减少的百分比为，设n年后（2020年记为第1年）年产量为2019年的a倍.
（1）请用a，n表示x.
（2）若，则至少要到哪一年才能使年产量不超过2019年的25%？
参考数据：，.
21．已知函数.
（1）当时，若方程式在上有解，求实数的取值范围；
（2）若在上恒成立，求实数的值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、A
【解析】由两直线平行，得到，求出，再验证，即可得出结果.
详解】∵两条直线和互相平行，
∴，解得或，
若，则与平行，满足题意；
若，则与平行，满足题意；
故选：A
2、C
【解析】A选项，根据函数零点定义进行判断；B选项，由根的判别式进行求解；C选项，由零点存在性定理及举出反例进行说明；D选项，由函数单调性定义及零点存在性定理进行判断.
【详解】A．根据函数零点的定义可知：方程有实根⇔函数有零点，∴A正确
B．方程对应判别式，∴有两个不同实根，∴B正确
C．根据根的存在性定理可知，函数必须是连续函数，否则不一定成立，比如函数，满足条件，但在内没有零点，∴C错误
D．若函数为单调函数，则根据函数单调性的定义和函数零点的定义可知，函数和x轴至多有一个交点，∴单调函数若有零点，则至多有一个，∴D正确
故选：C
3、A
【解析】根据三角函数的定义计算可得；
【详解】解：因为角终边过点，所以；
故选：A
4、C
【解析】由题意，故选C
5、C
【解析】根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.
考点：指数函数与对数函数的值域
点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题
6、C
【解析】，故选
7、A
【解析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得；
【详解】解：对于A：定义域为，且，即为偶函数，且在上单调递增，故A正确；
对于B：定义域为，且，即为偶函数，在上单调递减，故B错误；
对于C：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，但是，故为非奇非偶函数，故D错误；
故选：A
8、A
【解析】直接由对数与指数的互化公式求解即可
【详解】解：由，得，
故选：A
9、B
【解析】等价于，即或
，转化为与和图象交点的个数为个，作出函数的图象，数形结合即可求解
【详解】作出函数的图象如下图所示
变形得，
由此得或，方程只有两根
所以方程有三个不同实根，则，
故选：B
【点睛】易错点点睛：本题的易错点为函数的图像无限接近直线，即方程只有两根，另外难点在于方程的变形，即因式分解
10、C
【解析】根据随机数表依次进行选取即可
【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，
大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12，
则抽取的第5个零件编号为12.
故选：
【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、##
【解析】根据集合元素属性特征进行求解即可.
【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合
故答案为：
12、①②④
【解析】根据点的坐标的意义结合图形逐个分析判断即可
【详解】对于①，由题意可知，的横、纵坐标分别为第1名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，由图可知的横坐标小于纵坐标，所以该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少，所以①正确，
对于②，由题意可知，的纵坐标为第1名艺人下午创作的乙作品数，的纵坐标为第2名艺人下午创作的乙作品数，由图可知的纵坐标小于的纵坐标，所以该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少，所以②正确，
对于③，④，由图可知，的横、纵坐标之和大于的横、纵坐标之和，所以该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少，所以③错误，④正确，
故答案为：①②④
13、
【解析】方程表示圆，得，根据点在圆外，得不等式，解不等式可得结果.
【详解】圆的标准方程为，则，
若坐标原点在圆的外部，则，解得，则实数m的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系的应用，属于简单题.
14、
【解析】按a值对函数进行分类讨论，再结合函数的性质求解作答.
【详解】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15、
【解析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，
又，
为上的偶函数；
当时，单调递增，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；
由可知，解得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）
（2）
【解析】（1）利用可以快速得到sin 2α的值；
（2）以“组配角”去求cos (α + β )的值简单快捷.
【小问1详解】
∵，
∴，∴，
∴
【小问2详解】
，，，
则
又，，
则
故
17、（1）；（2）.
【解析】（1），有解，即在上有解，设，对称轴为，只需，解不等式，即可得出结论；
（2）根据题意只需，分类讨论去绝对值求出，利用函数单调性求出或取值范围，转化为求关于的不等式，即可求解.
【详解】（1）在区间上有解，
整理得
在区间上有解，
设，对称轴为，
，解得，
所以a的取值范围.是；
（2）
当，
；
当，
，
，
设是减函数，且在恒成立，
在上是减函数，
在处有意义，，
对任意的，都有，
即，
解得，
的取值范围是.
【点睛】本题考查方程零点的分布求参数范围，考查对数函数的图像和性质的综合应用，要注意对数函数的定义域，函数恒成立问题，属于较难题.
18、（1）4（2）在区间上单调递减，证明见解析
【解析】（1）直接根据即可得出答案；
（2）对任意，且，利用作差法比较的大小关系，即可得出结论.
【小问1详解】
解：由得，解得；
【小问2详解】
解：在区间内单调递减，
证明：由（1）得，
对任意，且，
有，
由，，得，，又由，得，
于是，即，
所以在区间上单调递减
19、 (1)；(2).
【解析】（1）根据分母不为零，结合诱导公式和余弦函数的性进行求解即可；
（2）根据同角的三角函数关系式，结合二倍角公式、两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】（1）由，得，;
故的定义域为
（2）因为角在第一象限且，
所以；
从而＝
＝＝＝.
20、（1）（2）2033
【解析】（1）每年的产量比上一年减少的百分比为，那么n年后的产量为2019年的，即得；（2）将 代入（1）中得到式子，解n，n取正整数。
【详解】（1）依题意得，即，即 .
（2）由题得，即 ，
则，即 ，
则，又， ，∴n的最小值为14.
故至少要到2033年才能使年产能不超过2019年25%.
【点睛】本题是一道函数实际应用题，注意求n时，n表示某一年，要取整数。
21、（1）
（2）
【解析】（1）将代入函数，根据函数单调性得到，计算函数值域得到答案.
（2）根据函数定义域得到，考虑和两种情况，根据函数的单调性得到不等式，解不等式得到答案.
【小问1详解】
，，，
故，即，函数上单调递增，
故.
【小问2详解】
，
且，解得.
当时，，函数开口向上，对称轴为，故函数在上单调递增，故，解得或，故；
当时，，函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增，故，解得，，不成立.
综上所述：.
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