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24.3 第2课时 圆内接四边形
一、选择题
1．如图K－8－1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠C的度数是( )
图K－8－1
A．100° B．110° C．120° D．130°
2.如图K－8－2，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 ( )
图K－8－2
A．115° B．105° C．100° D．95°
3．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，则∠D的度数为( )
A．67.5° B．135° C．112.5° D．45°
4．2018·邵阳如图K－8－3所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是( )
图K－8－3
A．80° B．120° C．100° D．90°
5.如图K－8－4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数为( )
图K－8－4
A．110° B．100° C．120° D．90°
6．如图K－8－5，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠AED的度数为( )
图K－8－5
A．100° B．120° C．135° D．150°
7．2017·黄石如图K－8－6，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，点O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径为( )
图K－8－6
A. B.
C. D.
8．2018·黄山月考如图K－8－7，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于点D，交BC边于点E，连接DE，BD与AE相交于点F，则sin∠CAE的值为( )
图K－8－7
A. B.
C. D.
二、填空题
9．四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A＝100°，则∠C＝________°.
10．如图K－8－8，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是________.
图K－8－8
11．如图K－8－9，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________°.
图K－8－9
12．2018·扬州如图K－8－10，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝________．
图K－8－10
三、解答题
13．如图K－8－11所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.
求证：(1)＝；
(2)AB是⊙O的直径．
图K－8－11
14．2017·宿州月考如图K－8－12，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在上，连接BE交AD于点Q，若∠AQE＝∠EDC，∠CQD＝∠E.
求证：AQ＝BC.
图K－8－12
15．如图K－8－13所示，AB为⊙O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC＝PC.
求证：(1)AB＝AP；(2)＝.
图K－8－13
规律探究2017·望江县月考正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
(1)如图K－8－14①，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE.求证：△ADF≌△ABE；
(2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE，BE，AE之间满足等量关系：DE－BE＝AE，请你说明理由；
(3)如图K－8－14②，若点E在上，写出线段DE，BE，AE之间的等量关系，请你说明理由.
图K－8－14
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°，∴∠C＝180°－50°＝130°.故选D.
2．[解析] B 因为四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，所以∠DCE是圆内接四边形ABCD的外角，所以∠DCE＝∠BAD＝105°.
3．[解析] C ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，∴设∠A＝2a，∠B＝3a，∠C＝6a，则2a＋6a＝180°，∴a＝22.5°，∴∠B＝3a＝67.5°，∴∠D＝180°－∠B＝112.5°.故选C.
4．[解析] B ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°－∠BCD＝60°.由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°.故选B.
5．[解析] A ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°－∠BAC＝70°.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＝180°－∠B＝110°.
6．[解析] C 连接AC，则四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＝180°－∠ACD＝135°.
7．[解析] D 连接BD，OB，OD，过点O作OE⊥BD于点E.
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BOD＝120°.
∵AB＝AD＝2，
∴△ABD是等边三角形，∴BD＝2，
∴DE＝BD＝1，∠DOE＝∠BOD＝60°，
∴OD＝＝.故选D.
8．[解析] D ∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠CDE＝∠CBA，∠CED＝∠CAB，∴△CDE∽△CBA.又∵AB是直径，∴△ACE是直角三角形，∴sin∠CAE＝＝＝.
9．[答案] 80
10．[答案] 平行
11．[答案] 40
[解析] ∵∠A＝55°，∠E＝30°，
∴∠EBF＝∠A＋∠E＝85°.
∵∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°－55°＝125°.
∵∠BCD＝∠F＋∠CBF，
∴∠F＝125°－85°＝40°.故答案为40.
12．[答案] 2
[解析] 在优弧上任取一点D，连接AD，BD，OB，OA，∵∠ACB＝135°，则∠ADB＝45°，∠AOB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形．∵OA＝OB＝2，∴AB＝2 .
13．证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴＝.
(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，∴AB是⊙O的直径．
14．证明：∵∠A，∠E是所对的圆周角，
∴∠A＝∠E.
∵∠CQD＝∠E，∴∠CQD＝∠A，
∴AB∥CQ.
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠EBC＋∠EDC＝180°.
又∠AQB＋∠AQE＝180°，∠AQE＝∠EDC，
∴∠AQB＝∠EBC，∴BC∥AQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∴AQ＝BC.
15．证明：(1)连接AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵BC＝PC，∴AB＝AP.
(2)连接CD，BD，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠PAC＝∠CBD.
∵AB＝AP，AC⊥PB，∴∠PAC＝∠BAC.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＝∠CBD，
∴BC＝CD，∴＝.
[素养提升]
解：(1)证明：∵所对的圆周角是∠ADE和∠ABE，∴∠ADE＝∠ABE.
在△ADF和△ABE中，
∴△ADF≌△ABE(SAS)．
(2)由(1)得△ADF≌△ABE，
∴AF＝AE，∠FAD＝∠EAB，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∴EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，
∴EF＝AE，即DE－DF＝AE，
∴DE－BE＝AE.
(3)BE－DE＝AE.理由如下：
在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF.
同理可证明△ADE≌△ABF，△EAF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF，EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，
∴EF＝AE，即BE－BF＝AE，
∴BE－DE＝AE.
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