等差数列及其前n项和(普通高中).doc

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课时跟踪检测（二十九） 等差数列及其前n项和
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(　　)
A．36　　　　　　　　　　 B．72
C．144 D．288
解析：选B　法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，
∴d＝，∴S9＝9×2＋×＝72.
法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，
∴S9＝＝72.
2．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是(　　)
A．20 B．36
C．24 D．72
解析：选C　由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12，
得解得
∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.
3．(2018·西安质检)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　)
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C　由3an＋1＝3an－2⇒an＋1－an＝－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.∵ak·ak＋1<0，
∴<0，∴<k<，
又∵k∈N*，∴k＝23.
4．(2018·东北三校联考)已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝(　　)
A．0 B．－109
C．－181 D．121
解析：选B　设等差数列{bn}的公差为d，则d＝b3－b2＝－14，因为an＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝＝7b4＝7×(－2－14)＝－112，又a1＝3，所以a8＝－109.
5．(2018·云南11校跨区调研)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选A　依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项、为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，a4＝.
6．(2018·东北四市高考模拟)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　)
A．9 B．15
C．18 D．30
解析：选C　由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
7．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.
∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.
∴S6＝6a1＋d＝6×6－30＝6.
答案：6
8．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．
解析：∵∴
∴Sn的最大值为S5.
答案：S5
9．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝________.
解析：因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.
根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，
所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.
答案：3
10．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.
解析：因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，
a1＋a99＝a1＋a100－d＝，
则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.
答案：10
B级——中档题目练通抓牢
1．(2018·湖南五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝(　　)
A．72 B．88
C．92 D．98
解析：选C　法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故数列{an}是公差为3的等差数列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，∴a1＝1，S8＝8a1＋d＝92.
法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故数列{an}是公差为3的等差数列，S8＝＝＝92.
2．(2018·广东潮州二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢(　　)
A．8日 B．9日
C．12日 D．16日
解析：选B　设n日相逢，则依题意得103n＋×13＋97n＋×＝1 125×2，
整理得n2＋31n－360＝0，
解得n＝9(负值舍去)，故选B.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，其中n∈N*，则下列命题错误的是(　　)
A．若an>0，则Sn>0
B．若Sn>0，则an>0
C．若an>0，则{Sn}是单调递增数列
D．若{Sn}是单调递增数列，则an>0
解析：选D　由等差数列的性质可得：∀n∈N*，an>0，则Sn>0，反之也成立．an>0，d>0，则{Sn}是单调递增数列．因此A、B、C正确．
对于D，{Sn}是单调递增数列，则d>0，而an>0不一定成立．
4．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n＝8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为________．
解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，
可得即解得－1<d<－.
答案：
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________.
解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，数列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，
即2a1＋2m－1＝5，
所以a1＝3－m.
由Sm＝(3－m)m＋×1＝0，
解得m＝5.
答案：5
6．(2018·广西三市第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log4an＋1，求{bn}的前n项和Tn.
解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
当n＝1时，a1＝2－1＝1，满足an＝2n－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝，
则bn＋1－bn＝－＝，
∴数列{bn}是首项为1，公差d＝的等差数列，
∴Tn＝nb1＋d＝.
7．已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2a3＝15，S4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式以及Sn的表达式；
(2)若数列{bn}满足：b1＝1，bn＋1－bn＝，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，
则
解得或(舍去)，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝＝n2，n∈N*.
(2)由(1)知，bn＋1－bn＝＝＝，
bn－b1＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝
＝＝(n≥2)，
∴bn＝.
当n＝1时，b1＝1也符合上式，
∴bn＝(n∈N*)．
C级——重难题目自主选做
已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)法一：∵数列{an}是等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.
由an＋1＋an＝4n－3，
得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，
∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，
即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－.
法二：在等差数列{an}中，由an＋1＋an＝4n－3，
得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，
∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2.
又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－.
(2)由题意知，①当n为奇数时，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×
＝.
②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝1＋9＋…＋(4n－7)
＝.
综上，Sn＝