数列知识点所有性质总结.pdf

-1-一、等差数列一、等差数列1.等差数列的定义：（d为常数）（）；daann12n2 2等差数列通项公式：等差数列通项公式：，首项:，公差:d，末项:*11(1)()naanddnad nN1ana 推广：推广：从而；dmnaamn)(mnaadmn3 3等差中项等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或aAbAab2baAbaA2（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn212nnnaaa4 4等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式：项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数特别地，当项数为奇数时，是项数为 2n+1 的等差数列的中间项21n1na（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）12121121212nnnnaaSna5 5等差数列的判定方法等差数列的判定方法 （1）定义法：若或(常数)是等差数列 daann1daann1 Nn na（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn212nnnaaa数列是等差数列（其中是常数）。nabknanbk,（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。na2nSAnBn6 6等差数列的证明方法等差数列的证明方法 定义法：若或(常数)是等差数列daann1daann1 Nn na7.7.提醒提醒：（1 1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到 5 个元素：、及，其中、称作为基n1adnnanS1ad本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2 2）设项技巧：）设项技巧：一般可设通项一般可设通项1(1)naand奇数个数成等差，可设为，（公差为）；2,2ad ad a ad add偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为注意；公差为 2 2）3,3ad ad ad add8.8.等差数列的性质：等差数列的性质：（1）当公差时，0d 等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)naanddnadnd前和是关于的二次函数且常数项为 0.n211(1)()222nn nddSnadnann（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。0d 0d 0d（3）当时,则有，特别地，当时，则有.mnpqqpnmaaaa2mnp2mnpaaa注：，12132nnnaaaaaa -2-（4）若、为等差数列，则都为等差数列 na nb12nnnabab，(5)若是等差数列，则，也成等差数列 na232,nnnnnSSSSS（6）数列为等差数列,每隔 k(k)项取出一项()仍为等差数列na*N23,mm kmkmkaaaa（7）设数列是等差数列，d 为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前 n 项的和 na奇S偶SnS1.当项数为偶数时，n2121135212nnnn aaSaaaana奇22246212nnnn aaSaaaana偶11nnnnSSnanan aa偶奇11nnnnSnaaSnaa奇偶2、当项数为奇数时，则12 n21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中是项数为 2n+1 的等差数列的中间项）an+1（8）、的前和分别为、，且，nbnnAnB()nnAf nB则.2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB（9）等差数列的前 n 项和，前 m 项和，则前 m+n 项和namSnnSmm nSmn(10)求的最值nS法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nn。*nN法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和n即当 由可得达到最大值最大值时的值，001da001nnaanSn （2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。n即 当 由可得达到最小值最小值时的值或求中正负分界项，001da001nnaanSn na法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p=S q则其对称轴为nS2pqn注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于基本量法：即运用条件转化为关于和和的方程；的方程；1ad巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量二、等比数列二、等比数列 -3-1.等比数列的定义：，称为公比公比*12,nnaq qnnNa0且q2.通项公式：，首项：；公比：11110,0nnnnaaa qqA Ba qA Bq1aq推广：，从而得或n mnmaa qn mnmaqann mmaqa3.等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或,a A bAab2AabAab 注意：同号的同号的两个数才有才有等比中项，并且它们的等比中项有两个有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列 na211nnnaaa4.等比数列的前 n 项和公式：nS(1)当时，1q 1nSna(2)当时，1q 11111nnnaqaa qSqq（为常数）1111nnnaaqAA BA BAqq,A B A B5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有为等比数列 11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，na（2）等比中项：（0）为等比数列211nnnaaa11nnaana（3）通项公式：为等比数列0nnaA BA Bna（4）前 n 项和公式：为等比数列,nnnnSAA BSA BAA B A B或为常数na6.等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列*12,nnaq qnnNa0且1nnaqana7.注意注意（1 1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到 5 个元素：、及，其中、称作为基n1aqnnanS1aq本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2 2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11nnaa q如奇数个数成等差，可设为，（公比为，中间项用表示）；22,aaa aq aqqqqa8.等比数列的性质(1)当时1q -4-等比数列通项公式是关于 n 的带有系数的类指数函数，底为公比1110nnnnaaa qqA BA Bqq前 n 项和，系数和常数项是互为相反1111111111nnnnnnaqaa qaaSqAA BA BAqqqq数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何 m,n,在等比数列中,有,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式*Nnan mnmaa q比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若 m+n=s+t(m,n,s,t),则.特别的,当 n+m=2k 时,得*Nnmstaaaa2nmkaaa注：12132nnna aaaa a(4)列,为等比数列,则数列,(k 为非零常数)均为等比数列.na nbnkank aknannk abnnab(5)数列为等比数列,每隔 k(k)项取出一项()仍为等比数列na*N23,mm kmkmkaaaa(6)如果是各项均为正数的等比数列等比数列,则数列是等差数列等差数列nalogana(7)若为等比数列,则数列，成等比数列nanS2nnSS32,nnSS(8)若为等比数列,则数列,成等比数列na12na aa122nnnaaa21223nnnaaa(9)当时，当时，1q 1q 0,1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列1100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0 时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列中,当项数为 2n(n)时,.na*N1SSq奇偶(11)若是公比为 q 的等比数列,则nann mnmSSqS三、等差数列与等比数列性质的比较三、等差数列与等比数列性质的比较等差数列性质等差数列性质等比数列性质等比数列性质1 1、定义、定义；n+1na-a=d(n1)nn-1a-a=d(n2),n+1na=q(n1)ann-1a=q(n2)a2 2、通项、通项公式公式1(1)naand()(,)nmaanmd n mNqaaqaamnmnnn11 -5-3、前前 n 项和项和dnnnnasaasnnn2)1(2)(11n1n11nnq=1,S=na;a(1-q)a-a qq1,S=1-q1-q4、中项中项a、A、b 成等差数列成等差数列A=；a+b2是其前是其前 k 项项与后与后 k 项项的等差中项，nan-kan+ka即：=nan-kn+ka+a2a、A、b 成等比数列成等比数列AbaA（不等价于（不等价于，只能，只能）;2A=ab是其前是其前 k 项项与后与后 k 项项的的 nan-kan+ka等比中项，即：等比中项，即：2nn-kn+ka=aa5 5、下标和公、下标和公式式若若 m+n=p+q,m+n=p+q,则则aaaaqpnm特别地特别地,若若 m+n=2p,m+n=2p,则则aaapnm2若 m+n=p+q,则特别地,若aaaaqpnmm+n=2p,则aaapnm26 6、首尾项性、首尾项性质质等差数列的第等差数列的第 k 项与倒数第项与倒数第 k 项的和等于首项的和等于首尾两项的和尾两项的和,即：即：aaaaaaknknn)1(121等比数列的第等比数列的第 k 项与倒数第项与倒数第 k 项的积等项的积等于首尾两项的积于首尾两项的积,即：即：aaaaaaknknn)1(121 为等差数列为等差数列,若若 m,n,pm,n,p 成等差数列成等差数列,则则an成等差数列成等差数列aaapnm,为等比数列,若 m,n,p 成等差数列,则an成等比数列aaapnm,（两个等差数列的和仍是等差数列）（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列等差数列,的公差分别为的公差分别为,则数则数anbned,列列仍为等差数列，公差为仍为等差数列，公差为banned（两个等比数列的积仍是等比数列）（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列等比数列,的公比分别为的公比分别为,anbnqp,则数列则数列仍为等比数列，公差为仍为等比数列，公差为bannpq取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为新数列仍为等差数列，且公差为d2取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为q2若若则则mna=n,a=m(mn),0m na无此性质；无此性质；若若则则mnS=n,S=m(mn),)m nSmn（无此性质；无此性质；若若0),(sssmmnmnm则无此性质；无此性质；成等差数列，成等差数列，,232sssssmmmmm公差为公差为dm2成等差数列，成等差数列，,232sssssmmmmm公比为公比为qm7 7、结论、结论当项数为偶数当项数为偶数时，时，n2ndss奇偶当项数为偶数当项数为偶数时，时，n2qss奇偶当项数为奇数当项数为奇数时，时，12 n -6-aassnn1偶奇当项数为奇数当项数为奇数时，时，12 nass中偶奇，asnn中)12(121nnss偶奇 sasq偶奇18 8、等差、等差(等比等比)数列的判断方数列的判断方法法定义法：定义法：12nnaad n等差中项概念；等差中项概念；1122nnnaaan函数法：函数法：关于关于 n n 的的(,为常数)napnq p q一次函数一次函数数列数列是首项为是首项为 p+qp+q，公差为，公差为 p pna的等差数列；的等差数列；0数列数列的前的前 n n 项和形如项和形如 an2nSanbn(a，b 为常数)，那么数列，那么数列是等差数列，是等差数列，an定义法：定义法：1nnaqa等差中项概念；等差中项概念；221(0)nnnna aaa函数法：函数法：(均为不为 0nnacqcq，的常数，)，则数列是等比nN na数列数列数列的前的前 n n 项和形如项和形如an(均为不等于 0 的常nnSAqAAq，数且 q1)，则数列是公比不为 1 na的等比数列9 9、共性、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列非零常数列既是等差数列又是等比数列